期末综合评价(二)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

期末综合评价（二） (asa (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目 要求) 前 题号 2 5 6 7 8 答案 1.当锐角a=30°时，则sina的值是 取号 c号 n雪 2.函数y=一x2的图象一定经过点 !弥 A.(1,-1) B.(-1,1) C.(2,-2) D.(3,-6) 3.已知⊙O的半径为3，圆心O到直线1的距离为2，则直线1与⊙O的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 4.关于抛物线y=一2(x一1)2的说法正确的是 A.顶点坐标为（一2,1） B.当x<1时，y随x的增大而增大 C.当x=0时，y有最大值1 D.抛物线的对称轴为直线x=一2 5.如图，AB是半圆O的直径，C,D是半圆弧上两点，∠D=115°，则∠CAB的度数为 A.559 B.45° C.35° D.25 A日光 北是 南（午） 冬至线 立春春分立夏夏至线 立冬秋分立秋 77777777777777 (第5题图) (第6题图) (第7题图) (第8题图) 6.西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个 根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a,已知冬至时长沙的正午日光入射 角∠ABC约为38.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为 ※ A.asin38.5°m B.tan 8.5 m a C.acos38.5°m D. a c0s38.5m 7.如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械。 用一个半径为6c的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）滑轮之间没有滑动，拉动 绳索使定滑轮上一点P绕定滑轮中心顺时针旋转120°，则物体G上升的高度为 ( A.8πcm B.4πcm C.2πcm D.πcm 8.如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=一x2十4上，点D在y轴上.若A,C两点的横坐 标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是 A.m+n=1 B.m-n=1 C.m=1 D.=1 n 第1页（共6页） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.若抛物线y=(一1)x2一2x十2的开口向上，则n可以取的值为 .(写一个即可) 10.如果正n边形的中心角是40°，那么n=· 11.如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为i=1：√2，如果它把物体送到离地面3m高 的地方，那么物体所经过的路程为 m, y/m ·)B x/m B D 图① 图② (第11题图) （第13题图) (第14题图) (第15题图) 12.将抛物线y=2(x十1)2一3向右平移1个单位长度，再向上平移b个单位长度，所得抛物线与 y=ax2的图象重合，则a十b= 13.如图，AD是△ABC的高.若BD=4,CD=2,tanC=2,则边AB的长为 14.某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地 由⊙O和扇形OBC组成，OB,OC分别与⊙O交于点A,D.OA=1m,OB=10m,∠AOD= 40°，则阴影部分的面积为 m.（结果保留π) 15.如图①所示的投石机是古代战争中的攻城首选.已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看 作抛物线，如图②，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度y(m)和水平距离x(m) 具有函数关系y=一0十x十5.当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 m. 16.已知P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为点A,B,过点P作⊙O的切线，C为切 点，连接AC.若∠CPO=40°，则∠CAB的度数为 三、解答题（本题共10小题，其中17,18,19,20,21,22题每题6分，23,24题每题8分，25,26题每 题10分，共72分) 17.计算：c0s60°-2sim245+2am30°-sin302 18.