专题1 构造直角三角形解直角三角形&1.5 三角函数的应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

专题一 构造直角三角形 类型1利用作高构造直角三角形 (一)不含特殊角的非直角三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC=5,sinB= 4 则BC的长是 A.3 B.6 C.8 D.9 B B (第1题图) (第2题图) 2.如图，在△ABC中，AB=10,c0sB=号，D为 BC边上一点，且AD=AC.若CD=4,则 BD的长为 (二)含特殊角的非直角三角形 名师点拨：对于含特殊角(30°，45°，60°，120°，135°， 150°)的非直角三角形，通过作高构造直角三角形时， 原则是“不破坏”特殊角，部分常见的构造形式如下 (第三个图中，∠BAC=120°或135°也适用)： 445°60B 45601 150 3.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4, AC=2,则BC的长是 ( A.√7 B.5 C.2/5D.2√7 430 45>B (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°， BC=3√2，则AB的长为 5.(易错题)在△ABC中，AB=3√6，AC=6,∠B= 45°，则BC的长为 6.如图，AD是△ABC的中线，1anB= csC-号AC=克 (1)求BC的长； 解直角三角形通性通法】 (2)求cos∠ADC的值， 类型2利用已知直角构造直角三角形 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， AB=6,BC=4,tanA=青，求AD的长. 类型3利用勾股定理的逆定理构造直角三角形 8.如图所示的网格是正方形网A 格，△ABC和△CDE的顶点 都是网格线交点，则∠ACD 的正弦值是 ( ) A.1 B.③ C.② D③ 2 3 提示 清完成阶段微测试（一）[1.1一1.4] 数学九年级下册配BSD版10 5 三角丞 了基础过关 >◆逐点击破 知识点1利用三角函数解决方向角问题 1.如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东30 方向上，渔船向正东方向航行l2 n mile到达 B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这 时渔船与灯塔C的距离是 A.12√3 n mile B.6√3 n mile C.6 n mile D.4√3 n mile 声东 海平面 (第1题图)（第2题图） (第3题图) 2.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处 测得灯塔M在北偏西40°方向，货轮以 20 n mile/h的速度航行0.8h后正好到达 灯塔M的正东方向的B处，此时货轮与灯 塔M的距离约为 n mile.（结果精确 到0.1 n mile,参考数据：sin40°≈0.64， cos40°≈0.77，tan40°≈0.84) 知识点2利用三角函数解决仰角、俯角问题 3.(2025·长春中考)如图，已知某山峰的海拔 高度为mm,一位登山者到达海拔高度为 nm的点A处，测得山峰顶端B的仰角为a, 则A,B两点之间的距离为 ( A.(m-n)sinam E.m二nm sin a C.(m-n)cos a m 4.(2025·广安中考)随着科技的发展，无人机 在实际生活中应用广泛.如图，O,C是同一 水平线上的两点，无人机从点O竖直上升到 点A,在点A测得点C的俯角为30°，A,C两 点的距离为24m.无人机继续竖直上升到点 B,在点B测得点C的俯角为36.9°.求无人 11第一章直角三角形的边角关系 数的应用 机从点A到点B的上升高度AB.(结果精 确到0.1m,点O,A,B,C在同一平面内，参 考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80， tan36.9°≈0.75，√3≈1.73) 36.9B D- E- 30 知识点3利用三角函数解决坡度问题 5.如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的 底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木 桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°. 若楔子沿水平方向前移6cm(如箭头所示)， 则木桩上升了 18 B 6 A.6tan18°cm B. tan 185 cm C.6sin18°cm D.6cos18°cm 6.(2025·绥化中考)如图，某 水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡度i=1：√2，堤坝高 BC=15m,则迎水坡AB的长是 m. 口能力提升 ♪◆◆整合运用 7.(教材P19“想一想”变式)(2025·陕西中考) 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆 的高度.在征得家长同意后，他们带着工具 前往测量.测量示意图如图所示，他们在坡 面FB上的点D处安装测角仪DE,测得信 号杆顶端A的仰角a为45°，DE与坡面的夹 角3为72.5°，又测得点D与信号杆底端B 之间的距离DB为22m.已知DE=1.7m, 点A,B,C在同一条直线上，AB,DE均与水 平线FC垂直.求信号杆的高AB.(参考数 据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30， tan72.5°≈3.17) 思维拓展 ◆◆·强化素养 8.(2025·烟台中考)【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在 烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了 解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组 开展了实践探究活动. 