第1章 直角三角形的边角关系综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

AB是⊙O的直径，∠ACB=90°.在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=2,∴BC= 1.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC=√22-1下=√5.由(1)可知PA =AC,∴PA=√5.15.解：(1)AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A十∠ABD =90°.∠A=∠DEB,∠DEB=∠DBC,∴∠A=∠DBC,.∠DBC+∠ABD= ∠ABC=90°，即AB⊥BC,.BC是⊙O的切线：(2)连接OD.由(1)知∠ADB=90°，即 BD⊥AD.又：BF=BC=2,∴.BD平分∠CBF,∴∠CBD=∠FBD.:OE∥BD, ∴∠FBD=∠OEB.OE=OB,∴.∠OEB=∠OBE.∴.∠CBD=∠FBD=∠OBE= 号∠ABC=子×90=30，在R△BFD中，BD=BF·eas30=2×号=5， ·∠ABD=∠OBE十∠FBD=30°十30°=60°.又OD=OB,.△OBD是等边三角形， :OB=BD=B,六⑨O的半径为3，.S用能=Sm形B SALOB二60TX3)号义 360 4 综合评价答案 第一章综合评价 1.B2.B3.A4.A5.D6.C7.D8.B9.B10.B11.A12.D13.15 14.2 1 15.4V5cm16.(60-80sina）17.6018.(8,2）19.解：1)原式=8× (图)+1-4×号=8×号+1-28=6+1-2g=7-252原式=65十 +2× 3 2× ()=3+号+2g5--3+25.20.解：AD1Bc,∴∠A ∠ADB=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC-CD=√52-3=4.在 Rt△ADB中，由勾股定理，得BD=√AB-AD=√8-车=43..tanB=AC= BD 4= 后=含tanC品=专，21.解：D在R△ABC中，simB三C=4 AB=5,AC=8, .AB=10.由勾股定理，得BC=√AB-AC=√10-82=6，.BD=BC-CD=6- 2=4;(2)在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC+DC=√8+2=2√I7, m∠DaC-品2行=‘2第，过点B作D1AC,垂足为n曲 意，得∠BAC=25°+25°=50°，∠BCA=70°-25°=45.在Rt△ABD中，AB=4km, sinp、BD。BAD=A,.BD=ABs1n604入0,7f=3.08(km).4n AB·c0s50≈4X0.,64=2.56(km）.在R△BDC中，an∠BCA=0:CD=aB0 =3.08(km),.AC=AD十CD=2.56十3.08≈5.6(km),∴.小宇家A到劳动基地C的 距离AC约为5.6km.23.解：延长BA交PQ于点C.由题意，得BC⊥PQ,BC= 50m,PQ=25m.在Rt△BCQ中，∠CQB=45°，∴.CQ=BC=50m,∴.PC=PQ+CQ= 25+50=75(m.在R△ACP中，∠APC=23,an∠APC-A瓷，AC=PC1m23 ≈75×0.42=31.5(m),.AB=BC-AC=50-31.5=18.5(m).答：北山石塔AB的高 度约为18.5m. 24.解：如图 过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥ M中- C N BC,交BC的延长线于点N,则四边形BNEM是矩形，∴.ME=BN,EN=BM.,斜坡 CD的坡度i=1:2,∴.设EW=xm,则CN=2xm.在Rt△CNE中，由勾股定理，得 EN2十CN2=CE,即x2十(2x)2=(2√5)，解得x=2(负值舍去).∴BM=EN=2m, 第31页（共42页） CN=4m,∴.ME=BN=BC+CN=8+4=l2(m).在Rt△AME中，：an∠AEM= e,∠AEM=∠1=50.3，AM=ME·tan50.3≈12X1.2=14.4(m),AB= 十BM=14.4十2=16.4(m).答：旗杆的高度AB约为16.4m.25.解：过点A作AF ⊥DE于点F,易证四边形ABEF为矩形，.AF=BE,EF=AB=2m.设DE=xm.在 Rt△CDE中，CE=DE CEsu=6o=3xm.在△AD中’·BC5'AB= 2m,BC=25m.在R△AFD中，：DF=DE-EF=(x-2)mAF=an∠DAF DF =m品-5r-2mA=E=Bc+E=(5+9)m5-2》=25+ 号2解得x=6.答：树DE的高度为6m26.解：10厅2)256③)设点D E,F,如图②.北 3 由题意，得∠APB=180°-45°-60°=75°，PE∥AB, 东 60 ∴.∠APF=∠A=60°，∠EPB=∠B=45°.在Rt△APD中，∠A=60°，AP=50 n mile, smA-器msA-0:PD=AP.n60=50X号=255amie,AD=AP cos60°=50Xz=25(n mile).