第2章 二次函数综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

第二章综合评价 asa (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目 要求)》 题号 2 3 6 7 8 北 答案 1.下列函数是二次函数的是 A.y=2x+1 B.y=(x-1)2-x C.y=1-x2 D.y-2 2.抛物线y=一3(x十2)2一3的顶点坐标是 A.(2,-3) B.(-2,3) C.(2,3) D.(-2,3) 3.二次函数y=一x2+2x十4的最大值为 A.3 B.4 C.5 D.6 4.二次函数y=a.x2十x十c(a≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如下表，则关于x的方程ax十 x十c=0的一个根的近似值是 翠 1.1 1.2 1.3 1.4 … 封 0.49 0.04 0.59 1.16 A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38 5.关于二次函数y=一(x十1)2一2，下列说法正确的是 A.函数图象的开口向上 B.函数图象经过原点 C.函数图象与y轴的交点坐标是(0，一3) D.当x>1时，y随x的增大而增大 6.一次函数y=ax十b(a≠0)与二次函数y=a.x2+bx(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能 是 之产 7.投壶（如图①）是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏.顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离 壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条 抛物线.如图②是小西在投壶时，箭头行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系图象，投 出时箭头距地面的高度OA为号m,当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点多m 第1页（共6页） 处.已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于x轴的线段），且OB=3.若小西投 壶恰好投中，则BC的长为 A.0.2m B.0.3m C.0.35m D.0.4m y/m B x/m 图① 图② (第7题图) (第8题图) 8.如图，二次函数y=ax2十bx+c图象的对称轴是直线x=一1，下列结论：①abc<0;②3a+c>0; ③am2十b(m十1)≥a(m为常数)；④若关于x的方程a,x2十bx+c一k=0恰有三个解，则a一c= k.其中正确的是 A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.已知关于x的二次函数y=ax2+6x一5有最小值，则a的值可以是 ·(写出一个即可) 10.将抛物线y=(x一3)2一4向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线 的函数表达式是 11.抛物线y=x2十5x+7与x轴的交点个数为 12.已知抛物线y=ax2一3.x+c(a≠0)经过点(-2,4)，则4a十c-1的值为 13.若二次函数y=-x2+6x-7的图象经过A(-1,y),B(1,y2),C(4,y)三点，则yMy2,y的 大小关系是 （用“>”连接)」 14.若抛物线y=x2十bx十c与x轴的两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2,P为抛物线的顶 点，则点P的坐标为 15.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为l0m/s,经过t(s)后球距离地面的高度h(m)适用公式 h=10t一5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间为s. 16.如图，分别过点P,(i,0)(i=1,2,…,m)作x轴的垂线，交y=x的图象于点A, 交直线y=一受于点…则点十压十十的值为 1 三、解答题（本题共10小题，其中17,18,19,20,21,22题每题6分，23,24题每题8分，25,26题每 题10分，共72分) 17.用配方法将二次函数y=一2x2+4x一1的表达式化为y=a(x十m)2十k的形式，并指出该函 数图象的开口方向和对称轴. 第2页（共6页） 18.已知二次函数y=x2十mx十m一2，求证：无论m取何实数，抛物线与x轴总有两个交点. 19.