小专题1 求锐角三角函数值的常用方法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

小专题一求锐角三 类型1定义法求锐角三角函数值 方法指导 在直角三角形中，已知任意两边的长可直接求锐 角三角函数值 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=5, 则sinA的值为 A是 点器 C》 D.l2 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (4,0),点B的坐标为(0,3)，以点A为圆心， AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点 C,连接BC,则∠ACB的余弦值为( B.3 C.y10 D.30 10 10 (第2题图) (第3题图) 3.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分 线，DE交AC于点E,连接BE.若BE=9, BC=l0,则tanC的值为 类型2设参数法求锐角三角函数值 方法指导 若已知两边的比值或一个锐角三角函数值，则可 采用设参数的方法，先用含参数的式子表示出所求锐角 三角函数涉及的边的长，再根据锐角三角函数的公式计 算它们的比值，即可得出锐角三角函数值 4.在R△ABC中，∠C=90,BC=号AC,则 sinB的值为 ( A.25 C⑤ D.2 5 5 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，ADI BC于点D.若BD:CD=3:2,则tanB的 值为 ( A是 c号 D. 3 9数学九年级下册配BSD版 角函数值的常用方法 (第5题图) (第6题图) 6.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点 E,cos A=,BE=2,则an∠DBE的值 是 () A.2 B.2 c号 D 5 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上 一点，AB=5,BD=1,tanB=3 4 (1)求AD的长； (2)求sin∠BAD的值， D 类型3构造直角三角形法求锐角三角 函数值 方法指导 求锐角三角函数值，当三角形不是直角三角形且 不能直接转化为其他角时，可以根据已知条件构造直 角三角形解决.（常见的辅助线有作高、作平行线等） 8.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上， 小正方形的边长均为1，则sin∠BAC的值 为 () A② B.v26 C.26 6 26 13 D.13 13 ----0 (第8题图) (第9题图) 9.如图，在正方形方格纸中，每个正方形的边 长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB与CD 相交于点P,则cos∠APC的值为( B.26 5 5 D.5 5 10.如图，在四边形ABCD中，∠B= ∠D=90°，AB=3,BC=2, tanA=3,则CD的长为 类型4等角转换法求锐角三角函数值 方法指导 当所求角的锐角三角函数值不能直接求出，这个 角可以转化为其他角时，可以求转化后与其相等的角 的锐角三角函数值 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD AB于点D,AC:BC=2:3,则tan∠ACD 的值为 A号 B. c. D.9 (第11题图) (第12题图) 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB 的中点，连接CD.若BC=4,CD=3,则 sin∠ACD的值为 ( A.景B c D.5 13.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8. 若∠BPC=?∠BAC,则tan∠BPC的值 为 (第13题图) (第14题图) 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 3,sim∠ABC=号D是边AB上一点，且 CD=CA,BE⊥CD,垂足为E,则 sin∠EBD的值为 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinA= 号，点D,E分别在AB,AC上，DELAC,垂 足为E,DE=2,DB=9. (1)求BC的长； (2)求∠BCD的余弦值. 第一章直角三角形的边角关系10参考答案 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时锐角的正切 基础过关 1.C【变式】C2.D3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= V窗g=16emnA-器-号-是mB-瓷-9=手4.c5A 6.A7.A 能力提升 8B9.A【变式B10.是1.厅2.解：过点A作AE1BC于点E,过点D作 本DF1BC于点R.由题意，得mC-8F=合，CD=10m,∠B=45,AD=6m,易证四 帐 边形AEFD是矩形，.AE=DF,EF=AD=6m.设DF=xm,则CF=2xm.在 Rt△CFD中，由勾股定理，得DF2十CF=CD,即x2+(2x)2=10,解得x=2√5（负值 舍去)，.DF=2√5m,CF=4√5m,AE=2√5m.∠AEB=90°，∠B=45°，∴.BE= AE=2√5m,∴.BC=BE+EF+CF=2√5+6+4W5=(6√5+6)m.即BC的长为(6√5 十6)m. 思维拓展 她 13.解：(1)√3 ②：在R△ABC巾，mA-=oA-瓷-专 第2课时锐角的正弦、余弦 基础过关 1.C2.C3A4. 3 5.B6.B7.B8.D9.解：在Rt△ABC中，：∠C=90°， 0 sA-6=号AC=6AB=10,曲勾股定理，得BC=VAB-4A0=V0-6 8..Cawc=AB+AC+BC=10+6+8=24.Sawc-AC.BC-X6X8-24, △ABC的周长为24，面积为24. 能力提升 10.D11.D 2指 13.214.解：(1)过点B作BC⊥OA于点C.BO=5, m∠BOA=各，“%=子，BC=3.在R△OBC中，由勾股定理，得0OC- 线 VB0=BC=V分-3=4，…点B的坐标为(4,3)：(2)25 5 思维拓展 15.