如图，在⊙O中，AB=AC且AB⊥AC,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E 求证：四边形ADOE是正方形. 第2页（共6页） 19.如图，已知二次函数y=a(x+1)2十b的图象与x轴交于点A(一3,0)和点B,与y轴交于点 C(0,-3). (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接AC,BC,求△ABC的面积. 20.如图，渔船和海警船同时从海岛A出发，当渔船沿南偏东58°方向航行80nile到达B处时， 海警船沿北偏东62°方向航行到了C处，此时渔船发现自己位于海警船的南偏西25°方向，求渔 船位置B和海警船位置C之间的距离.（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75) 北 十东 1629 A 58 21.如图，△ABC内接于⊙O,AB=AC,请仅用无刻度直尺，分别在下列图中画出∠ABC的角平分 线.（保留画图痕迹） (1)如图①，点D是弧AC的中点. (2)如图②，点E是弦AB的中点. 图① 图② 第3页（共6页） 22.如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C,延长AB至点D,连接DC,∠DCB ∠DAC,过点A作AE LAD交DC的延长线于点E. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD=4,DB=2,求AE的长. D B 23.某平台销售一种进价为8元/袋的牛肉面，售价为12元/袋，每天可卖出100袋，若每袋牛肉面 的售价每上涨1元，则每天少卖出10袋. (1)假设每袋牛肉面的售价上涨x元，每天销售该牛肉面的利润为y元，试确定y与x之间的 函数关系式，并写出x的取值范围. (2)每袋牛肉面的售价上涨多少元时，该平台每天销售这种牛肉面可获得最大利润？此时，牛 肉面的定价为每袋多少元？获得的最大利润为多少？ 24.如图①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示 意图如图②，摄像头P的仰角、俯角都调整为15°，摄像头高度OP=160cm,识别的最远水平 距离OQ=150cm. (1)小张站在离摄像头水平距离90cm点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线AP 处)，请问小张的身高约为多少厘米？ 第4页（共6页） (2)身高139cm的小军，头部高度为18cm,当他直立站在离摄像头可识别最远处时，请通过计 算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（结果精确到0.1cm参考数据：sin15°≈0.26， cos15°≈0.97，tan15°≈0.27) 仰角15 A 摄像头P 一N水平线 俯角15°B 777777777777777779777777777T O MO 图① 图② 25.【定义】我们把顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角. 【探索】弦切角的度数等于它所夹弧所对得圆周角的度数， 已知：点A,B,C在⊙O上，CD是⊙O的切线，延长AB交CD于点D,连接CA,CB,则∠BCD 是弦切角. (1)特殊化：如图①，若AB是⊙O的直径，求证：∠BCD=∠A; (2)一般化：如图②，AB是⊙O的弦，求证：∠BCD=∠A; 【应用】(3)如图③，四边形ABCE是⊙O的内接四边形，CD是⊙O的切线，交AB延长线于点 D,弦BC=CE,若∠D=45°，求∠ACE的度数. D D D 图① 图② 图③ 第5页（共6页） 26.如图，抛物线y=ax2十bx十c与y轴相交于点C(0,一3)，与x轴相交于点A(一2,0)，B(6,0), 点D是抛物线的顶点 (1)求抛物线的函数表达式 (2)在y轴上有一点P,求出PB+PD的值最小时，点P的坐标及此时PB十PD的值. (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点E,过点E作EF⊥x轴交x轴于点F,使△OEF与 △OBC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. VA 0 D 第6页（共6页）=√/OM-MF=√25-15=20(mm),∴.该烧瓶的高度为 AB+OE十OF=36+24+20=80(mm).21.解：(1)如图， 点D即为所求.(2)如图， 点E 即为所求.22.解：，改造前，斜坡坡度1：√3，∴tan∠ABE= 六9∠AE=0A=专AB=言×0=10cm 政选后，斜较坡度1：3anD部=子设CE=n,则 ED=3xm.,在Rt△CED中，CE+ED=CD,且CD= 260m,.x2+(3x)2=2602,解得x=26√10（负值已舍去）， .CE=26√/10m,.AC=AE-CE=(100-26√10)m,.