若抛物线y=a(x十1)2十b与抛物线y=2x2的形状、开口方向都相同，且经过点(2,3)，求a,b 的值 20.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2mx十m十1经过点B(一1,0). (1)求m的值和抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位长度后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求n的值， 21.已知二次函数y=ax2十bx十c的自变量x与函数y的部分对应值如下表 2 -1 0 2 3 … 5 0 -3 一4 -3 0 (1)二次函数图象的顶点坐标为 ,m的值为 (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的解为 第3页（共6页） 22.如图，二次函数y=(x十2)2+m的图象与y轴交于点C,与一次函数y=kx十b的图象交于点 A(一1,0)，B.已知点B与点C关于抛物线的对称轴对称. (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当(x十2)2十≥kx十b时x的取值范围. 23.某大桥主拱形OAB呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连.如图所示，建立平面直角 坐标系，吊杆CD到原点O的水平距离OC=26m,吊杆EF到原点O的水平距离OE=134m, 且CD=EF,主拱形离桥面的距离y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=一O.O06(x 一h)2十k,其对称轴为直线x=h. (1)求OH的长度； (2)求主拱形到桥面的最大高度AH的长. y/m D B x/m 第4页（共6页） 24.宁夏是枸杞原产地，栽培枸杞已有500多年的历史.枸杞色艳、粒大、皮薄、肉厚、籽少、甘甜，品 质超群，是被载入新中国药典的枸杞品种，国家医药管理局将宁夏定为全国的药用枸杞产地， 引入全国十大药材生产基地之一.某批发商销售成本为40元/kg的枸杞，根据物价部门规定， 该产品每千克的售价不得超过120元，不得低于成本价.在销售过程中发现销售量y(kg)与售 价x(元/kg)满足一次函数关系，对应关系如下表. 售价x/(元/kg) 50 60 70 80 销售量y/kg 100 90 80 70 (1)求y与x之间的函数表达式. (2)当该产品每千克的售价为多少元时，批发商获得的利润（元）最大？最大利润为多少元？ 25.如图，已知抛物线y=x2一x一2交x轴于A,B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴 翻折，其余部分不变，得到的新图象记为图象W,图象W交y轴于点C (1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数解析式； (2)若直线y=一x十b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值. 第5页（共6页） 26.如图①，已知抛物线y=a.x2+bx+c经过A(一3,0)，B(1,0),C(0,3)三点，其顶点为D,对称轴 是直线I,l与x轴交于点H. B B GHO 图① 图② (1)求该抛物线的函数表达式. (2)若点P是该抛物线对称轴1上的一个动点，求△PBC周长的最小值. (3)如图②，若E是线段AD上的一个动点(E与，点A,D不重合)，过点E作平行于y轴的直线 交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为，四边形AODF的面积为S. ①求S与m的函数关系式. ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由. 第6页（共6页）综合评价答案 第一章综合评价 1.A2.D3.D4.D5.C6.D7.C8.C9.410.13° 11.14°2912.(5,12)13.>14.2√215.816.2√5 17,解：原式=2×十十（号）-2,18，解：在R△ABC 2 5 中，BC=12,tanB=2,AC=BC·anB=5.AB= VAC+BC=13.osA-6-是19.解：在R△BDC 中，∠C=90°，∠BDC=45°，BD=10√E,.BC=BD· sin∠BDC=10.:在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=20,.sinA =器=合20解：过点C作CH上AB于点.：在 R△ACH中，∠A=30,AC=43,CH=号AC=25,AH =AC·cosA=6.:AB=10,.BH=AB-AH=4.∴.tanB= 鼎：污黄部分的内容是号21解：由超意，∠A ∠ACE=37°，∠ADB=53°..