1.6 利用三角函数测高-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

6 利用三 【基础过关 、>逐点击破 知识点1测量倾斜角 1.(教材P22“活动一”变式)如图，在量角器的 圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易的测 倾仪.当量角器的0刻度线AB对准楼顶时， 铅垂线对应的读数是50°，此时观察楼顶的 仰角度数是 A.40° B.50° C.80° D.130° 1铅锤 知识点2测量底部可以到达的物体的高度 2.(教材P22“活动二”变式)如图，某数学实践 小组测量操场上旗杆AB的高度，操作如下： ①在点D处放置测角仪，量得测角仪的高度 CD为a; ②测得仰角∠ACE=a; ③量得测角仪到旗杆的水平距离BD为b. 旗杆AB的高度可表示为 A.a+btan a B.a+bsin a C.atb tan a D.at-b sin a 3.测量计算是日常生活中常见的问题，在现实 生活中，当物体的高度不方便测量时，我们 可以借助所学的知识，利用直角三角形边角 关系得到我们需要的数据.如图，建筑物BC 的屋顶有一根旗杆AB,小雅站在距离楼底 端点C26m处的点D,测得此时旗杆顶点A 的仰角为50°，观测旗杆底部点B的仰角为 45°.（点A,B,C在同一直线上，且，点A,B, C,D处于同一平面内，参考数据：sin50°≈ 0.8,tan50°≈1.2) 13第一章直角三角形的边角关系 角函数测高 (1)求楼高BC; (2)求旗杆的高度AB.(结果精确到1m) 45 X50° 知识点3测量底部不可以到达的物体的高度 4.(2025·甘肃中考)如图①，位于嘉峪关的长 城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长 城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年 (1539年).该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖 之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关 城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御 体系.随着岁月的变迁和自然的风化，长城 第一墩的高度在慢慢降低.为了解长城第一 墩的现存高度.某校同学们开展了“测量长 城第一墩高度”的综合实践活动.如图②是 他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点 A为最高点，点B,F,D是地面同一直线上 的三个点（点D,F都在保护栅栏外），在点 D,F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°， ∠AEG=22°，其中CD=EF=1.7m(测角 仪的高度)，DF=CE=5.5m,求长城第一墩 的高度AB(结果精确到0.1m).(参考数据： sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈ 0.40,sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96， tan16.7°≈0.30) 图① 图② 能力提升 >>、整合运用 5.(2025·银川兴庆区二模)综合实践活动中， 数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度， 如图，无人机在离地面40m的D处，测得操 控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处 的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者 A和楼BC之间的水平距离是80m,则楼 BC的高度为多少米？(，点A,B,C,D都在同 一平面内，参考数据：≈1.7) 30 5 6.(2025·威海中考)小明同学计划测量小河 对面一幢大楼的高度AB.测量方案如图所 示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点 B的仰角∠2的度数，大楼底部点A的俯角 ∠1的度数.然后在点C正下方点D处，测 得大楼顶部点B的仰角∠3的度数.若∠1= 45°，∠2=52°，∠3=65°，CD=10m,求大楼 的高度AB.(结果精确到1m,参考数据： sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3， sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1) R 53 E A 数学九年级下册配BSD版14程中到灯塔B的最短距离为15 n mile.(2)在Rt△ABE中， ∠ABE=14°，BE=15 n mile,AE=BE·tan∠ABE≈ 3.75 n mile.(1)CD=5 n mile,DE=15 n mile,.'.AC=AE+ DE+CD=23.75 n mile.23.75÷10=2.375(h)=142.5(min),从 14:30经过142.5min是16：52：30，.不改变航行速度，渔船能 在浓雾到来前到达码头A. 6利用三角函数测高 基础过关 1.A2.A3.解：(1)由题意，得BC⊥CD.在Rt△BCD中， ∠BDC=45°，CD=26m,∴.BC=CD·tan∠BDC=26m. 答：楼高BC为26m.(2)在Rt△ACD中，∠ADC=50°，CD= 26m,..AC=CD·tan50°≈26×1.2=31.2(m)..AB=AC-BC =31.2-26≈5(m).