如图，一艘渔船自东向西以每小时10 n mile 的速度向码头A航行，小组同学收集到的部 分信息如下表 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方 位置 向的C处 信息 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的 D处 天气 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头 预警A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船 能否在浓雾到来前到达码头A.（参考数 据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75,sin14°≈0.24，c0s14°≈0.97， tan14°≈0.25) 数学九年级下册配BSD版123三角函数的计算 基础过关 1.A2.解：(1)原式0.9763.(2)原式≈一0.6959.(3)原式≈ 1.7692.3.A4.B5.(1)17°405”(2)83°4841" (3)82°24'30”6.23°35 能力提升 7.C8.8.169.解：由题意，得BD=120m,AB=50m,CD= 75m.易得AE=BD=120m,DE=AB=50m,∴.CE=CD DE=25m在R△ADE中，ama=-品-最a≈ 26在R△AE中，mg--高-京11.职第 角a约为22.6°，仰角B约为11.8°. 4解直角三角形 基础过关 1.A2.C3.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=√6，c=2√2， 6=可=亿m8=2-%分小/8=那 .∠A=90°-∠B=60°.4.D5.156.解：(1)∠B=60°， ∠A=90°-∠B=90°-60°=30°.a=8,.c=2a=16. :6=c·sin60=16×5=8V3.(2):∠C=90°，∠B=45° ∠A=45°.∠A=∠B.而b=√6，a=b=√6.根据勾股定 理，得c2=a2十6，即c=2√3.7.88.1.89.4或14 能力提升 10.A11.0.3112.213.(1)证明：AD是BC边上的高， .AD⊥BC.∴.∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中，tanB= 品在R△ACD中，as∠DAC=nB=s∠DAC, A 品把AC=D(2解：在R△ACD中，如C-把 厂总设AD=12x,则AC=BD=13x,在R△ACD中，由勾股定 理，得CD=√AC-AD=5x.BD+CD=BC=12,∴13x+ 5x=12,解得x=号∴AD=12×号=8 思维拓展 14.解：1：∠C=90,amB=瓷=是设AC=3,则BC =4x.在Rt△ABC中，AC十BC2=AB,∴.(3x)2十(4x)2= 52,解得x1=-1(舍去)，x2=1..AC=3,BC=4.BD=1, .CD=BC-BD=3.在Rt△ACD中，AD=√CD+AC= 3√2.(2)过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=∠BED=90. 在R△AC中，AC=3.AB=5,smB=船=是在 R△BDE中，BD=1,DE=BD·simB=子，在R△ADE 中，AD=3Ema=5-得 第2页( 专题一构造直角三角形解直角三角形队通性通法】 1.B2.43.D4.3+335.33+3或33-3 6.解：1)过点A作AE1BC于点E.cmsC-号∠C 45°..∠CAE=90°-∠C=45°=∠C.∴.AE=CE.在Rt△ACE 中，CE=AC·cosC=1,AE=1,在Rt△ABE中，tanB=能 =合BE=3AE=3.BC=BE+CE=4(2):AD是 △ABC的中线，CD=号BC=2.∴DE=CD-CE=1.:AE ⊥BC,DE=AE=1,∴.∠ADC=∠DAE=45°..cos∠ADC= 号.7.解：延长AD,BC,交于点E,在R△ABE中，：anA 能-专AB=6BE=8.∴AE=VAB+BE=10,CE BE-BC=msE-85-台在K△CDE中，CE=4DE -CE.cos EAD-AE-DE-34.8.c 5三角函数的应用 基础过关 1.A2.13.43.B4.解：由题意，得BD∥AE∥OC, ∴.∠BCO=∠DBC=36.9°，∠ACO=∠EAC=30°.在Rt△AOC 中，AC=24m,∠AC0=30,0A=2AC=12m,0C=AC cos∠ACO=12√3m.在Rt△BCO中，OB=OC·tan∠BCO ≈9√3m.∴.AB=OB-OA=9√5-12≈3.6(m).答：无人机从 点A到点B的上升高度AB约为3.6m5.A6.15√3 能力提升 7.解：过点E作EI⊥AC于点I,过点D作DH⊥AC于点H. AB,DE均与水平线FC垂直，DE∥AC.∠DBH= ∠BDE=72.5°.DH⊥AC,∠DHI=90°.在Rt△DBH中， BD=2mn72.-品as725r-8器则DH=BD sin72.5°≈22×0.95=20.9(m),BH=BD·cos72.5°≈22X 0.30=6.6(m).:过点E作EI⊥AC于点I,过点D作DH⊥ AC于点H,DE∥AC,∴∠EDH=∠DHI=∠HIE=90°..四 边形EDHI是矩形..EI=HD=20.9m,IH=DE=1.7m ∠AEI=45°，∠AIE=90°.∴.∠EA1=45°..AI=EI= 20.9m..AB=AI+IH-BH=20.9+1.7-6.6=16(m). 答：信号杆的高AB约为16m 思维拓展 8.解：(I)过点B作BE⊥AC于点E.设BE=n mile.由题意， 得∠EBC=53,∠EBD=45,CD=10X号=5 n mile).“∠C =90°-∠EBC=37°，DE=x n mile..EC=DE+CD=(x+ 5》nmie在R△BCE中，C=≈O7=号r(amie). “专=x十5，解得x=15.BE=15nmic,渔船在航行过 共24页) 程中到灯塔B的最短距离为15 n mile.(2)在Rt△ABE中， ∠ABE=14°，BE=15 n mile,AE=BE·tan∠ABE≈ 3.75 n mile.(1)CD=5 n mile,DE=15 n mile,.'