1.2 30°，45°，60°角的三角函数值-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

230°，45°，60°角的三角函数值 ②基础过关逐点击破 知识点3特殊角的三角函数值的简单 知识点1特殊角的三角函数值 应用 8.如图，某研究性学习小组为测量学校A与 1.tan45°的值为 河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选 A.2 B.1 c号 n 一点C,测得∠A=60°，∠C=90°，AC= 2km.据此，可求得学校与工厂之间的距离 2,(教材卫，随童练习T度式sn45会的值 AB为 ( 为 A.2 km B.3 km A.1 B.√2 C.√3 D.2 C.2√3km D.4 km 3.比较大小：sin60° tan30°.（选填“>”或 “<”)》 4.计算： B (1)3tan30°+2cos60°； (第8题图) (第9题图) 9.北京和张家口很多学校都开展了冰雪项目 学习.如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直 滑下了200m,若他下降的高度为100m,则 斜坡的坡角度数为 10.情境题天桥如图，有一座天桥，高AB为 (2)cos245°+tan60°·sin60°. 5m,BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°， 市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡 的底端C延伸到D处，使∠D=30°，求CD 的长度.（结果精确到0.01m,参考数据： √2≈1.414，√3≈1.732) 030°459 知识点2 根据三角函数值求锐角 5.已知∠a为锐角，且sna=,则∠a的度数 为 ( A.30° B.45° C.609 D.90° 6.若cosa=0.5,则锐角a的度数为 7.在△ABC中，若 +(cos B- sin A )”=0,则∠C的度数是 5数学九年级下册配BSD版 可能力提升。整合运用 思维拓展。学科素养 11.如果一个三角形三个内角度数的比为 15.探究应用阅读下面的材料，先完成填空，再 1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值 按要求答题 为 sin30°= C 2,c0s30°=3 ，则sin230°+ A.号 D 2 c0s230°= 12.如图，将三角尺的直角顶 点放置在直线AB上的点 sin45°=2 2,cos45°=号，则sn245。上 .Aa O处，使斜边CD∥AB,则A c0s245°= ∠a的余弦值是 ( sin60°= Z,cos60°=7，则sin260°十 A.2 B受 c竖 D② 3 cos260°= 13.类比计算法定义一种运算： sin(a+B)=sin a cos B+cos a sin B, 观察上述等式，猜想：对任意锐角A,都有 sin(a-B)=sin a cos B-cos a sin B. sin2A+cos2A= 例如：当a=45°，3=30°时，sin(45°+30°)= (1)如图，在锐角三角形ABC ×臣+2×号=5+巨，则sin15°的值 中，利用三角函数的定义 21 2T2 、2 4 及勾股定理证明你的 为 猜想； 14.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同 (2)已知∠A为锐角(cosA>0),且sinA= 学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺 号求csA的值 的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相 等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将 一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起， 点B,C,E在同一条直线上，若BC=2,求 AF的长.请你运用所学的数学知识解决这 个问题. 第一章直角三角形的边角关系6参考答案 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时锐角的正切 基础过关 1.C【变式】C2.D3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= V窗g=16emnA-器-号-是mB-瓷-9=手4.c5A 6.A7.A 能力提升 8B9.A【变式B10.