山东青岛市2025-2026学年上学期2月期末测试高一数学试题

2026年高一年级测试 数学试题 2026.02 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.sin210°= A月 B时 D.V3 2 2 2.若命题p:x>1,2x+1>3,则p为 A.x>1,2x+1≤3B.3x≤1,2x+1≤3 C.x≤1,2x+1>3 D.3x>1,2x+1≤3 3.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,条件p:ac<0,条件q:方程有一个正根一个负 根.则p是g的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数∫(x)=xl血x-1的零点所在区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,o) 5.将函数f)=c0$(2x-马图象上所有的点向左平行移动5”个单位长度，得到函数g()的 图象，则函数g(x)的一个单调递增区间为 A[-香孕 C.I-0] 高一数学试题第1页共4页 6.英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下人口增长模型：y=y”(其中t表示经过的时间， y%表示当t=0时的人口数，"表示人口的增长率)，2025年5月联合国经济和社会事务部 下属的人口司宣布，全球人口总数将于2025年底达到80亿，2100年底达到100亿.则2025 年底到2100年底这段时间内的人口增长率约为（ln2≈0.69，ln5≈1.61) A.0.257% B.0.307% C.0.425% D.0.863% 瓦已知a∈(0，网)，sina+cosa=5,则sin二的值为 A号 B.V5 c.25 5 5 D 8.已知函数因=i影产文+2x-1,若实数a,b满是f@+/=0,则子+号的最小值为 a b A.5 B.3+2N2 C.4 D.4+6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若b>a>1,则 A分>分 B.ab+1>a+b 1 1 C.log。b>1 D.a+二<b+ a 10.已知f(x)=2cos2x+bsin2x-1,f(x)≤f(②，则 A.f(x+)=f(x) B.b=3 Cf的增区间为[版-受版+存1ke之Dy=/四-壹有4个零点 11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7,若g(x)的 图象关于直线x=2对称，则 A.f(x)的图象关于点(1，-1)对称 B.g(3)=5 C.f(x)的图象关于直线x=0对称 D.g(-2025)=6 高一数学试题第2页共4页 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.写出一个定义域为R，且单调递增的奇函数f(x)=。 13.已知a,b>1,10g。b+10g6a=5，a=b°，则ab= 14.已知a,b>0,对Vx∈R,有acos2x-2 bsinx≤2恒成立，则a+b的最大 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.（13分) 已知集合A=x11≤x<2,B=(x1分≤2≤4线. (1)当a=1时，求(CA)∩B; (2)若A∩B=☑，求实数a的取值范围. 16.（15分) （1)利用两角和的正弦、余弦公式，推导出用任意角a,B的正切表示tan(a+)的公式； (2)求an20°+am40°+a120°的f值 tan20°tan40° 17:（15分) 某型号电动汽车配备智能续航预估系统.系统根据实时车速y（千米/小时)与路面状况，计算 出一个低电量警报阈值距离E()（千米).当系统估算的剩余可行驶距离低于E(w)时，将向驶 员发出低电量警报. E(w)为以下四项阈值的总和：基础阈值、匀速行驶阈值、车载设备阈值、风阻与滚动阈值.其 中风阻与滚动阈值与车速的平方成正比，且受路面系数y影响(y与路面坡度、粗糙度有关，满足 0.5≤y≤1.0).当车辆以不超过90千米小时的速度匀速行驶时，各部分的阈值距离如下表所示： 阈值 基础阈值 匀速行驶阈值 车载设备阈值 风阻与滚动阈值 v2 距离（千米) E。=5 E1=0.06v E2=0.04v E,2100y (1)请写出E(v)与v的函数关系式.若某次行驶中y=1.0,当系统恰好发出低电量警报， 求车辆剩余可行驶的最短时间 (结果精确到0.01，参考数据V5≈2.236) (2)要求在复杂路面条件下(0.5≤y≤1.0)，E(w)均不超过60千米，求车速v的最大值. 高一数学试题第3页共4页 18.(17分) 已知单位圆O与x,y轴正半轴分别交于A,B两点，过线段OA上一点2作x轴的垂线交 单位圆于点P（P在第一象限)，延长OP至点N,使得P为ON的中点，连接 BN,AP,BP,OP.设∠AOP=a. (I)若n∠0PA=子，求osa: y个 1N (2)求PB+PN取得最大值时ax的值； (3)若ae哈孕，设△OPg的面积为，线段MR,B与 A 劣弧BP围成的图形面积是S2,记∫(a)=S2-S,求∫(a)的值域. 参考公式：cosa-cosp=-2sina+Bsin-2 2 2 19.（17分) 函数f(x)定义域为(0，+o),对于m,n>0,f(m)>0,f(n)>0,f(m+n)>f(m)+f(n). （1)若f(x)=2+2,求实数兄的值； (2)若f()=1. 证明：(i)f(k)>k(k之2，k∈N)；(2)<2*(k∈N); (i)当x∈(0,1)时，f(x)<2x;当x∈(1，+oo)时，f()>x-1. 高一数学试题第4页共4页 2026年高一年级测试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1--8:ADCB ABCB 二、多项逃择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.BCD 10。BC 11.ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12。x(答案不唯一) 13.8g 14。