解：1)在R△ABC中，∠C=90,sinA=BC=g,cosB=BC=;(2):在 AB c AB R△ABC巾，∠C=0amA=C=号：aB=瓷=名：(3)由I.得smA cosB,由(2)，得mA·anB=1:(4)①号 ②立 230°，45°，60°角的三角函数值 基础过关 1.B2.B3>4解：0)原式=3×号+2×号-厅+1：(2)原式 =+8-2. 5.A6.60°7.90°8.D9.30°10.解：在Rt△ABC中，∠BAC 第1页（共42页） =90°，∠ACB=45,AB=5m,∴AC=aA45=子=5(m).在Rt△ABD中，∠BAD= 90,∠D=30,AD=,AB=点=5B(m),CD=AD-AC=5V5-5≈5X1.732 tan30√5 -5=3.66(m).答：CD的长度约为3.66m. 能力提升 11.C12.A13.6-2 4 14.解：在Rt△ABC中，：BC=2,∠A=30°，∠ACB=90°， ∴AC=BC tan A 3 2=23,EF=AC=2尽.在R△ECF中，：∠E=45,∠FCE= 3 90.FC-EF.sin E=2/3x=:AF=AC-FC=2/-/6. 2 思维拓展 15.解：1111(1)过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90°.：在Rt△ABD 中，smA-0osA=品smA十osA=(0)+(0) =BD+AD.在 AB R△ABD中，由勾股定理，得BD+AD=AB,simA十cosA=1;(2):sinA=号， 3 simA+cosA=l,∠A为悦角casA=1-(号)=寺 3 三角函数的计算 基础过关 1.D2.C3.(1)0.45(2)0.52(3)0.64(4)-0.784.B5.B6.B7.70 8解：在R△ABC中，AB=120cm,∠BAC=90,∠B=3.7amB-6AC= AB·tanB≈120×0.67=80.4≈≈80(cm).答：AC的长约为80cm. 能力提升 ,2110解：过点A作AD1BC于点D,延长AD交地面于点E.”如月铝∠B =70°，.AD=AB·sin70°≈92×0.94=86.48(cm).易得DE=6cm,.AE=AD+ DE=86.48十6=92.48≈92.5(cm).答：把手A离地面的高度约为92.5cm. 思维拓展 11.解：过点E作EF⊥CD于点F,延长AB,DC交于点H,则∠EFD=90°.由题意，得 在R△EFD中，∠EDF=6O,BD=6m,sm∠EDF-第os∠EDF-品EF ED·sn60=6×9=35(m,FD=ED·cos60=6X2=3(m.由题意，得∠H= 90°，四边形AEFH是矩形，∴AH=EF=3√3m,HF=AE=1.5m.CF=CD-FD =3.5-3=0.5(m),∴.CH=HF-CF=1.5-0.5=1(m).在Rt△BCH中，∠H=90°， ∠BCH=180-∠D=180-135=45.:os∠BCH-g是an∠BCH-8盟， CH ·BC=CH S得-2E≈1.4m,BH=CHm行=1X1=1m.AB=AH BH=3√3-1≈4.2(m).答：BC的长度约为1.4m,AB的长度约为4.2m. 小专题一求锐角三角函数值的常用方法 1.B2.C3.24.A5.D6.B7.解：1)在R△ABC中，∠C=90,tanB= 5 含瓷=子，可设AC=3,BC=4,由勾股定理，易得AB=5x.:AB=5,5x=5,解 得x=1..AC=3,BC=4.:BD=1,.CD=BC-BD=4-1=3.在Rt△ACD中，由 勾股定理，得AD=√CD+AC=√3十3=3√2；(2)过点D作DE⊥AB于点E. 第2页（共42页） SAABD= AB,DE=2BD·AC,∴DE=BDAC=X3- AB 6 ,.sin∠BAD= DE5√2 AD3210' 8B9B10.号山A12A13专14.3 15.解：(1)在 R△DEA中，DE=2,simA=号，AD=DE-是=3，AB=DB+AD=9+3 sin A 2 12.在R△ABC中，AB=12,sinA=号BC=AB·sinA=12X号=8：(2)在 Rt△ABC中，AB=12,BC=8,由勾股定理，得AC=√/AB2-BC=√/122-82=4√5. 在Rt△DEA中，DE=2,AD=3,由勾股定理，得AE=√AD-DE=√/32-2=√5， .CE=AC-AE=4√5-√5=3W5.在Rt△DEC中，由勾股定理，得CD= V+DE=V3+交-ios∠CDE-8器-号.易得DE/BC,∠CDE =∠BCD,∴cOs∠BCD=coS∠CDE=名 4解直角三角形 基础过关 1.C2.45°45°203.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= √2-33，sinA=AB-25-∠A=30,∠B=90-∠A=90° -30°=60°.4.C5.D6.C7.解：如图.4 .在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B a B =60,∠A=90°-∠B=90°-60°=30.1anB=6,∴a= b=1.sin B tan B3 =b,c= b==2. c inB√5 能力提升 8.B9.C10.解：(1)AM⊥MN,DN⊥MN,∴.∠AMN=∠DNM=90°.AD∥ MN,..∠DAM=180°-∠AMV=180°-90°=90°，.四边形AMND是矩形，.AD= MN=ME十EF+FN=20.0十40.0十20.0=80.0(m),..“大碗”的口径AD的长为 80.0m;(2)延长CB交AM于点G.由题意，得BE=GM=2.4m,BG=ME=20.0m, BG⊥AM,∠EBG=90°，∴∠ABG=∠ABE-∠EBG=152°-90°=62°.在Rt△ABG 中，AG=BG·tan62°≈20.0×1.88=37.6(m),,.AM=AG+GM=37.6+2.4=40.0(m), .“大碗”的高度AM的长约为40.0m. 思维拓展 11.解：(1)2(2)如图② 取格点B,连接AB,BN,可得AB∥MC, ·∠CPN=∠BAN.易知△ABN为直角三角形，且∠ABN=90°.在Rt△ABN中，AB E,AN=VD.心eos∠CPN=ms∠BAN装-亮=号：（③）设BC的长度为单 位1，构造如图③所示的网格图， 取格点D,连接AD,DN,可得AD∥ CM,.∠CPN=∠DAN.易知△ADN为直角三角形，且∠ADN=90°.在Rt△ADN 中，AD=而.AN=26cs∠CPN=cos∠DAN=银-=S-号.÷∠CPN= 45°. 第3页（共42页）