1.3 三角函数的计算&1.4 解直角三角形-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）宁夏专版

3三角函数的计算 基础过关 1.A2.解：(1)原式0.9763.(2)原式≈一0.6959.(3)原式≈ 1.7692.3.A4.B5.(1)17°405”(2)83°4841" (3)82°24'30”6.23°35 能力提升 7.C8.8.169.解：由题意，得BD=120m,AB=50m,CD= 75m.易得AE=BD=120m,DE=AB=50m,∴.CE=CD DE=25m在R△ADE中，ama=-品-最a≈ 26在R△AE中，mg--高-京11.职第 角a约为22.6°，仰角B约为11.8°. 4解直角三角形 基础过关 1.A2.C3.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=√6，c=2√2， 6=可=亿m8=2-%分小/8=那 .∠A=90°-∠B=60°.4.D5.156.解：(1)∠B=60°， ∠A=90°-∠B=90°-60°=30°.a=8,.c=2a=16. :6=c·sin60=16×5=8V3.(2):∠C=90°，∠B=45° ∠A=45°.∠A=∠B.而b=√6，a=b=√6.根据勾股定 理，得c2=a2十6，即c=2√3.7.88.1.89.4或14 能力提升 10.A11.0.3112.213.(1)证明：AD是BC边上的高， .AD⊥BC.∴.∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中，tanB= 品在R△ACD中，as∠DAC=nB=s∠DAC, A 品把AC=D(2解：在R△ACD中，如C-把 厂总设AD=12x,则AC=BD=13x,在R△ACD中，由勾股定 理，得CD=√AC-AD=5x.BD+CD=BC=12,∴13x+ 5x=12,解得x=号∴AD=12×号=8 思维拓展 14.解：1：∠C=90,amB=瓷=是设AC=3,则BC =4x.在Rt△ABC中，AC十BC2=AB,∴.(3x)2十(4x)2= 52,解得x1=-1(舍去)，x2=1..AC=3,BC=4.BD=1, .CD=BC-BD=3.在Rt△ACD中，AD=√CD+AC= 3√2.(2)过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=∠BED=90. 在R△AC中，AC=3.AB=5,smB=船=是在 R△BDE中，BD=1,DE=BD·simB=子，在R△ADE 中，AD=3Ema=5-得 第2页( 专题一构造直角三角形解直角三角形队通性通法】 1.B2.43.D4.3+335.33+3或33-3 6.解：1)过点A作AE1BC于点E.cmsC-号∠C 45°..∠CAE=90°-∠C=45°=∠C.∴.AE=CE.在Rt△ACE 中，CE=AC·cosC=1,AE=1,在Rt△ABE中，tanB=能 =合BE=3AE=3.BC=BE+CE=4(2):AD是 △ABC的中线，CD=号BC=2.∴DE=CD-CE=1.:AE ⊥BC,DE=AE=1,∴.∠ADC=∠DAE=45°..cos∠ADC= 号.7.解：延长AD,BC,交于点E,在R△ABE中，：anA 能-专AB=6BE=8.∴AE=VAB+BE=10,CE BE-BC=msE-85-台在K△CDE中，CE=4DE -CE.cos EAD-AE-DE-34.8.c 5三角函数的应用 基础过关 1.A2.13.43.B4.解：由题意，得BD∥AE∥OC, ∴.∠BCO=∠DBC=36.9°，∠ACO=∠EAC=30°.在Rt△AOC 中，AC=24m,∠AC0=30,0A=2AC=12m,0C=AC cos∠ACO=12√3m.在Rt△BCO中，OB=OC·tan∠BCO ≈9√3m.∴.AB=OB-OA=9√5-12≈3.6(m).答：无人机从 点A到点B的上升高度AB约为3.6m5.A6.15√3 能力提升 7.解：过点E作EI⊥AC于点I,过点D作DH⊥AC于点H. AB,DE均与水平线FC垂直，DE∥AC.∠DBH= ∠BDE=72.5°.DH⊥AC,∠DHI=90°.在Rt△DBH中， BD=2mn72.-品as725r-8器则DH=BD sin72.5°≈22×0.95=20.9(m),BH=BD·cos72.5°≈22X 0.30=6.6(m).:过点E作EI⊥AC于点I,过点D作DH⊥ AC于点H,DE∥AC,∴∠EDH=∠DHI=∠HIE=90°..四 边形EDHI是矩形..EI=HD=20.9m,IH=DE=1.7m ∠AEI=45°，∠AIE=90°.∴.∠EA1=45°..AI=EI= 20.9m..AB=AI+IH-BH=20.9+1.7-6.6=16(m). 答：信号杆的高AB约为16m 思维拓展 8.解：(I)过点B作BE⊥AC于点E.设BE=n mile.由题意， 得∠EBC=53,∠EBD=45,CD=10X号=5 n mile).“∠C =90°-∠EBC=37°，DE=x n mile..EC=DE+CD=(x+ 5》nmie在R△BCE中，C=≈O7=号r(amie). “专=x十5，解得x=15.BE=15nmic,渔船在航行过 共24页)3 三角 基础过关 逐点击破 知识点1利用计算器求任意锐角的三角函数值 1.用计算器求cos15°的值，正确的按键顺序是 ( A.cos□⑤目 B.SHIFT cos□▣ C.SHFT□5月D.15cos目 2.用计算器求下列各式的值：（结果精确到 0.0001) (1)c0s12°30'； (2)tan15°·cos28°-tan43°； (3)sin81°32'17"+c0s38°43'47". 知识点2利用计算器求锐角的度数 3.