1.3 三角函数的计算-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

3 三角函 ②基础过关。逐点击破 知识点1用科学计算器求锐角三角函 数值 1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计 算sin36°18'，按键顺序正确的是( A.sim36·08目 B.sin36,□8= C.SHIFTsin36,□8= D.sim36,□8，y三 2.用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它 们的大小关系是 A.tan26°<cos27°<sin28 B.tan26°<sin28°<cos279 C.sin28°<tan26°<cos27° D.cos27°<sin28°<tan26 3.(教材P5习题T,变式)用计算器求下列各式 的值：（结果精确到0.01） (1)c0s63°17'≈ (2)tan27.35°≈ (3)sin39°57'6"≈ (4)sin18°+cos55°-tan59°≈ 知识点2已知三角函数值求角度 4.已知cosa=0.7030,用计算器求锐角a,按 键顺序正确的是 ( A.cosO·7O3O=SHIFT B.SHIFTcos0·7O3O C.cos SHIFT0·7阿30= D.SHIFT cos 0·☑O3可目SHIFT 6, 5.已知4cosa=0.9754,那么锐角a的度数约 为 ( A.15°27' B.75°53'10” C.12°44'6" D.42°17'31" 7数学九年级下册配BSD版 数的计算 知识点3三角函数的实际应用 6.如图，小兵同学从A处出发向正东方向走 xm到达B处，再向正北方向走到C处，已 知∠BAC=a,则A,C之间的距离为( A.sin a m B.xm cos a C.x·sin a m D.x·cos a m 北 D Cka A (第6题图) (第7题图) 7.如图，窗子高AB=2m,在窗子外面上方 O.2m的点D处安装的水平遮阳板DC长 为0.8m,若某一时刻光线正好不能直接射 入室内，则太阳光线与水平线所夹锐角α至 少是 .(结果精确到1) 8.教室里的投影仪投影时，可以把投影光线 CA,CB及在黑板上的投影图象高度AB抽 象成如图所示的△ABC.已知∠BAC=90°， 黑板上投影图象的高度AB=120cm,CB与 AB的夹角∠B=33.7°，求AC的长.（结果精确 到1cm,参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈ 0.83,tan33.7°≈0.67) 可能力提升。整合运用 9.（教材P0习题T3变式) 如图，焊接一个钢架，包 37 括底角为37°的等腰三角 形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m.（结果取整数，参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 10.情境题滑板车图①是一辆在平地上滑行的 滑板车，图②是其示意图.已知车杆AB长 92cm,车杆与脚踏板所形成的角∠B 70°，前后轮子的半径均为6cm,求把手A 离地面的高度.（结果精确到0.1cm,参考 数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， tan70°≈2.75) 图① 图② 思维拓展。学科素养 11.项目式学习某校“综合与实践”小组的同学 把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课 题活动，利用课余时间完成了实践调查，并 形成了如下活动报告.请根据活动报告计 算BC和AB的长度.