答：旗杆的高度AB约为5m.4.解：由题 意，得CG⊥AB,CD=EF=BG=1.7m.设EG=xm.:CE= DF=5.5m,.CG=CE+EG=(x+5.5)m.在Rt△ACG中， ∠ACG=16.7°，∴AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+5.5)m.在 Rt△AEG中，∠AEG=22°，.AG=EG·tan22°≈0.4xm. .0.4x=0.3(x+5.5),解得x=16.5...AG=0.4x=6.6m. AB=AG十BG=6.6+1.7=8.3(m).答：长城第一墩的高度 AB约为8.3m. 能力提升 5.解：过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE于点F. 易得四边形BCFE是矩形.∴BE=CF,EF=BC.由题意，得 AB=80m,DE=40m,∠DAE=30°，∠DCF=45°.在 Rt△ADE中，∠AED=90°，.AE= DE an∠DAE=40V5m. .CF=BE=AB-AE=(80-40√3)m在Rt△DCF中， ∠DFC=90°，∠DCF=45°，∴.DF=CF·tan∠DCF=(80- 40√3)m..BC=EF=DE-DF=40√3-40≈28(m).答：楼 BC的高度约为28m.6.解：过点C作CG⊥AB于点G,过点 D作DH⊥AB于点H,则四边形CDHG是矩形，.GH=CD =10m,CG=DH.:∠1=45°，∴.CG=AG.设CG=AG=DH =xm,:在Rt△BCG中，∠2=52°，.BG=CG·tan52°≈ 1.3xm..在Rt△BDH中，∠3=65°，∴.BH=DH·tan65°≈ 2.1xm..GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10.解得x=12.5. .AB=BG十AG=1.3×12.5十12.5≈29(m).答：大楼的高度 AB约为29m 专题二解直角三角形应用中的基本模型 1.7.42.2103.120√34.解：过点A作AE⊥CD于点E. 由题意，得四边形ABCE为矩形.所以CE=AB=13.20m. C在R△ACE中，tan∠CAE=E,÷AE= CE tan∠CAE= 品2g≈30,0(m.:在R△ADE中，as∠DAE=5, 13.20 AE c08D4E=0062g≈37.5(m.答：AD的长约为 ,.AD= 37.5m.5.100√36.解：(1)：在Rt△AOC中，∠AOC= 90,∠AC0=30,AC=8kmA0=号AC=2×8=4km. 第3页( (2)在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km ∴.OC=AC·cos∠ACO=4√3km.在Rt△BOC中，∠BOC 90°，∠BCO=45°，∴.∠BC0=∠OBC=45°，.OB=OC=4V5km, 六AB=0B-OA=（45-4)km,4V5-4≈0.3(km/s.答： 10 卫星从A处到B处的平均速度约为0.3km/s.7.1005 8.20059.解：(1)：四边形PQMN是矩形，∠Q=∠P= 3 90°.在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m,.AQ=AB· s∠ABQ-2m∠QAB=30i:四边形AD是矩形， ∴.AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90. ∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=30°..AD=BC= CE tan∠CBE= 8Em.:∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD= 5 60,AP=AD·cos∠PAD=45m.PQ=AP+AQ 5 75≈6.1(m.(2)在R△BCE中，BE=nCBE-3.2m CE 2 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2.7m,.该充电站有 20个停车位，∴.PV=QM=BQ十20BE=66.7m. 第一章章末复习 思维导图 对边邻边对边斜边邻边斜边？号怎号 3 19合g 2 考点整合 1.B2.B3.D4.-125.56.1)5+3(260 5 7.135°8.2y59.15 10.解：(1)AE=BE=AC=10,AD 5 ⊥BC,DE=DC在R△AcD中，msC-是=号CD 号AC=号×10=6.DE=DC=6.CE=DE+DC=12. BE=AE=10,.BC=BE十CE=10+12=22.(2)在 Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE-DE=√/I0-6 =8又BD=BE+DE=10+6=16,amB=部-是= 11.18012.10,513.解：1)由题意，得∠CBE=60°，∠CAF 3 =30°，∠BDM=45°，BM⊥DM,BE∥AF∥DM,∴.∠BCM= ∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°.∴.∠ACB=∠BCM ∠ACM=60°-30°=30°.(2)∠CBE=60°，∴∠CBM=90° ∠CBE=90°-60°=30°.由(1)得∠ACB=30°，.∠CBM= ∠ACB=30°..AB=AC=800m.在Rt△ACM中，sin∠ACM A0ms∠ACM-0AM=AC·sm∠ACM=8mX AM sin30=800X2=40(m),CM=AC·cas∠ACM=800× 共24页)