第1章 直角三角形的边角关系(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时锐角的正切 知识梳理 ①在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的 ,记作 ②梯子的倾斜程度与tanA的关系：tanA的值越大，梯子越 ③正切也经常用来描述山坡的坡度，坡面的 与 的比称为坡度（或 坡比) 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5,则tanA的值是 A号 B c 2.若Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍，则锐角A的正切值 ) A.扩大为原来的4倍 B.不变 C缩小为原来的号 D.以上都不对 B 3.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3m,tan∠BAC= 专，则梯子的顶端B到地面的距离BC为 m. 4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,背水坡的坡度为1：√，已知背水坡 的长AB=10m,求拦水坝的高度， 13 B ·1· 第2课时锐角的正弦、余弦 知识梳理 ①在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之 确定.∠A的 与 的比叫做∠A的正弦，记作 ；∠A的 与 的比叫做∠A的余弦，记作 ;锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三 角函数. ②梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA的值越大，梯子越；cosA的值越小， 梯子越 当堂练习 1.在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,则cosA的值是 A B吉 c D号 2.如图，点A为∠a边上的任意一点，ACLBC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表 示cosa的值，错误的是 A.BC BC B. c D.AC D B M (第2题图) (第4题图) 3.在△ABC中，∠C=90,若tanA=2,则sinB的值为 4.如图，在R△ABC中，∠C=90,AM是BC边上的中线，sin∠CAM=号，则tanB的值 为 5.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，且BC=10cm,△ABC的周长为36cm, 求∠B的正弦值， ·2· 230°，45°，60°角的三角函数值 知识梳理 特殊角的三角函数值： 三角函数 三角函数值 sin a cos a tan a 角& 30° 45 60° 图象记忆法 60 451 B30° 人45° 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=√3，那么∠B的度数是 A.15° B.45° C.30° D.60° 2.计算： (1)(-2)2-2sin30°= ;(2)-tan60°= 3.已知一个斜坡的坡度=1：√，那么该斜坡的坡角的度数是 4.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽AD=6m,坝 )单位：m 高是20m,背水坡AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2， 20 B 那么坝底BC的长为 m.（结果保留根号) 5.已知/a是锐角.且sn(e+15)-求-4ms。(红3.14°+ana+(传)的值 ·3· 3三角函数的计算 知识梳理 ①用科学计算器求三角函数值，要用到 和 键. ②已知三角函数值求角度，要用到sin、cos、tan键的第二功能“ ”和 键. 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=32°24'，则tanB约等于 A.1.5757 B.0.9845 C.0.7964 D.2.2057 2.已知cosa=0.2534,则锐角a约为 A.14.7 B.14°7 C.75.3° D.75°3' 3.若∠A为锐角，且sinA=,则 A.0°<∠A<30° B.30°</A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90 4.如图，在斜坡屋顶的设计图中，AB=AC,屋顶的宽度1为10，坡角α为35°，则斜坡屋 顶的高度h为 m.(结果精确到0.1m) h B 5.某动物园中的猴山上有一段路，每前进100m,路面就上升4m,则猴山上这段路的坡角 约为 .（精确到1°) 6.用计算器探究. (1)tan1°·tan89°= _,tan2°·tan88=_…,tan44°.tan46°= ,tan45°· tan45°= (2)依据(1)，你所发现的规律是：当a为锐角时，tana·tan =1.并用一句话总 结规律： (3)用上面的规律计算：tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°= ·4· 4解直角三角形 知识梳理 ①由直角三角形中 的元素，求出所有 元素的过程，叫做解直角三角形. ②解直角三角形常用的边角关系 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有： (1)三边之间的关系：a2十b2=c2(勾股定理)； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； (3)边角之间的关系：snA=只，cosA-=2lamA=分sinB-2cosB=名anB-会 当堂练习 1如图，在△ABC中，∠A=80r,anB=AC=25,则AB的长是 A.4 B.3+3 C.5 D.2+23 B B2--1- A30 (第1题图) (第3题图) (第4题图) 2.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=2,BC=1,那么∠A的度数是 A.309 B.45° C.60° D.75 3.