在Rt△BDP中，∠BPD=∠PBD=45,DP=BD= AB n milc.::AB=AD+BD=(25+25J3)n mile. 50 2陆n5 4 第二章综合评价 1.B2.B3.C4.D5.A6.C7.D8.D9.B10.C11.C12.B13.y= (x-6)2-3614.y=3(x-3)+215.三16.2117.=-60x2+1080x+16800 18.②④19.解：(1)当x=0时，y=c=9,c的值为9；(2)由(1)，得抛物线的函数表 达式为y=x2-4x十9.当x=3时，y1=9-4×3+9=6;当x=4时，y2=16-4×4+9 =9.,6<9,∴y1<y2,20.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x十2)(x-4).将 点(0，一8)的坐标代入表达式，得a×(0十2)×(0一4)=一8.解得a=1.故此抛物线的 函数表达式为y=(x十2)(x-4)=x2-2x-8;(2):y=x2-2x-8=(x-1)2-9,抛 物线的开口向上，对称轴为直线x=1,∴当x<1时，y随x的增大而减小；(3)：抛物 线经过(-2,0)，(4,0)两点，且抛物线开口向上，.不等式ax2十bx十c<0的解集为一2 <x<4.21.解：B(0,2),EF=OB=2.:矩形CDEF的面积为8，.DE=4,:抛 物线的顶点为A0,1)心抛物线关于y轴对称0E=DE=号X4=2.F(2,2). 设抛物线的函数表达式为y=ax+1.将点F(2,2)的坐标代入表达式，得2=a×22十 1.解得a=子·此抛物线的函数表达式为y=子x2十1.22.解：(1)由题意，得新抛物 线对应的函数表达式为y=号(x十m)+2.“新抛物线经过点(-1,4)，4=号(-1十 m)+2.解得m=3,m:=一1（舍去）.·新抛物线对应的函数表达式为y=合(x十3) 十2：(2)当x=0时，y=号×(0+3)十2=号：新抛物线与y轴的交点坐标为(0， 号)2.解：1以点0为原点，MN所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平 面直角坐标系，如图.设抛物线的函数表达式为y=a(x一h)2十k(a≠0).由题知，抛物 线过点(10,0)，以及顶点为(4,3)，∴h=4,k=3,a×(10-4)+3=0.解得a=一2 1 抛物线的函数表达式为y=一立(x一4)+3.当x=0时，y=一立×0-4十3 第32页（共42页） 号即0P=号≈1.7m实心球被掷出后脱手时距地面的高度约为1,7m:2)当工 =7时一立×1-4)十3=号.“号>1.8该名穿过实心球场地的同学没有危险。 1 24.解：(1)点P运动到终点B需要18÷2=9(s),点Q运动到终点C需要4÷1=4(s), .当点Q运动到终点C时，点P和点Q均停止运动，即O<x≤4，由题意，得PB=AB -AP=(18-2x)cm,BQ=xcm,∴Sare=号PB·BQ=号(18-2x)x=-x+9x(0 <≤4.即y=-+9x(0<x<0:(2=-+9x=-(-号)+”-1<0. 2 ·当0<x≤4时，y随x的增大而增大，当x=4时，y取得最大值，此时y=一4十9 ×4=20.故△PBQ的面积的最大值为20cm2.25.解：(1)根据题意，得y=200+ 20(50-x)=-20x+1200(30≤x≤50)，∴·y与x之间的函数关系式为y=-20x十 1200(30≤x≤50)；(2)设每天的利润为.根据题意，得=(x-30)y=(x-30)(-20x 十1200).整理，得=-20x2十1800x-36000,即=-20(x-45)2十4500.，a=-20 <0,∴.当x=45时，有最大值，最大值是4500.答：每箱礼品盒包装的芒果应定价45 元，每天可实现的最大利润是4500元.26.解：(1)已知抛物线y=一x2十bx十c与x 轴交于A(一1,0)，B(3,0)两点，将A,B两点的坐标分别代入函数表达式，得 1-1-6+c=0, -9+3b+c=0 解得=2抛物线的函数表达式为y=一十2z十3.“抛物线y 1c=3. =一x2+2x十3交y轴于点C,.令x=0,得y=3,点C的坐标为(0,3)：(2)设直线 BC的函数表达式为y=mx十n.将点B(3,0),C(0,3)的坐标分别代入表达式，得 3十n= 0解得m,1:直线BC的函数表达式为y=一x十3.：抛物线y=一x n=3. n=3. +2x十3的对称轴为直线x=1,.点E,F关于直线x=1对称.点E在线段OC上， .点E到对称轴的距离为1，EF=2,∴.点F的横坐标为2.将x=2代入y=一x十3， 得y=一2十3=1，.F(2,1):(3)△BOQ能为等腰三角形.理由如下：如 答图.M(2t,0),MN⊥x轴，.Q(2t,3-2t).·△BOQ为等腰三角形， .分三种情况讨论：①当OQ=BQ时，QM⊥OB,.OM=MB,.2t= OM 3-2t=是.②当B0=BQ时，在R△BMQ中，易得∠0BQ=45, 答图 .BQ=2BMB0=2BM,即3=2(3-2)，.t=6-3E.③当0Q=OB时，则点 4 Q,C重合，此时t=0,而>0，故不符合题意，综上所述，：的值为子或8- 4 期中综合评价 1.A2.B3.A4.A5.C6.D7.B8.D9.A10.B11.B12.C13.105 14.215.1,016.10517.118(号，0）19解：1)原式=-2×分-厄 ×号-3-1-1=1：2)原武=1+厄-2×号+4=1+区-+4=5.20.