斜 坡AB下降的高度AC为(100-26√/10)m.23.解：(1)由题 意，得顶点A的坐标为(90,300)，∴设抛物线状沙丘OAB的函 数表达式为y=a(x-90)2十300，把O(0,0)代入y=a(x-90)2 +300中，得0=810a+30,解得a=7y=-7c 1 90)2+300.(2)把x=30代入y=一27x-90)2+300中，得y =一易×(30-90)+300=9，梭梭树生长较茂密地带究 度CE的长为00m.24.(1)证明：∠C=∠C,∠A= ∠BDC,∴△ACD∽△DCB.(2)证明：连接OD.:AB为⊙O 的直径，.∠ADB=90.∠A十∠ABD=90°.：OB=OD, .∠ABD=∠ODB.∠BDC=∠A,∴∠BDC+∠ODB= 90°.∠ODC=90°.∴.OD⊥CD..OD是⊙O的半径，CD是 ⊙0的切线.(3)解：“∠E=∠A,1amA=1anE=号.∴tanA .△Ac△DcB,8器-职-是cD =2AC=6∴BC=gCD=9AB=AC-C-是.O0 的半径为.25.解：1)①2子②作GPLFN于点P,则 ∠GPF=∠GPH=90°.由题意，得FD⊥DG,AB⊥BC,DF⊥ FH,DG∥FH,.∠FDG=∠F=∠B=90,∠DGB=∠： .∠ADE+∠GDB=90°，∠GDB+∠BGD=90°，四边形DF PG是矩形.∴∠DGB=∠ADE,GP=DF=2.∴∠a=∠ADE. m∠a=am∠ADE=是“品=景PH=号m在 2 R△PHG中，由勾股定理，得GH=VGP+PF-号m 答：此时影子GH的长度为号m(2)小明会被太阳光照射到。 理由如下：作NQ⊥BC于点Q,则∠NQH=90°，由题意，得QB =3m,∠a=∠ADE=∠DGB=60°.：AE=DE=0.5m, ∴△ADE是等边三角形.∴AD=0.5m.:AB=2.5m,∴.DB =2mc=29m6p=2mGH=0=9m 3m. 第17页( ∴.QH=BG+GH-BQ=(2B-3）m,∴QN=QH·tan60= √×(25-3）=6-3V3<1,∴小明会被太阳光照射到. 4 31 26.解：(1)联立 、解得 ∴.函数y=之x V- 2图象的“和零点”是（寺，专）(2)联立 y=x2-3x十k, y=-x, 理，得x2-2x十k=0.函数y=x2-3x十k的图象存在唯一一 个“和零点”，∴方程x2一2x十k=0有两个相等的实数根. y=一x, △=(-2)2-4k=0,解得k=1.(3)联立 y=-x2+4x+6, 解得=-10=6， .A(-1,1),B(6,-6).由(1)可知 y1=1,y2=-6. C(号，-号）CD=青Sa=Sam+Sam=CD: (。-x)=×告×6+1)=号 期末综合评价（二） 1.A2.A3.C4.B5.D6.B7.C8.B9.2(答案不 唯一)10.911.3V512.513.4√214.11π15.50 16,25或65°17.解：原式=号-2×（号）+是×（受）】 =-1+-=-18证明：0DLAB,OE⊥ AC,∴AD=AB,AE=合ACAB=AC,AD=AE.:AB ⊥AC,.∠A=∠ODA=∠OEA=90°..四边形ADOE是矩 形.AD=AE,.四边形ADOE是正方形.19.解：(1)易得 二次函数图象的对称轴为直线x=一1.：点A(一3,0)，∴点B 的坐标为(1,0).设这个二次函数的表达式为y=a(x十3)(x 1),将C(0,-3)代入y=a(x+3)(x-1),得-3a=-3,解得a =1,∴.这个二次函数的表达式为y=(x十3)(x-1)=x2十2x -3.(2)A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),.AB=4,OC=3, △ABC的面积为之×4×3=6,20.解：如图，老 东 162 58 过点B作BE⊥AC于点E.由题可知∠BAC=180°-58°-62 =60°，∠DCA=62°，∠DCB=25°，.∠ACB=∠DCA-∠DCB =3在R△ABE中，sn∠BAC=铝BE=AB· sin∠BAC=80×sin60°=40√3(n mile).在Rt△CBE中， sin∠ACB=BC,.BC=-BE BE 405_2003(mile). sin∠ACB≈0.6 3 答：渔船位置B和海警船位置C之间的距离为200E 3 n mile. 21.解：(1)如图， 射线BD即为所求.(2)如图， 共24页) 射线BD即为所求.22.(1)证明：连接OC. :AB为直径，.∠ACB=90°，即∠BCO+∠OCA=90, 又：∠DCB=∠CAD,∠CAD=∠OCA,∴·∠OCA=∠DCB. .∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°.：OC是⊙O的半径， .CD是⊙O的切线.