（结果精确到0.1m, 参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41) 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 方式 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌 功能 或冲刷的构筑物 材料 所需材料为石料、混凝土等 相关数据及说明：图 中，点A,B,C,D,E 在同一竖直平面内， 调查 内容 岸 水面AXm地面 AE和CD均与地面 平行，岸墙AB⊥AE 面 于点A,∠BCD= 135°，∠EDC=60°， ED 6 m,AE= 1.5m,CD=3.5m 计算 结果 交流 … 展示 水面 Am地面 B 11117T 第一章直角三角形的边角关系8参考答案 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时锐角的正切 基础过关 1.C【变式】C2.D3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= V窗g=16emnA-器-号-是mB-瓷-9=手4.c5A 6.A7.A 能力提升 8B9.A【变式B10.是1.厅2.解：过点A作AE1BC于点E,过点D作 本DF1BC于点R.由题意，得mC-8F=合，CD=10m,∠B=45,AD=6m,易证四 帐 边形AEFD是矩形，.AE=DF,EF=AD=6m.设DF=xm,则CF=2xm.在 Rt△CFD中，由勾股定理，得DF2十CF=CD,即x2+(2x)2=10,解得x=2√5（负值 舍去)，.DF=2√5m,CF=4√5m,AE=2√5m.∠AEB=90°，∠B=45°，∴.BE= AE=2√5m,∴.BC=BE+EF+CF=2√5+6+4W5=(6√5+6)m.即BC的长为(6√5 十6)m. 思维拓展 她 13.解：(1)√3 ②：在R△ABC巾，mA-=oA-瓷-专 第2课时锐角的正弦、余弦 基础过关 1.C2.C3A4. 3 5.B6.B7.B8.D9.解：在Rt△ABC中，：∠C=90°， 0 sA-6=号AC=6AB=10,曲勾股定理，得BC=VAB-4A0=V0-6 8..Cawc=AB+AC+BC=10+6+8=24.Sawc-AC.BC-X6X8-24, △ABC的周长为24，面积为24. 能力提升 10.D11.D 2指 13.214.解：(1)过点B作BC⊥OA于点C.BO=5, m∠BOA=各，“%=子，BC=3.在R△OBC中，由勾股定理，得0OC- 线 VB0=BC=V分-3=4，…点B的坐标为(4,3)：(2)25 5 思维拓展 15.解：1)在R△ABC中，∠C=90,sinA=BC=g,cosB=BC=;(2):在 AB c AB R△ABC巾，∠C=0amA=C=号：aB=瓷=名：(3)由I.得smA cosB,由(2)，得mA·anB=1:(4)①号 ②立 230°，45°，60°角的三角函数值 基础过关 1.B2.B3>4解：0)原式=3×号+2×号-厅+1：(2)原式 =+8-2. 5.A6.60°7.90°8.D9.30°10.解：在Rt△ABC中，∠BAC 第1页（共42页） =90°，∠ACB=45,AB=5m,∴AC=aA45=子=5(m).在Rt△ABD中，∠BAD= 90,∠D=30,AD=,AB=点=5B(m),CD=AD-AC=5V5-5≈5X1.732 tan30√5 -5=3.66(m).答：CD的长度约为3.66m. 能力提升 11.C12.A13.6-2 4 14.解：在Rt△ABC中，：BC=2,∠A=30°，∠ACB=90°， ∴AC=BC tan A 3 2=23,EF=AC=2尽.在R△ECF中，：∠E=45,∠FCE= 3 90.FC-EF.sin E=2/3x=:AF=AC-FC=2/-/6. 2 思维拓展 15.解：1111(1)过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90°.：在Rt△ABD 中，smA-0osA=品smA十osA=(0)+(0) =BD+AD.在 AB R△ABD中，由勾股定理，得BD+AD=AB,simA十cosA=1;(2):sinA=号， 3 simA+cosA=l,∠A为悦角casA=1-(号)=寺 3 三角函数的计算 基础过关 1.D2.C3.(1)0.45(2)0.52(3)0.64(4)-0.784.B5.B6.B7.70 8解：在R△ABC中，AB=120cm,∠BAC=90,∠B=3.7amB-6AC= AB·tanB≈120×0.67=80.4≈≈80(cm).答：AC的长约为80cm. 能力提升 ,2110解：过点A作AD1BC于点D,延长AD交地面于点E.”如月铝∠B =70°，.AD=AB·sin70°≈92×0.94=86.48(cm).