若tanA=0.1890,利用科学计算器计算 ∠A的度数，下列按键顺序正确的是( A.SHIFT tan0·1890= B.SHF阿0·189otan= C.o·☐189 0tan SHI= D.tan0·☐1890SHI= 4.在△ABC中，∠C=90°，BC=5,AB=17,则 ∠A的度数约为 A.17.6° B.176 C.17°161 D.17.16° 5.已知三角函数值，用计算器求锐角A.（角度 精确到1") (1)若sinA=0.3035,则∠A≈ (2)若cosA=0.1078,则∠A≈ (3)若tanA=7.5031,则∠A≈ 7第一章直角三角形的边角关系 函数的计算 知识点3锐角三角函数的实际应用 6.(教材P15习题T5变式)某商场在一楼与二 楼之间安装了一部长25m的手扶电梯，一 楼与二楼之间的高度为10m,则手扶电梯的 倾斜角的度数约为 .(结果精确到1) ■能力提升 ◆◆·整合运用 7.若tana 号，则锐角。的度数所在范围是 ( A.0°<a<30° B.45°<a<60° C.30°<a<459 D.60°<a<90° 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC= 3√6，则AC的长约为 ·(结果精确到 0.01) 9.(教材P15习题T4变式)如图，甲、乙两建筑 物相距120m,甲建筑物高50m,乙建筑物 高75m,求俯角a和仰角3的度数.（结果精 确到0.1°) 4 解直角三角形 【基础过关 逐点击破 6.(教材P17习题T2变式)在Rt△ABC中， 知识点1已知两边解直角三角形 ∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C 1.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1,AB= 90°.根据下列条件，求这个三角形的其他元素. 2,则下列结论正确的是 ( (1)已知a=8,∠B=60°： A.∠B=30° B.BC=1 (2)已知∠B=45°，b=√6. C.∠A=30° D.∠A=45° 2.在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=4.欲 求∠A的度数，最适宜的做法是 ( A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出 C.计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B,再利用90°-∠B 求出 3.(教材P16例1变式)在△ABC中，已知∠C= 90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,其 知识点3解直角三角形的简单应用 中a=√6，c=2√2，解这个直角三角形. 7.如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折 断，木杆顶端落在地面上，且与地面成37° 角，则木杆折断之前的高度约为m.(参 考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80， tan37°≈0.75) B D (第7题图) (第8题图) 8.(教材P18习题T3变式)(2025·眉山中考) 知识点2已知一边和一锐角或锐角的三角函数 人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若 值解直角三角形 AB,AC的长都为2m,当a=65°时，人字梯 4.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°， 顶端离地面的高度AD约为 m.（结果 BC=3,则AC的长为 精确到0.1m,参考数据：sin65°≈0.91， A.3sin40° B.3sin 50 cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) C.3tan 40 D.3tan50° !易错点对三角形的形状考虑不全而致错 5.在△ABC中，∠C=90°.若BC=12,sinA= 9.在△ABC中，anB=号AB=15,AC=13, 号，则AB的长为 则BC的长度为 数学九年级下册配BSD版8 口能力提升 ♪◆>整合运用 10.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A= 30°，AC=6,点D在AB上，连接CD.若 tam∠BCD=号，则BD的长为 () A.2 B.3 C.4 D.23 B' (第10题图) (第11题图) 11.外翻窗及其侧面示意图如图所示，当外翻 窗从下面打开时，窗的一边沿AB绕点A旋 转到AB.已知AB=1.2m,旋转角∠BAB 最大为15°.当∠BAB最大时，则点B到AB 的距离约为 m.(结果精确到0.01m, 参考数据：sin15°≈0.26，c0s15°≈0.97， tan15°≈0.27) 12.如图，在△ABC中，AB=2√6，∠B=45°， simC=号，过点A作AD LBC-于点D.若 E,F分别为AB,BC的中点，则EF的长为 FD 13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， tanB=cos∠DAC. (1)求证：AC=BD; 9第一章直角三角形的边角关系 (2)若smC-是5C=12,求AD的长 【思维拓展 ◆◆强化素养 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为边 BC上一点，AB=5,BD=1,tanB=3 (1)求AD的长； (2)求sina的值. D