1.1 幂的乘除 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.1 幂的乘除 北师大版数学七年级下册同步练习 知识点：同底数幂的乘法性质 同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 知识点： 同底数幂的乘法的逆用公式 同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点：幂的乘方法则 幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 知识点：积的乘方法则 积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 知识点：幂的乘方法则逆用公式 幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 知识点：积的乘方法则逆用公式 积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 知识点：同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）逆用公式：即（都是正整数）. 知识点：零指数幂：（a≠0） 知识点： 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 一、单选题 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组式子中，是同底数幂的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4.经测算，一粒芝麻的质量约为，数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.小方和小亮在玩抽卡计算的游戏，他们设计了如下图所示的4张卡片，请你从中抽取两张卡片，并计算它们的乘积，能够得到的卡片组合是以下四个选项的哪一个呢（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 7.已知，下列结论①；②；③中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8.下列四个算式：①；②；③；④．其中计算不正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 二、填空题 9.计算： ． 10.纳米是一种长度单位，1纳米米，冠状病毒的直径约为120纳米，将120纳米用科学记数法表示为 米． 11.我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为 ． 12.计算的结果是 ． 13.规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如： ∵，∴根据上述规定，填空： ______， ______，________； 14.计算 ． 15.若，则代数式的值为 ． 16.计算：（1） ； （2） ． 17.如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，则 ． 三、计算题 18.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 20.计算： (1)； (2)； (3)（为大于1的整数）； (4)． 四、解答题 21.已知，，求： (1)求的值； (2)求的值． 22.（1）已知，，求的值； （2）已知，求x． 23.阅读材料：如果那么c为a，b的“关联数”，记为，例如．则有 (1)若，，的值？ (2)若，，，其中，请说明：． 24.（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 25.阅读理解： 若，，比较，的大小． 解：因为，且，所以，所以．类比阅，读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_______________． A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法      C．幂的乘方  D．积的乘方 (2)若，，试比较与的大小． (3)已知，，，比较，，的大小． 26.先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）． 例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为． (1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________； ②、、之间的数量关系是____________________； (2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程． 27.将幂的运算逆向思维可以得到，，， ，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 参考答案 1、 单选题 1．【答案】A 【分析】本题考查了的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，所以A选项符合题意， B、，所以B选项不符合题意， C、，所以C选项不符合题意， D、，所以D选项不符合题意． 故选：A． 2．【答案】C 【解析】略 3.【答案】C 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的除法，乘法运算，积的乘方运算，根据各自的运算法则逐一分析即可，熟记运算法则是解本题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 4.【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：D． 5．【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，幂的乘方的逆运算，由得到，即可求解，掌握同底数幂乘法运算和幂的乘方的逆运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：． 6.【答案】D 【分析】本题考查了整式的乘法，熟记“同底数幂相乘底数不变指数相加”是解题关键． 【详解】解：A、①③的乘积为，不符合题意； B、②③的乘积为，不符合题意； C、②④的乘积为，不符合题意； D、①④的乘积为，符合题意； 故选：D． 7.【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法公式，幂的乘方及其逆应用，积的乘方及其逆应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 故③正确； 故选：D． 8.【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方法则逐个解题 【详解】解：①，错误， ②，正确， ③，错误， ④，正确 故①③错误， 故选：B． 二、填空题 9.【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：． 10.【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法的运用，负指数的运用，同底数幂的运算，科学记数法的表示为，确定的值的方法是：原数变为时，小数点移动的位数与的绝对值相同．当小数点向右移动时，为负数；当小数点向左移动时，为正数；最后根据同底数幂的运算法则即可求解． 【详解】解：纳米=， 故答案为：． 11.【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 12.【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则进行计算即可． 【详解】 【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项等运算法则，解题的关键是要分辨清这三种不同的运算规则：指数相加、指数相乘、系数相加． 13.【答案】(1)4；0； 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：4；0；． 【点睛】本题主要考查了幂的运算，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握同底数幂乘法，负整数指数幂运算法则和零指数幂运算法则，准确计算． 14.【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 15.【答案】1 【分析】本题主要考查幂的乘方逆运算和同底数幂除法逆运算，先将变形为，再把变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 16.【答案】 【分析】（1）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并即可； （2）把整体作为底，根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则．计算同底数幂的乘法时，底数不变，指数相加． 17.【答案】80 【分析】根据定义解答即可． 【详解】设，，， ，，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：80 【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． 三、计算题 18.【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 19.【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】（1）先计算同底数幂乘法然后再合并同类项； （2）先用幂的乘方和同底数幂乘法进行运算，然后再合并同类项； （3）先用幂的乘方进行运算，然后再合并同类项； （4）先用幂的乘方进行运算，然后再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则，准确计算． 20.【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先确定符号，再根据同底数幂乘法法则进行计算； （2）根据同底数幂乘法法则进行计算； （3）根据同底数幂乘法法则进行计算； （4）先变形为同底数幂，再根据同底数幂乘法法则进行计算． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 四、解答题 21.【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可； （2）利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 22.【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法，得到，问题得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了逆用同底数幂的乘法及其逆用的知识，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 23.【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据“关联数”的定义可得，，进而求解； （2）根据“关联数”的定义可得，，，进而可得，再根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以， 所以； （2）证明：因为，，， 所以，，， 因为， 所以，即， 所以，即． 【点睛】本题是新定义题，以“关联数”的定义为载体，主要考查了乘方的运算和同底数幂的乘法，正确理解“关联数”的定义是关键． 24.【答案】（1）8；（2）1025 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算和积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此代值计算即可； （2）先根据积的乘方将所求式子变形为，再根据幂的乘方的逆运算法则进一步变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． （2）∵， ∴ ． 25.【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方直接求解即可得到答案； （2）将两个数的次方经过积的乘方变成相同的次方比较大小即可得到答案； （3）根据积的乘方将指数化相同直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，是幂的乘方的逆运算， 故选：C； （2）解：∵，，且， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查幂的乘方的逆应用及应用，解题的关键是熟练掌握． 26.【答案】(1)①2，4，6；② (2)，证明见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算． （1）①根据材料叙述，结合，，即可得出答案； ②根据①的答案可得出、、之间满足的关系式； （2）设，，则，分别表示出及的值，即可得出猜想． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，，； 故答案为：2，4，6； ②∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想． 证明：设，，则， 故可得，， 即． 故答案为：． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了幂的运算性质、解一元一次方程等知识点，掌握幂的运算性质以及解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据幂的运算逆向思维方法求解即可； （2）将原方程变形为底数都为2的形式，再根据幂的运算法则得到关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， ， ，解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $