小专题2 解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

5 三角函数的应用 基础过关 1.C2.(6√3+6)n mile3.解：如图， 在灯塔P的正北方向取一点E, 东 在灯塔P的正南方向取一点F.由题意，得PC⊥AB,EF∥AB,.∠A=∠EPA=72°， ∠B=∠BPF=40°.在Rt△APC中，AP=100 n mile,.PC=AP·sin72°≈100X 0.95=95(n mile),在Rt△BCp中，BP=PC sin40≈0.64≈148(n mile),.这时，B处距 离灯塔P约l48 n mile.4.B5.解：过点C作CD⊥AE,交AE的延长线于点D,设 BD=xm.:AB=10m,.AD=AB+BD=(x+10)m.在Rt△BCD中，∠CBD=45°， ..CD=BD·tan45°=x(m).在Rt△ACD中，∠CAE=42°，.CD=AD·tan42°≈ 0.90(x十10)m,.x=0.90(x+10),解得x=90..CD=90m.小山顶的水平观景台 的海拔高度为1600m,∴.山顶点C处的海拔高度约为1600+90=1690(m).6.6√2 能力提升 7.解：(1)设CD=xm.,DE=36m,.CE=CD十DE=(x十36)m.EC⊥AB, ∴∠BCE=∠ACD=9O.在R△BCD中，：m∠CDB-8S∠CDB=45,BC- CDam∠CDB=x·an45=(m.在R△BCE巾，：an∠CEB-s∠CEB= 31°，.BC=CE·tan∠CEB=(x+36)·tan31°≈0.6(x十36)m,∴.x=0.6(x十36)， 解得x=54.答：线段CD的长约为54m;(2)由(1)，得CD=BC=54m.在Rt△CDA 中，：am∠CDA-8S∠CDA=6,AC=CD·1m∠CDA=54Xan6≈54X0.1 =5.4(m).∴.AB=AC十BC=5.4十54≈59(m).答：桥塔AB的高度约为59m. 思维拓展 8.解：过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为E,F.由题意，得AB=92m,BC=30m, BAE=48°，∠CBF=37°，在R△ABE中，Sin∠BAE=8第，BE=AB·sin∠BA =92Xs48≈92X0.74=68.08(m.在R△CBF巾，sin∠CBF-瓷CF=BC: sin∠CBF=30Xsin37°≈30X0.60=18.00(m).:FD=BE=68.08m,∴.DC=FD+ CF=68.08+18.00=86.08≈86.1(m).答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升 的高度DC约为86.1m. 6利用三角函数测高 基础过关 1.B2.解：过点B作BG⊥AM于点G.在Rt△ABG中，∠a=30°，AB=30m,∴BG= AB·sim30=30×号=15(m.易得四边形BGDF为矩形，DF=BG=15m.设BF =xm.易得△BCF是等腰直角三角形，∴.CF=xm,EF=(x-4)m.在Rt△CEF中， ∠CER=60n∠CEF-g票∴产=5，解得x=6+2.CF=6+2m ∴DC=DF+CF=15+6+25=(21+23)m,3.F4,解：在R△BCD中， ∠BCD=45°，BC=350m,BD=CD=BC.sim∠BCD=350X9=1752≈247.45(m. 2 在Rt△ACD中，∠ACD=73°，CD=247.45m,.AD=CD·tan73°≈247.45X 3.2709≈809.38(m),.AB=AD+BD=809.38十247.45=1056.83≈1057(m).答： “东州湖”东西两端AB的长约为1057m. 能力提升 5.556.解：(1)延长AB与水平地面交于点F,过点D作DM⊥CF于点M,过点D作 DE1AF于点E:斜坡CB的孩度=1：2,42器-立=是设DM=论m,则 第4页（共42页） CM=12km.在Rt△CDM中，CD=13m,由勾股定理，得DMP十CM=CD,即(5k)2 十(12k)2=13,解得k=1..DM=5m,CM=12m.答：D处的竖直高度为5m:(2)斜 坡CB的坡度i=1:2.4,设DE=12am,则BE=5am.又，∠ACF=45°，∴.AF=CF =CM+MF=CM+DE=(12+12a)m,..AE=AF-EF=AF-DM=12+12a-5= (7+12a)m.在Rt△ADE中，DE=12am,AE=(7+12a)m,.'tan∠ADE=tan53°≈ ,7十12a气号，解得a=:DE12a=21(m),AE=7+12a=28(m),BE 12a -克(m,AB=AE-BE=28-空-(m).答：基站塔AB的高约为？m 思维拓展 7.解：(1).CG⊥CD,.∠ACG=90°.∠AGC=32°，.∠GAC=90°-∠AGC=90° 32°=58°：(2)该运动员能挂上篮网.理由如下：延长OA,ED交于点M.OA⊥OB, .∠AOB=90°..DE∥OB,.∠DMA=∠AOB=90°.∠GAC=58°，.∠DAM= ∠GAC=58°，.∠ADM=90°-∠DAM=90°-58°=32°.在Rt△ADM中，AD=0.8m, sin ADM-AM-AD sin2(m).OM-OA+AM- 2.5+0.424=2.924(m).2.924m<3m,∴.该运动员能挂上篮网. 小专题二解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型 1.B2.10.43.解：延长CD交AB于点H.由题意，得四边形CMBH为矩形，HB =CM=20m,在R△ACH中，∠AHC=90,∠ACH=18.4°，∴tan∠ACH=, AH CH=DAC万amA8,≈在R△CH中，∠EHC=90,∠ECH=37 m∠BcH票CH=an界器设AH=mAE=9m EH x EH=（+9)m,·3=73,解得x≈7.1.·AH≈7.1m,AB=AH+HB 7.1十20=27.1≈27(m).答：纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长约为27m.4.C 5.(9十63)6.解：过点A作AE⊥CD于点E.由题意，得AB=DE=20m.在 R△ADEt,∠EAD-=30,am∠EAD-8器AE=B0-沿-205m.在 √3 R△ABC中，∠CAE=45,m∠CAE-.CE-AEim45=205X1=20E(m .CD=CE+DE=(20√3十20)m.答：信号塔的高度为(20√3十20)m.7.解：延长BA 交PQ的延长线于点C,则∠ACQ=90°.根据题意，得BC=225m,PQ=200m.在 Rt△BCQ中，∠BQC=45°，.CQ=BC=225m..PC=PQ+CQ=200+225=425(m). 在R△PCA中，an∠APC--瓷=am15≈0,27，AC=425X0.27=14.75m. .AB=BC-AC=225-114.75=110.25≈110(m).答：奇楼AB的高度约为110m. 8.解：能.延长EF交CH于点V,则∠CVF=90°.由题意，得VH=BF=AE=1.2m, EF=AB=5m.在Rt△CFN中，.∠CFV=45°，.CN=NF.设DN=xm,则NF= CN=DN+CD=(x+3)m,∴.EN=EF+NF=5+(x+3)=(x+8)m.在Rt△DEN 中，tan∠DEN-EN,-DN=EN·tan∠DEN=(x+8)·tan31r≈0,6(x+8)m, .x=0.6(x+8),解得x=12..DN=12m,∴.DH=DN+NH=12+1.2=13.2(m). 答：标语牌底部点D到地面的距离DH的长约为13.2m,9,解：(1)过点E作E℉⊥ BC,垂足为RCD的孩度=1：2六第=宁设EF=m,则CF=2红m在 Rt△CEF中，由勾股定理，得CE=√CF+EF=√(2x)+=√5xm.CE=8V5m, √5x=8√5，x=8,.EF=8m,CF=16m.答：点E到水平地面的距离为8m: (2)延长FE交AH于点G,则四边形ABFG为矩形..AG=BF=BC十CF=24十16= 40(m.AB=GR,∠AGE=0在R△AGE中，∠GAE=,m∠GAE-g怎GE =AG·tan43°≈40×0.93=37.2(m),∴.AB=GF=EF+GE=8+37.2=45.2(m). 第5页（共42页） 答：楼房AB的高度约为45.2m.10.解：(1)在Rt△ABC中，∠A=45°，∠C=90°， .∠B=45°，.BC=AC=20cm.答：BC的长为20cm;(2)由题可知，OV=EC= 号AC=号×20=10(cm),BN=0N=10cm在R△D0N中，：∠D0N=32, .DN=ON·tan∠DON=10Xtan32°≈10X0.62=6.2(cm),..BD=BN-DN=10 -6.2=3.8(cm).答：B,D之间的距离约为3.8cm. 第一章整合与提升 高频考点突破 1.B2.A3.A4.75°5.解：1)原式=1+9-25+4×5=10-25+25=10： (2原式=号-2X(受)十(-15=号-号-1=-2.6A7.4万8解：D 在R△ABD中，∠A=30,BD=之AB=合×6=3，AD=FBD=35:(2)由1D, 得CD=ACAD-=55-3B=25,在R△BDC中，anC0-2号=号，9(6 9.(6 -2√3)dm10.解：如图②，石 DC过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点 F;过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.