V5+1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15。(13分) 解：(1)因为A={x1≤x<2},所以CRA={xx<1或x≥2}…2分 由题意得，B={x|a-1≤x≤a+2},当a=1时，B={x|0≤x≤3} 5分 所以(CgA)∩B={x|0≤x<1或2≤x≤3}…… 7分 (2)因为A∩B=☑，所以a+2<1或a-1≥2… 11分 所以实数a的取值范围为：a<-1或a≥3… 13分 16。(15分) 解：(1)已知sin(a+B)=sinacos B+cosasin B cos(a+B)=cosacos B-sinasin B......................... …4分 所以tan(c+p)= sin(a+B)sina cos B+cosasin B …6分 cos(a+B)cosacos B-sinasin B 分子分母同时除以cosa cos B得： tan(-sinacos B+cossinptana+tanp …8分 cosa cos B-sinasin B 1-tanatan B (2)因为tan60°=tar(20+409)=tam20°+tan40 10分 1-tan20°tan40° 所以，tan20°+tan40°=V5-√5tan20°tam400 …12分 tan20°+tan40°+tan120°_v5-v5tan20°tan40°-5 -√3…15分 tan20°tan40° tan20°tan40° 17(15分) 解：(1)由题意，低电量警报阈值距离为： E(y)=E。+E1+E2+E3=5+0.06v+0.04v+ -=5+0.1y+ 0<v≤90 100y 100y 当7=1.0时，E(y)=5+0.1v+ …4分 100 系统发出警报时，车辆剩余可行驶的时间为： 1=E_5+0.1+≥2 100-V10 0+0.1= 5+0.1≈0.55小时，当且仅当v=10V5<90 数学评分标准第1页（共4页) 所以车辆剩余可行驶的最短时间为0.55小时… …8分 (2)由题意E(v)=5+0.1v+ V≤60对任意0.5≤7≤10恒成立. 100y 分离1得：y Γ100(55-0.1’ 只需y=0.5时成立即可… …12分 所以0.5≥ 2 100(55-0.1v) ,化简得v2+5v-50×55≤0，即-55≤v≤50 所以车速v的最大值为50千米/小时…15分 18。(17分)月 解：(1)由题意，在△OPA中， 1 cosa=cos(π-2∠OPA)=-cos2∠OPA=2sin2∠OPA-1=- 4分 8 (2)在△OPg中，Pg=sina,ae(0,),由P为QN的中点，可得：PW=PQ=sina 在△OPB中，PB=2sin(Cg), 42 所以 Pa+w-2n子台：na-ac号学m学号ac0孕7分 2 21 2 令coin号1，则1=V5cor号孕e0.l, 2 所以28 sincos=1-2,PB+Pw=V21+1-=-2-V2i-1) 2 令h()=-(t2-√2t-1),则h()在(0，Y 1上单调递增，在(Y5D上单调递减，所以，当1：5 2 时，(t)取得最大值，此时，=仁… 10分 6 3)梯形OPNB的面积为+imd)cos,形POB的面积为，(a☒ 所以s,=0好-a四 1 22 cos+cosa- 2sinacosa 所以fa号--coa1a ）…12分 2 先证当a∈O,乃时，ina<a,由△O4P的面积小于扇形AOP的面积，即ina<a,所 1 2 2 以sina<au a,&爱3，%<a, ))(coco(cocoa) 1 兀、1 数学评分标准第2页（共4页) =（-2sin4+sin%2+%-a2 2 2 (2nsina:) 1 2 2 因为4.4后受a>4,所以0<n52<1.0<n522品28 2 2 2 所以fa）-fa,)=n2m,2+4-a4)a,-asn3与4-a-al 2 2 2 -a-ain2-<0,所以fa)<ja) 所以f@)在孕上单调递指。… 15分 5=33-2 12 ,f-0 所以f(a)的值域为3N5-2 ,0)… …17分 12 19。(17分月 解：(1)因为对于任意正数x,f(x)=2*+1>0,所以1+元之0，所以元之-1…2分 当m>0,n>0时，f(m+m)-f(m-f(m)=2m+-2”-2”-=(2m-1)(2”-1)-元-1>0 因为m>0,n>0,所以(2m-1)(2”-1)>0,所以-2-1≥0，所以1≤-1 综上，儿=-1……5分 (2)1)证明：f(k)>f(k-1)+f(1)=f(k-1)+1,(k≥2，k∈N*) f(2)+f(3)+…+f(k)>f(1)+f(2)++f(k-1)+k-1, 所以f()>k(k≥2，keN*)…7分 f(2)=f(2*+2)>2f(2)>0(keN*) f0f(2)f(2)>2f(2')f(22)f(2) 所以，f(2)<2(k∈N… 10分 ()证明：若x=2(k∈N),由①得f(x)<x<2x, 若0<x<1且x≠2(k∈N),必存在keN*使得2<x<2-,2--x>0, f(2-)>f(2t-x)+fx),f(x)<f(2)-f2-)<f(2-)<2-*<2x 综上，x∈(0,1)，f(x)<2x…14分 若x=k(k≥2，k∈N),由得f(x)>x>x-1, 若x>1且x≠k(k∈N),必存在k∈N使得k<x<k+1,x-k>0, f(x)>f(x-k)+f(k)>f(k)zk>x-1; 综上，x∈(L,+0),f(x)>x-1…17分 证法2：任意0<<七2，七2-1>0， f(x2)-f()=f(x2-x+x)-f(x)>f(x2-x)+f(x)-f()>0,所以f()<f(x2), 所以f(x)在(0，+0)上单调递增…I2分 若x=2(k∈N),由得f(x)<x<2x, 若0<x<1且x≠2(k∈N),必存在keN使得2<x<2*,由单调性可得 数学评分标准第3页（共4页） f(x)<f(2)<21t<2x 综上，x∈(0,1)，f(x)<2x…15分 若x=k(k≥2，k∈N),由①)得f(x)>x>x-1, 若x>1且x≠k(k∈N),必存在k∈N使得k<x<k+1,由单调性可得 f(x)>f(k)≥k>x-1: 综上，x∈(1，+0)，f(x)>x-1…17分 数学评分标准第4页（共4页）