阶段微测试(1)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

班级： 阶段微测试（一） 姓名： (范围：1.11.4时间：45分钟满分：60分) 一、选择题（每小题3分，共24分） 6.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°， 1.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正 CDI AB,垂足为D,CD=1,则AB的长 方形的边长都是1.若△ABC的三个顶 为 ( ) 点都在对应的格点上，则tan∠ACB的 A.2 B.2√3 值为 ( D.3+1 A.3 B. 2 D.3 B (第6题图) (第8题图) 7.设sin48°=a,cos24°=b,tan46°=c, (第1题图) (第3题图) 不使用计算器（不查表）可知，下列关 2.在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A,则 系式中正确的是 cosA的值为 ( A.a<b<c B.b<a<c B司 C.3 D C.c<b<a D.c<a<b 3 8.小明用一块含有60°（∠DAE=60)角的 3.如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙 三角尺测量校园内某棵树的高度，如图， 上，梯子AB的长是3m.若梯子与地面的 若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB 夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC 为1.62m,小明与树之间的水平距离BC 为 ( 为4m,则这棵树的高度约为（结果精确 A.3sin a m B.3cos a m 到0.1m,参考数据：√3≈1.73)() C. 3 m sin a D.3 -m A.7.6m B.8.0m cos a C.8.5m D.9.2m 4,在Rt△ABC中，∠C=90,cosA则 二、填空题（每小题3分，共12分） sinB的值是 ( 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√5， A B c D BC=1,则∠A的度数为 10.如图①是一张直角三角形纸片，如果用 5.若∠α，∠3都是锐角，给出以下结论： 两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正 ①若∠a<∠B,则sina<sinB;②若∠a< 三角形，如图②，那么在Rt△ABC中， ∠B,则cosa<cosB;③若∠a<∠B,则 sinB的值是 tana<tanB;④若∠a+∠3=90°，则 sina=cosB.其中，正确的是 A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 图① 图② 11,在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=,15.(I0分)如图①、图②、图③，根据图中数 据完成填空，再按要求答题.(sinA表示 BC=8,则△ABC的面积为 sinA的平方) 12.如图，一次函数y=x一2 的图象与反比例函数 y=(k>0)的图象相交 C,3 C21 C, B 图① 图② 图③ 于A,B两点，与x轴交于点C.若 sin2A+sin2B= tan∠AOC=3,则k的值为 sin2A2+sin2B2= sin2A3+sin2Ba= 三、解答题（共24分） (1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中， 13.(6分)计算： ∠C=90°，都有：sin2A+sinB= (1)(-3)2+|-4|+√/12-4c0s30°； ； (2)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c, 利用三角函数的定义和勾股定理，证 明你的猜想. 2》2o30+ag045-sin60 0 C b 图④ 14.(8分)如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD,斜坡AB的坡度为1：3，坝顶宽 度BC=3m,坝高4m,斜坡CD=5m. (1)比较斜坡AB和CD谁更陡； (2)求坝底AD的长. ·2·常考题型演练 1.B2.C3.C4.55°5.解：(1)设AB,CD交于点F,连接BD,OC,OD.BC= BD,∴BC=BD,∴点B在CD的垂直平分线上.：OC=OD,∴点O在CD的垂直平分 线上，.OB垂直平分CD,∠AFD=90.:∠ADC=∠AEB,.CD∥BE,∠ABE =∠AFD=90°，.AB⊥BE.AB是⊙O的直径，.BE是⊙O的切线；(2)⊙O的半 径为2，AB=2X2=4.:AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.：BC=3,∴.在Rt△ABC 中，由幻股定理积AC=VAB-C=V个-可-厅iam∠ABC瓷-怎：元 =AC,.∠ADC=∠ABC.∠AEB=∠ADC,∴.