解：CD 1AB∠CDA=90snA=号CD=4mA-0-花=合AC=6.在 Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√JAC-CD=√-4F=3,∴BD=AB-AD=5 32,tamB品号2.21.解：i=am∠DBC-E=有=9.∠D0 =30.:DE=10m,DC=号DE=5m:四边形ABCD为矩形，AB=CD=5m, 斜孩AF的按度为：=1：4品=子，BF=4B=4X5=20(m.在R△ABF 中，由勾股定理，得AF=√AB2十BF严=√52+20=5√17≈20.62(m).答：斜坡AF 的长度约为20.62m.2.解：1：y=-x-6=(x-x+寸-)-6= (-)-空∴抛物线的顶点坐标为（分，-克）：(2)令2-x-6=0,解得1 第33页（共42页）第一章综合评价 aSa (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共36分） K 1.2c0s45°的值等于 爵 A. 2 B.√2 C 4 D.2√2 2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ,BC=8,则AC等于( ) 敏 A.6 B.16 C.12 D.4 3.如图，在坡角为α的山坡上栽树，每相邻两棵树之间的水平距离为 4m,那么这两棵树在坡面上的距离AB为 A. 4 B. 4 C.4cos a D.4sin a cos a sin a 4 m (第3题图) (第4题图) (第6题图) 4.如图，在△ABC中，D为AB的中点，将线段BD沿射线BC方向平移 得到线段CE,连接AE,DE.若AD=3,AE=4,AB⊥AE,垂足为A, 则tan∠BAC的值是 ( A告 B c号 n号 封 5.在△ABC中，若2sinA=√2，tanB=1,则对△ABC的形状描述最准 确的是 ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若∠AOC=45°， OC=√2，则点B的坐标为 ) A.(2,1) B.(1,√2) C.(√2+1,1)D.(1,W2+1) 7.小华参加植树活动，当太阳光线与地面成30°夹角时，直立的树苗AB 在地面的影长AC为6m.由于培土不足，树苗AB栽种后即刻沿太 阳光线方向倒下，此过程中树苗AB的影长的最大值为 ( 线 A.12m B.9 m C.6√3m D.4√5m 太阳光线 D 的 306 7777 A B (第7题图) (第8题图) (第9题图) 8.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,D都在这些小正方 形的顶点上，AB,CD相交于点O,则cos∠AOC的值等于( A号 B. 5 C② 2 D.2-√2 9.如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转 后，点D落在CB的延长线上的D处，那么tan∠BAD等于( A.1 B.√2 c写 D.√5 第1页（共6页） 10.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12m,斜面坡度为 1:2,则斜坡AB的长为 A.4√3m B.6√/5m C.125 m D.24m 1:2 160° A C “东 B D (第10题图) (第11题图) (第12题图) 11.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，且AM=l00 n mile,那么该船要到达离灯塔距 离最近的位置还需继续航行的距离是 ) A.50√3 n mile B.40 n mile C.30 n mile D.20 n mile 12.如图，R△ABC中，∠BAC-90,cosB=子，D是边BC的中点，以 AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使∠ADE=∠B,连接 CE,则号的值为 ( B.√3 C.①5 2 D.2 二、填空题（每小题3分，共18分） 13.如图，这是某地铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=1：√3，小宇 乘扶梯从扶梯底端A以0.6m/s的速度，用时50s到达扶梯顶端 B,则小宇上升的垂直高度BC为 m. B A (第13题图) (第14题图) 14.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B,再以B 为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C,画射线OC,则cos∠AOC 的值为 15.如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，如果圆锥底面周长为8πcm, ∠ABO=60°，那么圆锥的高为 60cm B06 图① 图② 0 B (第15题图) (第16题图) (第18题图) 16.图①是某地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图②所示， 它是一个轴对称图形，AC=40cm,则双翼边缘端点C与D之间的 距离为 cm.