易得四边形AECF是矩形，.∠ECD =90°，AF=CE,FC=AE.,∠BCD=60°，.∠BCE=∠ECD-∠BCD=90°-60°= 30.在R△BCE中，：∠BCE-30,BC=8,BE=号BC=号×8=4，CE-号BC= X8=4V3,:∠ADC=135,∠ADF=180°-∠ADC=180°-135字 .△ADF是等腰直角三角形，.DF=AF=CE=4√3.FC=AE,即DF十CD=AB十 BE.CD=2,:4/+2=AB+4..AB=4-2.:.Swmaeo=(CD+AB).CE= 号(2+4B-2)×45=21.答：垂尾模型轴切面ABCD的面积为21. 易错易混专攻 1号或2522或14 常考题型演练 1.C2.D3.(4√15-2√5)4.解：(1)由题意，得PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD =EQ=1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m,..CE=AE-AC=4-3=1(m),PE= PQ-EQ=2.6-1.6=1(m),∠CEP=90°，∴.CE=PE,.B=∠PCE=45°.在Rt△APE 中，m。=am∠PAE-=:(e在R△cEP中，CE=PE=1,∠CEP=90,由 勾股定理，得CP=√CE+PE区=√十1严=√2(m).过点C作CH⊥AP于点H. ana=an∠HAC-器=子，设CH=xm,则AH=cm2+(ry=AC=9, 3/17 解得x=3F.:CH=3严m在R△CcPH巾，n∠APC=8票=克 17 2 3/34 341 5.解：(I)过点B作BE⊥AC,垂足为E.在Rt△ABE中，∠BAE= 90-45°=45，AB=40 mile,.BE=AE=AB·eos45=40×号=20，E(n mile.)在 Rt△BCE中，∠CBE=60°，.CE=BE·tan60°=20√2XJ3=20wJ6(n mile),.∴.AC= AE+CE=20√2+20√6≈20×1.41+20×2.45=77.2(n mile),.A,C两港之间的距 离约为77.2 n mile:(2)甲货轮先到达C港.理由如下：如图， D 北取A 午30°西+东 G,60° 南 160 第6页（共42页）小专题二解直角三角形应 类型1“母抱子”型 模型归纳 旋转 平移 平形 平移 1.（教材Pg“做一做”变式)如图，长4m的楼 梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼 梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾 斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的 长为 () A.2√3m B.2√6m C.(2√5-2)m D.(2√6-2)m 东 (第1题图) (第2题图) 2.（教材P2习题T4变式)如图，海中有一个小 岛A,一艘轮船由西向东航行，在点B测得小 岛A在北偏东60°方向上；航行12 n mile到达 点C,这时测得小岛A在北偏东30°方向上. 小岛A到航线BC的距离是 n mile. (√≈1.73，结果精确到0.1 n mile) 3.(山西)【研学实践】为重温解放军东渡黄河 “红色记忆”，学校组织研学活动.同学们来 到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相 关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪 采集纪念碑的相关数据. 【数据采集】如图，点A是纪念碑顶部一点， AB的长表示点A到水平地面的距离.航模 从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞 行至距离地面20m的点C处时，测得点A 17数学九年级下册配BSD版 用中的“双直角三角形”模型 的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继 续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠VCD= 37°，当到达点A正上方的点E处时，测得 AE=9 m. 【数据应用】已知图中各点均在同一竖直平面 内，E,A,B三点在同一直线上.请根据上述数 据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB 的长.（结果精确到1m.参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈ 0.32,cos18.4≈0.95，tan18.4°≈0.33) 类型2“背靠背”型 模型归纳 人平移 DC B DCC'B 旋转 4-90 4.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁， 小芳同学在校外实践活动中对其开展测量 活动.如图，在桥外一点A测得大桥主架与 水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶 端D的仰角为3，已知测量点与大桥主架的 水平距离AB=a,则此时大桥主架的顶端离 水面的高度CD为 A.asin aasin B B.acos a+acosβ C.atan a+atan B D.aa 'tan a tanβ D a CL- (第4题图) (第5题图) 5.如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD,AD∥ BC,AD=3m,坝高AE=DF=6m,坡角 a=45°，3=30°，则BC的长为 m. 6.如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测 信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的 仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20m, 求信号塔的高度.（结果保留根号） 类型3“拥抱”型 模型归纳 将△DEF沿 BC方向平移 B(F) C(E) 7.“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅 游新特色.某数学兴趣小组用无人机测量奇 楼AB的高度，测量方案如下：如图，先将无 人机垂直上升至距水平地面225m的点P 处，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人 机沿水平方向飞行200m到达点Q,测得奇 楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度. (结果精确到1m,参考数据：sin15°≈0.26， cos15°≈0.97，tan15°≈0.27) 15 45 8.如图，学校教学楼上悬挂一块高为3的标 语牌，即CD=3m,数学活动课上，小明和小 红要测量标语牌的底部点D到地面的距离， 测角仪支架高AE=BF=1.2m,小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红 在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°， AB=5m,依据他们测量的数据能否求出标 语牌底部点D到地面的距离DH的长？若 第一章直角三角形的边角关系18 能，请写出计算过程；若不能，请说明理由. (图中点A,B,C,D,E,F,H在同一平面上 参考数据：sin31°≈0.52，c0s31°≈0.86， tan31°≈0.60) 田 E345° 田 H 类型4综合类型 9.如图，一楼房AB后有一假山CD,CD的坡 度i=1:2,山坡坡面上点E处有一休息亭， 测得假山山脚与楼房水平距离BC=24m, 与亭子距离CE=8√5m,小丽从楼房房顶A 处测得E的俯角为43°. (1)求点E到水平地面的距离； (2)求楼房AB的高度.（结果精确到0.1m, 参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73， tan43°≈0.93) 439 水平地面 19数学九年级下册配BSD版 10.跨学科物理)（贵州）小星学习解直角三角形 知识后，结合光的折射规律进行了如下综 合性学习. 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置 在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处 投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC 的夹角为∠A; 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中 点E处时，停止注水.（直线NV'为法线， AO为入射光线，OD为折射光线) 【测量数据】如图，点A,B,C,D,E,F,O, N,N在同一平面内，测得AC=20cm, ∠A=45°，折射角∠DON=32°. 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数 据，解答下列问题： (1)求BC的长； (2)求B,D之间的距离.（结果精确到 0.1cm,参考数据：sin32°≈0.52， cos32°≈0.84，tan32°≈0.62) 1459 NO空气 N DB