易得DE=6cm,.AE=AD+ DE=86.48十6=92.48≈92.5(cm).答：把手A离地面的高度约为92.5cm. 思维拓展 11.解：过点E作EF⊥CD于点F,延长AB,DC交于点H,则∠EFD=90°.由题意，得 在R△EFD中，∠EDF=6O,BD=6m,sm∠EDF-第os∠EDF-品EF ED·sn60=6×9=35(m,FD=ED·cos60=6X2=3(m.由题意，得∠H= 90°，四边形AEFH是矩形，∴AH=EF=3√3m,HF=AE=1.5m.CF=CD-FD =3.5-3=0.5(m),∴.CH=HF-CF=1.5-0.5=1(m).在Rt△BCH中，∠H=90°， ∠BCH=180-∠D=180-135=45.:os∠BCH-g是an∠BCH-8盟， CH ·BC=CH S得-2E≈1.4m,BH=CHm行=1X1=1m.AB=AH BH=3√3-1≈4.2(m).答：BC的长度约为1.4m,AB的长度约为4.2m. 小专题一求锐角三角函数值的常用方法 1.B2.C3.24.A5.D6.B7.解：1)在R△ABC中，∠C=90,tanB= 5 含瓷=子，可设AC=3,BC=4,由勾股定理，易得AB=5x.:AB=5,5x=5,解 得x=1..AC=3,BC=4.:BD=1,.CD=BC-BD=4-1=3.在Rt△ACD中，由 勾股定理，得AD=√CD+AC=√3十3=3√2；(2)过点D作DE⊥AB于点E. 第2页（共42页） SAABD= AB,DE=2BD·AC,∴DE=BDAC=X3- AB 6 ,.sin∠BAD= DE5√2 AD3210' 8B9B10.号山A12A13专14.3 15.解：(1)在 R△DEA中，DE=2,simA=号，AD=DE-是=3，AB=DB+AD=9+3 sin A 2 12.在R△ABC中，AB=12,sinA=号BC=AB·sinA=12X号=8：(2)在 Rt△ABC中，AB=12,BC=8,由勾股定理，得AC=√/AB2-BC=√/122-82=4√5. 在Rt△DEA中，DE=2,AD=3,由勾股定理，得AE=√AD-DE=√/32-2=√5， .CE=AC-AE=4√5-√5=3W5.在Rt△DEC中，由勾股定理，得CD= V+DE=V3+交-ios∠CDE-8器-号.易得DE/BC,∠CDE =∠BCD,∴cOs∠BCD=coS∠CDE=名 4解直角三角形 基础过关 1.C2.45°45°203.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= √2-33，sinA=AB-25-∠A=30,∠B=90-∠A=90° -30°=60°.4.C5.D6.C7.解：如图.4 .在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B a B =60,∠A=90°-∠B=90°-60°=30.1anB=6,∴a= b=1.sin B tan B3 =b,c= b==2. c inB√5 能力提升 8.B9.C10.解：(1)AM⊥MN,DN⊥MN,∴.∠AMN=∠DNM=90°.AD∥ MN,..∠DAM=180°-∠AMV=180°-90°=90°，.四边形AMND是矩形，.AD= MN=ME十EF+FN=20.0十40.0十20.0=80.0(m),..“大碗”的口径AD的长为 80.0m;(2)延长CB交AM于点G.由题意，得BE=GM=2.4m,BG=ME=20.0m, BG⊥AM,∠EBG=90°，∴∠ABG=∠ABE-∠EBG=152°-90°=62°.在Rt△ABG 中，AG=BG·tan62°≈20.0×1.88=37.6(m),,.AM=AG+GM=37.6+2.4=40.0(m), .“大碗”的高度AM的长约为40.0m. 思维拓展 11.解：(1)2(2)如图② 取格点B,连接AB,BN,可得AB∥MC, ·∠CPN=∠BAN.易知△ABN为直角三角形，且∠ABN=90°.在Rt△ABN中，AB E,AN=VD.心eos∠CPN=ms∠BAN装-亮=号：（③）设BC的长度为单 位1，构造如图③所示的网格图， 取格点D,连接AD,DN,可得AD∥ CM,.∠CPN=∠DAN.易知△ADN为直角三角形，且∠ADN=90°.在Rt△ADN 中，AD=而.AN=26cs∠CPN=cos∠DAN=银-=S-号.÷∠CPN= 45°. 第3页（共42页）