(用含a的三角函数表示) 17.已知在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对应边分别为a,b,c,∠C=90°， 3a=√3b,则∠B的度数为 第2页（共6页） 18.在平面直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO,AB⊥x轴于点B, 斜边A0-10,n∠A0B=号，反比例函数)y=兰(x>0)的图象经 过AO的中点C,且与AB交于点D,则点D的坐标为 三、解答题（共66分） 19.(8分)计算： (1)8sin60°+tan45°-4cos30°； (2)lam260°+c0s60+2an30°-sin45. 2sin 30 20.(6分)如图，在△ABC中，AC=5,AB=8,AD⊥BC于点D,CD=3, 求tanB,tanC的值. 21.(8分)如图，在R△ABC中，已知∠C=90sinB=专AC=8,D为 线段BC上一点，CD=2. (1)求BD的长； (2)求cos∠DAC的值. 第3页（共6页） 22.(8分)周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动.已知小 红家B在小宇家A的北偏西25°方向上，AB=4km.两人到达劳动 基地C处后，发现小宇家A在劳动基地C的南偏西25°方向上，小红 家B在劳动基地C的南偏西70°方向上.求小宇家A到劳动基地C 的距离AC.(结果精确到0.1km,参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈ 0.64,tan50°≈1.19，√2≈1.41) 23.(8分)阳江市北山石塔（如图①）建于南宋宝佑年间(1253一1258 年)，是阁楼花岗岩结构，为广东省内唯一无灰砌石塔.某数学兴趣 小组用无人机测量北山石塔AB的高度，测量方案为：如图②，先将 无人机垂直上升至距离石塔底端水平面50的点P处，测得北山 石塔顶端A的俯角为23°；再将无人机沿北山石塔的方向水平飞行 25m到达点Q处，测得北山石塔底端B的俯角为45°，求北山石塔 AB的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin23°≈0.39，c0s23°≈ 0.92,tan23°≈0.42) P23°745 777777777777777777 图① 图② 第4页（共6页） 24.(8分)九年级数学“综合与实践”课的任务是测量学校旗杆的高度.晓雪 和她的朋友们制定了测量方案，并完成了实地测量，测量结果如下： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测角仪和皮尺 说明：BC为水平地面，旗杆AB⊥ 测量示意 BC,斜坡CD的坡度i=1：2,在 图及说明 斜坡CD上的，点E处，测得旗杆 △ED 顶端A的仰角∠1的度数 测量数据 BC=8m,CE=2V5m,∠1=50.3 参考数据 tan50.3°≈1.2 请你根据以上测量结果，计算旗杆的高度AB. 25.(8分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点A处测得 树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测 得树顶端D的仰角为60°.已知点A到水平地面的距离AB为2m, 台阶AC的坡度为1：√3，且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以 上条件求出树DE的高度.（测倾器的高度忽略不计） 309 609 第5页（共6页） 26.(12分)阅读与思考 阅读下列材料，并解答下列问题. 在锐角三角形ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,过C作 CELAB-于点E知国①，则smB=里，smA-g华，即CE=sinB, CE=bsin A,于是asin B=bsin A,即 sin Bsin A同理有C b a sinA'sin Csin B,所以a年= b sin A sin Bsin c,即：在一个锐角孕 角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， C 北 459 6 东 160ò B c E 图① 图② 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有 一条边)，就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列 各题： (1)如图①，在△ABC中，∠A=60°，∠C=45°，BC=30,则AB的长 为 (2)如图②，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50 n mile 的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东 45°方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为 n mile; (3)在(2)的条件下，试求75°的正弦值.（结果保留根号） 第6页（共6页）