∠CBD=∠A+∠ADB=90. .∠ABD=180°-∠CBD=90°.：在Rt△BCD中，CD= 100m,∠BDC=90°-∠ADB=37°，∴.BD=CD·cos∠BDC ≈100×0,80=80(m).:在Rt△ABD中，∠A=37°，∴.AB= 六0号≈107a.答：A,B两点间的距离约为107m BD 22.解：(1)如图，∠CBA即为所求.(2)如图，∠CBD即为所求. 23.解：设CE=xm.易得四边形ABGF和 ADEF是矩形，·FG=AB=50m,DE=AF=号m.在 R△CFE钟，BF=an乙C距≈含xm在R△CGE中，BG an乙CGE寺xm.由EF-EG=FG,得号x-号=50，解得 4 1=空.CE=空mCD=CE+DE=39m答：东塔CD的 高为39m.24.解：(1)过点D作DF⊥BC于点F.:AE⊥ BCDF∥AE△(DFO△CAE.E-界CD 2AD,8=号：AE=9,5=号DF=6.在 9 R△BDF中，m∠CBD=器=子，即品=子BD=& (2)由(1)知DF=6,BD=8,∠DFB=90°，.BF= √BD-DF=2√7.BD=CD,DF⊥BC,∴.CF=BF=2V7. DF/AE景-器=2EF=CT=.BE=BF EF=7.tam∠BAE=BE=.25.1)证明：∠CAP= AE 9 ∠ABC,∠AcP=∠BCA,△ACP△BCA-= 第13页( :AB=AC提-品A=AP,BC(2)解：过点A作 AE⊥BC于点E.:AB=AC,AE⊥BC,.BE=CE=号BC :sm∠ABC=怎=手设AE=4k,则AC=AB=5k.∴BE =√AB-AE=3k.∴.CE=3k..BC=BE+CE=6k.由(1) 知△ACPn△BCA.∴瓷-器∴CP-瓷-答：BP- BC-CP=k.BP:PC=11:25.(3)解：BD⊥BC, 6 ∠DBP=∠AEP=90°.：AB=AC,.∠ABC=∠ACB. ∠CAD=∠ABC,∴∠CAD=∠ACB.∴.PA=PC.:DCL AC,∴∠ACB+∠DCP=90°，∠CDP+∠CAD=90°.∴.∠DCP =∠CDP.∴PD=PC..PA=PD.又∠APE=∠DPB, ∴△PAE≌△PDB(AAS).∴.PB=PE.设PB=PE=a,则BE =CE=2a..CP=PE+CE=3a.∴.AP=CP=3a.∴.AE= VaD-PE=2a.m∠ABC-能-E.26解：1)当 ∠A=90°时，AB=AC,.BC=√AB+AC=√2AB.∴sad90 -BC=EAB-2.(2)0<sadA<2[解析：当∠A接近0°时， AB AB sdA接近0.，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的 2倍，故sadA接近2..sadA的取值范围为0<sadA<2] (③延长AC到点D.使得AD=AB,连接BD:smA-答 亭∴设BC=3k,AB=5k,在R△ABC中，由匀股定理，得AC =VAB2-BC2=4k..CD=AD-AC=AB-AC=5k-4k= k,在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=√CD+BC= 干四=在等腰三角形A8D巾A铝- 第二章综合评价 1.C2.B3.C4.B5.C6.C7.B8.D9.1(答案不 唯一，a>0即可)10.y=(x-4)2-211.012.-3 13>>n142,-)15.21617.解：y -2x2十4x-1=-2(x-1)2+1,∴.该函数图象的开口向下，对 称轴为直线x=1.18.证明：由题意，得△=m2一4(m一2)= (m-2)2+4.(m-2)≥0，.(m-2)2十4>0，即△>0.∴.无 论取何实数，抛物线与x轴总有两个交点.19.解：由题意， 得a=2,∴.抛物线的函数表达式为y=2(x十1)2+b.把(2,3)代 入，得2×(2+1)2十b=3,解得b=-15.20.解：(1)把 B(-1,0)代入y=x2+2mx十m十1，得1-2m十m十1=0，解得 m=2..抛物线的函数表达式为y=x2+4x十3=(x十2)2-1. ∴.抛物线的对称轴为直线x=一2.(2)由题意，得新抛物线的函 数表达式为y=(x+2-n)2-1.把(0,0)代入，得(2-n)2-1= 0,解得n=3,或n=1.21.解：(1)(1，-4)5(2)如图所示. (3)x1=4,x2=-222.解：(1)把A(-1,0) 共24页) 代入y=(x十2)2十m,得1十m=0,解得m=一1.，∴.二次函数的 表达式为y=(x十2)2-1.令x=0,得y=3,.点C的坐标为 (0,3).抛物线的对称轴为直线x=一2，点B,C关于对称轴 对称，点B的坐标为(-4,3).把A(-1,0),B(-4,3)代入 一k十b=0, y=kx十b,得 4十6二3解得{6二1一次函数的表达式 为y=-x-1,(2)x的取值范围为x≤一4或x≥-1. 23.