.AC=AE+ DE+CD=23.75 n mile.23.75÷10=2.375(h)=142.5(min),从 14:30经过142.5min是16：52：30，.不改变航行速度，渔船能 在浓雾到来前到达码头A. 6利用三角函数测高 基础过关 1.A2.A3.解：(1)由题意，得BC⊥CD.在Rt△BCD中， ∠BDC=45°，CD=26m,∴.BC=CD·tan∠BDC=26m. 答：楼高BC为26m.(2)在Rt△ACD中，∠ADC=50°，CD= 26m,..AC=CD·tan50°≈26×1.2=31.2(m)..AB=AC-BC =31.2-26≈5(m).答：旗杆的高度AB约为5m.4.解：由题 意，得CG⊥AB,CD=EF=BG=1.7m.设EG=xm.:CE= DF=5.5m,.CG=CE+EG=(x+5.5)m.在Rt△ACG中， ∠ACG=16.7°，∴AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+5.5)m.在 Rt△AEG中，∠AEG=22°，.AG=EG·tan22°≈0.4xm. .0.4x=0.3(x+5.5),解得x=16.5...AG=0.4x=6.6m. AB=AG十BG=6.6+1.7=8.3(m).答：长城第一墩的高度 AB约为8.3m. 能力提升 5.解：过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE于点F. 易得四边形BCFE是矩形.∴BE=CF,EF=BC.由题意，得 AB=80m,DE=40m,∠DAE=30°，∠DCF=45°.在 Rt△ADE中，∠AED=90°，.AE= DE an∠DAE=40V5m. .CF=BE=AB-AE=(80-40√3)m在Rt△DCF中， ∠DFC=90°，∠DCF=45°，∴.DF=CF·tan∠DCF=(80- 40√3)m..BC=EF=DE-DF=40√3-40≈28(m).答：楼 BC的高度约为28m.6.解：过点C作CG⊥AB于点G,过点 D作DH⊥AB于点H,则四边形CDHG是矩形，.GH=CD =10m,CG=DH.:∠1=45°，∴.CG=AG.设CG=AG=DH =xm,:在Rt△BCG中，∠2=52°，.BG=CG·tan52°≈ 1.3xm..在Rt△BDH中，∠3=65°，∴.BH=DH·tan65°≈ 2.1xm..GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10.解得x=12.5. .AB=BG十AG=1.3×12.5十12.5≈29(m).答：大楼的高度 AB约为29m 专题二解直角三角形应用中的基本模型 1.7.42.2103.120√34.解：过点A作AE⊥CD于点E. 由题意，得四边形ABCE为矩形.所以CE=AB=13.20m. C在R△ACE中，tan∠CAE=E,÷AE= CE tan∠CAE= 品2g≈30,0(m.:在R△ADE中，as∠DAE=5, 13.20 AE c08D4E=0062g≈37.5(m.答：AD的长约为 ,.AD= 37.5m.5.100√36.解：(1)：在Rt△AOC中，∠AOC= 90,∠AC0=30,AC=8kmA0=号AC=2×8=4km. 第3页( (2)在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km ∴.OC=AC·cos∠ACO=4√3km.在Rt△BOC中，∠BOC 90°，∠BCO=45°，∴.∠BC0=∠OBC=45°，.OB=OC=4V5km, 六AB=0B-OA=（45-4)km,4V5-4≈0.3(km/s.答： 10 卫星从A处到B处的平均速度约为0.3km/s.7.1005 8.20059.解：(1)：四边形PQMN是矩形，∠Q=∠P= 3 90°.在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m,.AQ=AB· s∠ABQ-2m∠QAB=30i:四边形AD是矩形， ∴.AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90. ∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=30°..AD=BC= CE tan∠CBE= 8Em.:∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD= 5 60,AP=AD·cos∠PAD=45m.PQ=AP+AQ 5 75≈6.1(m.(2)在R△BCE中，BE=nCBE-3.2m CE 2 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2.7m,.该充电站有 20个停车位，∴.PV=QM=BQ十20BE=66.7m. 第一章章末复习 思维导图 对边邻边对边斜边邻边斜边？号怎号 3 19合g 2 考点整合 1.B2.B3.D4.-125.56.1)5+3(260 5 7.135°8.2y59.15 10.解：(1)AE=BE=AC=10,AD 5 ⊥BC,DE=DC在R△AcD中，msC-是=号CD 号AC=号×10=6.DE=DC=6.CE=DE+DC=12. BE=AE=10,.BC=BE十CE=10+12=22.(2)在 Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE-DE=√/I0-6 =8又BD=BE+DE=10+6=16,amB=部-是= 11.18012.10,513.解：1)由题意，得∠CBE=60°，∠CAF 3 =30°，∠BDM=45°，BM⊥DM,BE∥AF∥DM,∴.∠BCM= ∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°.∴.∠ACB=∠BCM ∠ACM=60°-30°=30°.(2)∠CBE=60°，∴∠CBM=90° ∠CBE=90°-60°=30°.由(1)得∠ACB=30°，.∠CBM= ∠ACB=30°..AB=AC=800m.在Rt△ACM中，sin∠ACM A0ms∠ACM-0AM=AC·sm∠ACM=8mX AM sin30=800X2=40(m),CM=AC·cas∠ACM=800× 共24页)