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，顶点为格点.若△ABC的 顶点均是格点，则cos∠BAC的值是 ( ) 1.6 B.0 2 D. 5 4.如图，在△ABC中，∠A=30°，BC=3,AC=2√3，则AB的长为 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上的一点，CD=6,cos∠ADC=3 5 tanB=号，求BD的长。 ·5· 5三角函数的应用 知识梳理 ①方位角一般指正北或正南方向与目标方向线所成的锐角. ②应用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为解直角三角形 问题，由于实际问题中往往没有直角三角形，因此合理构造直角三角形是解题的关键： 当堂练习 1.如图，为了测楼房BC的高，在距离楼房10的A处，测得楼顶B的仰角为α，那么楼房 BC的高为 ( ) 10 A.10tan a m B.10 -m C.10sin a m D. m tan a sin a 北 北 B甲楼 451 451▣ 1100m 乙楼C 609 30 B > A 30° B 777 (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在高出海平面100的悬崖顶A处，观察海平面上的一艘小船B,并测得它的俯 角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC的长度为 m. 3.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向 上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船要到达 离灯塔M距离最近的位置，则还需继续航行的时间是 min. 4.如图，在甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，在甲楼顶部B处测得乙楼底部 D处的俯角是45°.已知乙楼的高CD=20m,则甲楼的高AB是 ,(结果保留 根号) 5.如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B处的仰角为30°，看这 栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高？ (3≈1.732，结果精确到0.1m) ·6 6利用三角函数测高 知识梳理 ①测量倾斜角可以用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. ②测量底部可以到达的物体的高度时所得到的数学模型如图①所示，这时物高h满足的 关系式为h=ltan a十a. 图① 图② ③测量底部不可以到达的物体的高度时所得到的数学模型如图②所示，这时物高h满足 的关系式为h= btan atanβ tan B-tan a 当堂练习 1.如图，王师傅在楼顶上点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°.若水平距离 BD=10m,楼高AB=24m,则树CD高约为 ) A.5 m B.6 m C.7 m D.8m 60 o 24m L☐10m B B (第1题图) (第2题图) 2.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆 底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9，则旗 杆AB的高度是 m.（结果保留根号) 3.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实 践活动.如图，在测点A处安置测倾器，量出其高度AB=1.5,测得旗杆顶端D的仰角 ∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m.根据测量数据，求旗杆CD 的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62） B132 ·7·288m.25.解：(1)如图，连接OD D为C的中点，D =D,∴∠CAD=∠BAD.:OA=OD,∴∠BAD=∠ADO,∴∠CAD=∠ADO,· OD∥AE.DE⊥AC,∴.OD⊥EF,.OD的长是圆心O到EF的距离.AB=90cm, 0D=立AB=45cm:(2)如图，过点O作OG⊥AD于点G.:DA=DF,∠F= ∠BAD.由(1)，得∠CAD=∠BAD,.∠F=∠CAD=∠BAD..'∠F十∠BAD十 ∠CAD=90°，.3∠F=90°，.∠F=30°，∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°，∠BOD= 2∠BAD=60°，OF=2OD.在Rt△ODF中，由勾股定理，得OF2=OD2十DF,即 (2OD)2=OD+(6√3)2，∴.OD=6(负值已舍去).在Rt△OAG中，OA=OD=6, ∠0AG=30,0G=20A=2×6=3∴Sam=2AD.0G=2×65X3=9, ∴Se=5ae+Saw-60+95=6+9,26.解：1y= C x2-4x十3(2)方法一：连接BC,AC,CP,过点A作AD⊥BC于点D, D 交CP于点E,如答图①.在y=x2-4x十3中，令x=0,得y=3,∴.C(0,B 3).易得B(3,0),.OB=OC,∴.∠OBC=45°，.△ABD是等腰直角三答图① 角形.A(1,0),B(3,0),.D(2,1).∠PCB=∠ACB,易证△ACD≌△ECD,.AD =DE,E(3,2.可求得直线CE的函数表达式为y=一子x十3.由-号x十3=父 4红+3，解得x=0(舍去)=号P(号，号)方法二：连接BC,AC. y CP,过点B作BD垂直于x轴，交CP于点D,如答图②.：OC=OB, △OCB为等腰直角三角形，∴.∠DBC=∠ABC=45°，∠PCB= ∠ACB,BC=BC,∴.△ABC≌△DBC(ASA),.BD=AB=2,∴.D(3, 答图② 2).可求得直线CP的函数表达式为y=一号 2x+3.