解：(1)由题意，得其对称轴为直线x=134+26=80,即h= 2 80,OH=80m.答：OH的长度为80m.(2),h=80,.y= -0.006(x-80)2+k.将O(0,0)代入y=-0.006(x-80)2+ k,得-0.006×(0-80)2十k=0,解得k=38.4..y= -0.006(x-80)2+38.4.∴A(80,38.4),即AH=38.4m. 答：主拱形到桥面的最大高度AH的长为38.4m.24.解：(1)设 y与x之间的函数表达式为y=kx十b(k≠0).把(50,100)， (60,90)代入，得50k+6=100, 606十6=0.解得y与x之间的 b=150. 函数表达式为y=-x十150.(2)由题意，得w=(-x十 150)(x-40)=-(x-95)2+3025.-1<0,40≤x≤120， 当x=95时，w有最大值，最大值为3025.答：当该产品每千 克的售价为95元时，批发商获得的利润最大，最大利润为 3025元.25.解：(1)在y=x-x-2中，当y=0时，x2-x 2=0,解得x1=一1，x2=2.A(-1,0),B(2,0).由题意，得图 象W位于线段AB上方部分对应的函数解析式为y=一x十 x十2（一1<x<2).(2)b的值是2或3.【解析】分两种情况讨 论：①当直线y=一x十b过点B时，与图象W有三个交点，此 时一2十b=0,解得b=2;②当直线y=一x十b与图象W的曲 线BC段只有一个公共点时，与图象W有三个交点，此时一x十 b=-x2十x十2，整理，得x2-2x十b-2=0.△=(-2)2-4X 1×(b-2)=0,解得b=3.综上所述，b的值是2或3. 26.解：(1)，抛物线y=ax2十bx十c经过A(-3,0),B(1,0), 9a一3b十c=0, a=-1, C(0,3)三点，a十b+c=0,解得b=-2,∴该抛物线的函 c=3, c=3. 数表达式为y=一x2-2x十3.(2)如答图，连接 AC交DH于点P,连接BC,PB.△PBC的 周长=PB+PC+BC.又.B(1,0),C(0,3), .BC=√2+3=√I0,是定值，∴当PB十 PC最小时，△PBC的周长最小.：点A,B关 答图 于对称轴l对称，.PB=PA,.PB十PC=PA十PC≥AC ∴当P,A,C三点共线时，PB十PC的值最小，等于AC的长 .△PBC周长的最小值为AC+BC.A(一3,0)，.AC= √3+3z=3√2..△PBC周长的最小值为3√2+√10. (3)①：y=-x2-2x十3=-(x十1)+4，.顶点D(-1,4). 设直线AD的函数表达式为y=kx十n.把点A(-3,0),D(-1, 4)代入，得广3张+n=0, ”年得仁线D的商数达试 为y=2x十6.：点E的横坐标为m,E(m,2m十6)(-3<m< -1).EF⊥x轴，.F(m,-m2-2十3)，.∴.EF=(-m2一2m 第14页( 十3)-(2m十6)=-m-4m-3,S=Sar十Sam=号(n -x)·EF+号DH·0A=号×(-1+3)X(-m2-4m-3) +号×4×3=-m-4m十3，即S=一m2-4m十3.@存在.S= -2-4m十3=-(m十2)2十7.-1<0，∴.当m=-2时，S 取得最大值，最大值为7，此时点E(一2,2). 期中综合评价 1.D2.B3.A4.C5.B6.D7.B8.D9.z 10.x1=-2,x2=111.(1,4)12.105°13.2√1014.-8 15.1+而1+而)16.是17.解：原式=1+2-2×号 +4=1十√2-√2+4=5.18.解：把(5,0)代入y=-x2+(k十 1)x-k,得0=-52十5(k十1)一k,解得k=5..该抛物线的函 数表达式为y=一x2十6x一5=一(x一3)2十4.·抛物线的对称 轴为直线x=3.19.解：CD⊥AB,.∠CDA=90°.sinA =专(D=4mA---合AC=5.在R△ACD 中，由勾股定理，得AD=√AC-CD=√-4=3.∴BD= AB-AD=5-3=2.mB-品-专-2.20解：1)范物 线为的函数表达式为=（红一2）一2.(2)设抛物线为的 对称轴与x轴交于点C,与抛物线y2交于点A,过点A作AB ⊥y轴于点B,如图. 可得y2的顶点坐标为(2， 一2)，且抛物线y2的对称轴与两段抛物线围成的阴影部分的 面积等于矩形OBAC的面积，∴阴影部分的面积为2×2=4. 21.解：(1)如图， △ABC即为所求.（答案不唯一） (2)如图， E△ABE即为所求.22.解：i1= m∠Dc-器-方号∠DEc=0:E=10m, :DC=合DE=号×10=5(m).:四边形ABCD为矩形， :AB=CD=5n:斜技AF的按度为，=14，部=子， ∴.BF=4AB=4×5=20(m).在Rt△ABF中，由勾股定理，得 AF=√AB2+BF=√52+20=5√/17≈20.62(m).答：斜坡 AF的长度约为20.62m.23.解：(1)：y=x2-x-6= (:-x+子-十)一6=（仁-）-空“抛物线的顶点坐 共24页)