∠AEB=∠ABC,∴.tan∠AEB= tan∠ABC=只 31 阶段微测试答案 阶段微测试（一） 1.A2.A3.A4.D5.C6,D7.A8C9.30°10.11.2412.3 13.解：(1)原式=9+4+25-4×号-9+4+25-25=13：(2)原式=2×（号）十 1号=2X+3中=7十3+5×(3-5艺+ 3-3.14.解：(1)过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F.在 Rt△CFD中，CF=4m,CD=5m,由勾股定理，得DF=√CD-CF=√-4F= 3m.anD=需=青又amA=号anD>amA斜拔CD更徒：2)在 R△ABE中，：BE=4m,mA-83=寸AE=3BE=3X4=12(m.:BC/AD, BE∥CF,∴.四边形BCFE为平行四边形，∴.EF=BC=3m,.AD=AE+EF+DF= 12+3十3=18(m).即坝底AD的长为18m.15.111(1)1(2)证明：在 R△ABC中，“sinA=名nB=名d+G=srA十simB=g+左-+位-， 阶段微测试（二） 1.B2.C3.A4D5B6.C7A8.C9.2E4510.21.号2.18 13.解：(1)根据题意，得∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴.∠ACB= 180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-120°=30°.：∠CAB=∠ACB=30°，.BC=AB =10km,即景点B与C之间的距离为10km:(2)过点C作CE⊥l于点E,线段CE的 长度即为最短公路的长.：BC=10km,∠ABC=120°，∴.∠CBE=180°-∠ABC= 180-120=60.在R△CBE中，m∠CBE-瓷.∴CE=BC·sim60=10×号 2 5√3(km).最短公路的长为5√3km.14.解：过点P作PG⊥CD于点G,交EF于 点H,易证四边形PBFH,PBDG均为矩形.由题意，得∠BAD=∠ADB=90°-45°= 45°，FH=PB=GD=1m,EF∥AB,∴.∠FED=∠BAD=∠EDF=45°，.FD=EF= 6mEH=EF-FH=6-1=5m.在R△PEH中，am9-写票-房=0BR =点=55(m),PG=BD=BF+FD=(5+6)m,在Rt△PCG中，：tanB=P元， CG 3 3 CG=PG,tan30°=(5V5+6)X5=(5+2V3)m.CD=CG+GD=5+2V5+1= 3 (6+2√3)m.答：塔CD的高度为(6十2√3)m. 阶段微测试（三） 1.D2.C3.A4.B5.B6.A7.D8.D9.y=x2y=-x210.y轴(0,2) 第28页（共42页） 增大1山.)y=-(x-2)2-312.③13.解：(1)将点(0,1)的坐标代入y= (m-1)x2十m2-2-2,得m2-21-2=1.解得m=3,或m=-1.抛物线的开口向 下，.m-1<0,m<1,.=一1；(2)当m=一1时，抛物线的函数表达式为 y=一2x2+1,其顶点坐标为(0,1)，对称轴为y轴；(3)，抛物线y=-2x2十1的开口 向下，∴.当x<0时，y随x的增大而增大.14.解：由①②，可设函数的表达式为y= -2(x-3)2+k.将点(2，-1)的坐标代入函数表达式，得一2×(2一3)十k=-1.解得 k=1..该二次函数的表达式为y=一2(x-3)2十1.15.解：(1)c=5;(2)由(1)，得 0C=5m,抛物线的函数表达式为)=品r+5.令y=0,得一0+5=0.解得 10,x2=-10..OA=OB=10m,∴.AB=OA十OB=10十10=20(m),.地毯的总长度 为AB+2O℃=20十5×2=30(m),30×1.5×20=900(元).答：购买地毯需900元. 阶段微测试（四） 1D2A3.D4A5.D6.A7A8.B9=11,)<10y=寸x +1增大1山.y=-x2+2x12.a≥513.解：(1)：y=2+bx十c过原点…c= 0.:y=x2十bx过点A(2,0),.0=4十2b,解得b=-2.y=x2-2x:(2)(1,-1)直 线=1(3)0A=2,Sa0s=合×2X1ya=3,g=3.“y=-2x=(-1) -1≥-1，yB≠-3，∴yg=3,x2-2x=3,即x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3. 故点B的坐标为(-1,3)或(3,3).14，解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十+ 60k≠0).将点(18,2)，(20,20)的坐标分别代入y=红十6，得8土-24·解得 120k+b=20. 二2根据题意，得≥18，且≤15×十40%)=21.y与x之间的函数关系式 1b=60. 为y=-2x十60(18≤x≤21)：(2)由题意，得w=(x-15)(-2x十60)= -2x2+90x-900=-2(x-22.5)2+112.5.-2<0,18x21,,.当x=21时， 取最大值，最大值=一2×(21-22.5)2+112.5=108.答：当售价定为21元/瓶时，日销 售利润最大，最大日销售利润是108元. 