由一x十3=x2一4x十3，解得x1 =0(舍去)，x 号P(告，曾)：(3)在对称轴上存在一点Q,将线段 PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上，理由如下：点P OK B 旋转后的对应点为P',分两种情况讨论：①当点P在点Q上方时，连接· PQ,P'Q,过点P作PK⊥对称轴于K,过点P作P'T⊥对称轴于T,如答图③ 答图@.P(号，哥)对称箱为直线x=2,PK-背-2=号设KQ=m:将线段 PQ绕点Q顺时针旋转90得线段QP',.∠PQP=90°，PQ=PQ,∴.∠PQK=90° ∠TQP'=∠QP'T,∠PKQ=90°=∠P'TQ,△PKQ≌△QTP'(AAS),∴.P'T=KQ =m,QT=PK=号P(m+2,号-m）:点P恰好落在抛物线上(m+2P- 4m十2)十3=号-m,解得m=号m=-号（合去)Q(2,号）② y 当点Q在点P上方时，连接PQ,PQ,PP,过点P作PW⊥对称轴于点 W,如答图④.由图可得，点P,P关于直线x=2对称，∴△PQP是等腰4B 直角三角形，∴△PQw,△PQw是等腰直角三角形，Qw=PW=号， 答图④ Q(2,马)综上所述，满足条件的点Q的坐标为(2，号)或(2，) 随堂反馈答案 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时锐角的正切 知识梳理 ①正切tanA②陡3铅直高度水平宽度 第37页（共42页） 当堂练习 C之，B344解：过点A作AELBC于点E,由题意，得能-石设AE=xn 则BE=√3xm.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=BE十AE,即102=(W3x)2十 x2,解得x=5.答：拦水坝的高度为5m. 第2课时锐角的正弦、余弦 知识梳理 ①对边斜边sinA邻边斜边cosA②陡陡 当堂练习 1.D2.C3.254.号5解：AB=AC,D为BC的中点ADBC.又：BC 5 =10em,△ABC的周长为36em,AB=×(36-10)=13(m).D为BC的中点， 1 ∴BD=2BC=2XI0=5(cm),在R△ABD中，由勾股定理，得AD=√AB-BD =√3-5=12(cm,sinB=AD-=12 AB-13 230°，45°，60°角的三角函数值 知识梳理 合誓誓竖竖19告 当堂练习 1.D2.(1)3(2)-√53.30°4.(46十20√3)5.解：∠a是锐角，且sin(a+15) =5=sin60,a十15°=60，∴a=45..原式=-4c0s45-(n-3.14)°+tan45 2 +()】 =22-4X 2-1+1+3=2WE-2V2-1+1+3=3. 3 三角函数的计算 知识梳理 ①sin cos tan②sin cos-!tan SHIFT 当堂练习 1.A2.C3.A4.3.55.2°6.(1)1111(2)(90°-a)一个锐角的正切 值与它的余角的正切值的乘积为1(3)1 4解直角三角形 知识梳理 ①已知未知 当堂练习 1.C2.A3.C43+55解：在R△ACD中，cos∠ADC-器-号，CD=6, :.AD= CD cos∠ADC=3 ==10.由勾股定理，得AC=√AD-CD=√0-6=8，在 5 R△AC中，anB=瓷=号BC=SB-是=20，BD=Bc-CD=20 6=14. 5三角函数的应用 当堂练习 1,A2.1003.154.20√3m5.解：过点A作AD⊥BC于点D.由题意，得∠BAD =30,∠CAD=60,AD=120m.在R△ABD中，BD=AD·tan∠BAD=120×- 、3 40√3(m).在Rt△ACD中，CD=AD·tan∠CAD=120×√3=120√3(m)..BC=BD 十CD=40√3+120√3=160√3≈160×1.732≈277.1(m).答：这栋高楼的高度约为 277.1m 第38页（共42页） 6利用三角函数测高 当堂练习 1.C2.(3√3十9)3.解：：∠A=∠C=∠BEC=90°，∴.四边形ABEC为矩形，.BE =AC=20m,CE=A=1.5m,在R1△BED中，m∠DBE=8器即1m32r-2装. ∴.DE=20×tan32°≈20×0.62=12.4(m),∴.CD=CE+DE=1.5+12.4=13.9(m). 答：旗杆CD的高度约为13.9m. 第二章二次函数 1二次函数 知识梳理 y=ax2+bx十c 当堂练习 1.C2.D3.y=十8x二次4解：(1)根据愿意，得m-m=0, 解得m=0: m-1≠0， (2)根据题意，得m一m≠0，.m≠0且m≠1.5.解：根据题意，得y=(x一30)m=(x -30)(162-3x),即y=-3x2+252x-4860,它是y关于x的二次函数. 2二次函数的图象与性质 第1课时抛物线的认识 知识梳理 ①列表描点连线②抛物线y最低>0<0③抛物线y<0>0 当堂练习 1.D2.B3.D4.y轴4(-2,4)5.解：(1)当y=-2时，-x2=-2,.x= 士√2,2|x=2√2，.此时水面的宽为2√2m;(2)水面宽为4m,∴x=2或x=-2, y=-x2=一4，∴.ly=4,∴.此时水面离拱桥顶部的距离为4m. 第2课时形如y=ax2和y=ax2十c(a≠0)的图象与性质 知识梳理 ①相同相同相同②相同相同不相同3上下 当堂练习 1.D2.C3m>24.子士25.解：如图。 抛物线y=一2x2 3头 -43-2 代234x y=-2x2+1 w=-2x2 十1的对称轴是y轴，顶点坐标是(0,1)：抛物线y=一2x的对称轴是y轴，顶点坐标 是(0,0). 第3课时形如y=a(x-h)2和y=a(x一h)2十k(a≠0) 的图象与性质 当堂练习 1.A2.A3.向上直线x=4(4,5)4.向右平移1个单位长度，再向上平移3个 单位长度5.解：(1)y=3(x+2)2:(2)y=3(x-2)2;(3)y=-3(x-2)2. 第4课时形如y=ax2十bx十c(a≠0)的图象与性质 知识梳理 b Aac-b 2a Aa 直线r=一名（品如。) 当堂练习 1.C2.D3.B4.B5.解：(1)：点D(3,0)在抛物线y=x2-2x十c上，.9-6十c =0,解得c=-3.y=x2-2x-3=(x-1)2-4.∴点A的坐标为(1，-4).点A在 直线y=x-a上，.1-a=-4,解得a=5;(2)由(1)，得y=x2-2x-3,令x=0,得y =-3,.B(0,-3)...BD=(0-3)2十(-3-0)2=18，AB2=(0-1)2+[-3-(-4)] 第39页（共42页）