(2)∠DCO=90°，OC=OB,∴.OC+ CD=OD..OB2+42=(OB+2)2..OB=3..AB=6.AE ⊥AD,AB是⊙O的直径，∴.AE是⊙O的切线.，CD是⊙O的 切线，AE=CE.:AD2十AE2=DE,(6十2)2十AE= (4十AE)2.AE=6.23.解：(1)由题意，得每件商品的利润 为(12-8十x)元，总销量为(100-10x)件，.y=(12-8+ x)(100-10x)=-10x2十60x十400(0<x<10).(2)根据题意， 得y=-10x2+60x十400=-10(x-3)2+490,∴.当x=3时，y 取得最大值为490，此时12十3=15（元/袋）.答：每袋牛肉面的 售价上涨3元时，该平台每天销售这种牛肉面可获得最大利 润，此时，牛肉面的定价为15元/袋，获得的最大利润为490元. 24.解：(1)摄像头P的仰角、俯角都调整为15°，摄像头高度OP =160cm,识别的最远水平距离OQ=150cm.如答图①，过点 M作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点E,D,交水平线于 点F,由题意知∠POQ=∠OPF=∠FMO=90°，∴.四边形 POMF是矩形，∴.PF=OM=90cm,MF=OP=160cm.在 R△PEF中，am∠EPF=写票.EF=PF·tm15=90X tan15°≈24.3(cm),.ME=MF+EF=160+24.3= 184.3(cm),∴.小张的身高约是184.3cm.(2)如答图②，过点Q 作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点C,G,交水平线于点 H.同(1)，可知四边形POQH是矩形，∴.PH=OQ=150cm, QH=OP=160cem在R△PCH巾，am∠CPH=第CH =PH·tan15°=150×tan15°≈40.5(cm),同理GH= 40.5cm,∴.GQ=QH-GH=160-40.5=119.5(cm),CQ= QH+CH=160+40.5=200.5(cm),小军头部以下的高度为 139-18=121(cm).121cm>119.5cm,且小军身高139cm <200.5cm,∴.小军能被摄像头识别. 仰角15E 一A 仰角150CA 摄头P一N冰平线 摄像头P史可一N冰平线 俯5°DB 俯5° ㎡8m mww 答图① 答图② 25.(1)证明：连接OC.CD是⊙0的切线，∴OC⊥CD,即 ∠OCD=90°.AB是⊙O的直径，.∠BCA=90°.∠BCD= 90°-∠BCO=∠OCA.:OC=OA,∴.∠OCA=∠A.∴∠BCD =∠A.(2)证明：作直径CF,连接BF,则∠F=∠A.·CD是 ⊙O的切线，.FC⊥CD,即FCD=90°.CF是⊙O的直径， .∠FBC=90°.∴.∠BCD=90°-∠BCF=∠F,∠BCD= 第18页( ∠A.(3)解：连接OC,BE.BC=CE,.OC⊥BE.,CD是⊙O 的切线，.OC⊥CD.∴.BE∥CD.∴.∠ABE=∠D=45 ∴.∠ACE=∠ABE=45°.26.解：(1)抛物线y=ax2+bx十( 与y轴相交于点C(0,-3),与x轴相交于点A(-2,0),B(6, 4a-2b+c=0, 0),将点A,B,C的坐标分别代入，得36a十6b+c=0,解得 c=-3, 4 1 b=-1, 抛物线的函数表达式为y=x-x一3.(2)作点 c=-3, B关于y轴的对称点B',连接BP,PD,BD,BP,如图 V 根据轴对称可知：PB=PB,.PB十 B PD=PB十PD.两点之间线段最短，∴.当点B,P,D共线 时，PB'十PD的值最小，即PB十PD的值最小，最小值为BD 的长度.点B的坐标为(6,0)，.点B的坐标为(-6,0) ∵y= x-x-3=子c-2-4,顶点D的坐标为(2， 1 -4),∴.PB十PD的最小值为B'D=√(2+6)+4=4√5.设 直线BD的函数表达式为y=kx十n,将点D,B的坐标分别代 1 -6k十n=0, = 入，得 解得 2’.直线BD的函数表达式 12k+n=-4, n=一3， 为y=一 2x-3,当x=0时，y=-3,点P的坐标为(0， 一3).(3)在第四象限内的抛物线上存在一点E,过点E作EF ⊥x轴交x轴于点F,使△OEF与△OBC相似，理由如下：设 E(m,m-m-3)(m>0),则F(m,0),六OF=m,EF= 年m+m+3,0B=6,OC=3.①当△FE0∽△OCB时， 1 器器即号 年+m+3 1 6 -,解得m1=√/13十1,2= 3 -√+1（不合题意，舍去），此时子m-m-3=×(+1) -(压+1)-8=（丽+1，）@当 1 △FE0n△OBC时需-需，即0千m十3】 6 -受，解得 m=2,m=一6（不合题意，舍去），此时子m2-m一3=子×2 一2一3=一4，∴E(2,一4).综上所述，在第四象限内的抛物线 上存在一点E,过点E作EF⊥x轴交x轴于点F,使△OEF与 △0BC相似：点E的坐标为2，-)或（压+1，二☐）》 共24页)