阶段微测试（五） 1.B2.A3.C4.D5.C6.B7.B8.B9.0或410.311.(42-4) 12.14413.解：(1)当x=25时，y=2000÷(25-15)=200(kg).设y与x的函数关系 式为y=k虹+b.将(20,250)，(25,20)代入，得20k+6=250 解得k一10， .y与x 125k+b=200, 1b=450. 的函数关系式为y=一10x十450：(2)设每天销售樱桃获得的利润为，则w=(x一15) (-10x+450)=-10x2+600x-6750=-10(x-30)2+2250(15<x≤28).·-10< 0,对称轴是直线x=30,∴.当15<x≤28时，w随x的增大而增大，∴.当x=28时，w有 最大值，最大值=一10×4十2250=2210（元）.答：售价定为28元时，该超市每天销售 樱桃所获得的利润最大，最大利润是2210元.14.解：(1)二次函数y=ax2十bx十c 1 4a十2b+c=0, a=2' 的图象过A(2,0),B(0,-1),C(4,5)三点，.c=-1, 解得 1.此二 16a+4b+c=5, b=一2 c=-1. 次函数的表达式为y=号-号一1：(2当y=0时，得号-号一1=0，解得 2,x2=-1,∴点D的坐标为(-1,0)：(3)如图， y=x+1当-1<x4 时，一次函数的值大于二次函数的值 第29页（共42页） 阶段微测试（六） 1.D2.A3.B4.D5.B6.D7.C8.A9.上外10.411.菱形12.8 13.解：过点C作CE⊥AD于点E,则AE=DE.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC =4,由勾股定理，得AB=√AC+BC=3+F=5.:SMx=之AC·BC=号AB CE,CE=ACBC=34=号.在R△ACE中，由勾股定理，得AE= AB 5 VAC-CE-V3-(号)-号AD=2AE=2x号= .14.解：(1)连接OM, ON.OA=OB,AC=BD,∴.OA-AC=OB-BD,即OC=OD.又OM=ON,∠MCO =∠NDO=90°，∴.Rt△OMC≌Rt△OND(HL),∴.∠MOC=∠NOD,∴.M=N;(2) 成立.理由如下：C是OA的中点，0C=之0A=0M.又“∠0CM=90,“∠M =30°，∴.∠MOC=60°.同理可得∠NOB=60°.∴.∠MON=180°-∠MOC-∠NOB= 180°-60°-60°=60°，.∠MOC=∠MON=∠NOB=60°，.AM=MN=NB. 15.解：(1)连接BD.:∠ACD=30°，∴∠B=∠ACD=30.:AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°..∠DAB=90°-∠B=90°-30°=60°；(2)∠ADB=90°，∠B=30°，AB =4∴AD=号AB=之X4=2.“∠DAB=60,DE1AB,且AB是直径，∴m∠DAB= B..EF-DE-ADsin 605DF-2DE-2 阶段微测试（七） 3 1.D2.D3.C4.B5.A6.A7.B8.D990°10.11.115°12.2E 13.解：(1)，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB,.AC=AE.又：C是AD的中点，∴.AC= CD,.AE=C⑦，∠ACP=∠CAP,.PA=PC.:AB是⊙O的直径，∴.∠ACB= 90°，∴∠PCQ=90°-∠ACP,∠CQP=90°-∠CAP,∴∠PCQ=∠CQP,∴.PC=PQ, .PA=PQ,即P是线段AQ的中点；(2)AC=CD,∴∠CAQ=∠ABC.又∠ACQ 15 =∠A△CAQO△CBA,瓷-器-系=是.设AC=,BC=,在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2+BC=AB,即(3k)2十(4k)2=10,解得k=2(负值 已舍去).AC=6,BC=8,根据直角三角形的面积公式，得2AC·BC=2AB·CH, CH=AC--又：AB.CE..CH=-HECE=2CH=2x兽-s AB 14.解：(1)连接OD.:BC是⊙O的直径，∴.∠BDC=90°，.CD⊥AB.:AC=BC, ∴.AD=BD.:OB=OC,OD为△ABC的中位线，∴.OD∥AC.:DF为⊙O的切线， ∴.OD⊥DF,DF⊥AC;(2)连接BG.:BC是⊙O的直径，∴.∠BGC=90°.：∠EFC =90=∠BGC.∴EF∥BG.∠CBG=∠E.在R△BDC中，：BD=合AB=号×6= 3.BC-5:CD-4.Soe-AB CD-AC.BG.BG-ABCD-6X4- AC 5 兰在R△BCG中，由勾股定理，得CG=VBC-G=√-（借）=子iamE =tan∠CBG=BC-24-24 5 阶段微测试（八） 1.C2.D3.B4D5.B6D7.B8.A9.610.120°31,712.开 13.证明：：AB=CD,.AB=⊙D,.AB-D=D-D,即AD=BC.∴.AD=BC 14.解：(1)PA切⊙O于点A,∴.∠PAB=90°.∠BAC=30°，.∠PAC=60°.又 PC是⊙O的切线，∴PA=PC,∴.△PAC是等边三角形，∴.∠P=60°；(2)连接BC. 第30页（共42页）