是1.厅2.解：过点A作AE1BC于点E,过点D作 本DF1BC于点R.由题意，得mC-8F=合，CD=10m,∠B=45,AD=6m,易证四 帐 边形AEFD是矩形，.AE=DF,EF=AD=6m.设DF=xm,则CF=2xm.在 Rt△CFD中，由勾股定理，得DF2十CF=CD,即x2+(2x)2=10,解得x=2√5（负值 舍去)，.DF=2√5m,CF=4√5m,AE=2√5m.∠AEB=90°，∠B=45°，∴.BE= AE=2√5m,∴.BC=BE+EF+CF=2√5+6+4W5=(6√5+6)m.即BC的长为(6√5 十6)m. 思维拓展 她 13.解：(1)√3 ②：在R△ABC巾，mA-=oA-瓷-专 第2课时锐角的正弦、余弦 基础过关 1.C2.C3A4. 3 5.B6.B7.B8.D9.解：在Rt△ABC中，：∠C=90°， 0 sA-6=号AC=6AB=10,曲勾股定理，得BC=VAB-4A0=V0-6 8..Cawc=AB+AC+BC=10+6+8=24.Sawc-AC.BC-X6X8-24, △ABC的周长为24，面积为24. 能力提升 10.D11.D 2指 13.214.解：(1)过点B作BC⊥OA于点C.BO=5, m∠BOA=各，“%=子，BC=3.在R△OBC中，由勾股定理，得0OC- 线 VB0=BC=V分-3=4，…点B的坐标为(4,3)：(2)25 5 思维拓展 15.解：1)在R△ABC中，∠C=90,sinA=BC=g,cosB=BC=;(2):在 AB c AB R△ABC巾，∠C=0amA=C=号：aB=瓷=名：(3)由I.得smA cosB,由(2)，得mA·anB=1:(4)①号 ②立 230°，45°，60°角的三角函数值 基础过关 1.B2.B3>4解：0)原式=3×号+2×号-厅+1：(2)原式 =+8-2. 5.A6.60°7.90°8.D9.30°10.解：在Rt△ABC中，∠BAC 第1页（共42页） =90°，∠ACB=45,AB=5m,∴AC=aA45=子=5(m).在Rt△ABD中，∠BAD= 90,∠D=30,AD=,AB=点=5B(m),CD=AD-AC=5V5-5≈5X1.732 tan30√5 -5=3.66(m).答：CD的长度约为3.66m. 能力提升 11.C12.A13.6-2 4 14.解：在Rt△ABC中，：BC=2,∠A=30°，∠ACB=90°， ∴AC=BC tan A 3 2=23,EF=AC=2尽.在R△ECF中，：∠E=45,∠FCE= 3 90.FC-EF.sin E=2/3x=:AF=AC-FC=2/-/6. 2 思维拓展 15.解：1111(1)过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90°.：在Rt△ABD 中，smA-0osA=品smA十osA=(0)+(0) =BD+AD.在 AB R△ABD中，由勾股定理，得BD+AD=AB,simA十cosA=1;(2):sinA=号， 3 simA+cosA=l,∠A为悦角casA=1-(号)=寺 3 三角函数的计算 基础过关 1.D2.C3.(1)0.45(2)0.52(3)0.64(4)-0.784.B5.B6.B7.70 8解：在R△ABC中，AB=120cm,∠BAC=90,∠B=3.7amB-6AC= AB·tanB≈120×0.67=80.4≈≈80(cm).答：AC的长约为80cm. 能力提升 ,2110解：过点A作AD1BC于点D,延长AD交地面于点E.”如月铝∠B =70°，.AD=AB·sin70°≈92×0.94=86.48(cm).易得DE=6cm,.AE=AD+ DE=86.48十6=92.48≈92.5(cm).答：把手A离地面的高度约为92.5cm. 思维拓展 11.解：过点E作EF⊥CD于点F,延长AB,DC交于点H,则∠EFD=90°.由题意，得 在R△EFD中，∠EDF=6O,BD=6m,sm∠EDF-第os∠EDF-品EF ED·sn60=6×9=35(m,FD=ED·cos60=6X2=3(m.由题意，得∠H= 90°，四边形AEFH是矩形，∴AH=EF=3√3m,HF=AE=1.5m.CF=CD-FD =3.5-3=0.5(m),∴.CH=HF-CF=1.5-0.5=1(m).在Rt△BCH中，∠H=90°， ∠BCH=180-∠D=180-135=45.:os∠BCH-g是an∠BCH-8盟， CH ·BC=CH S得-2E≈1.4m,BH=CHm行=1X1=1m.AB=AH BH=3√3-1≈4.2(m).答：BC的长度约为1.4m,AB的长度约为4.2m. 小专题一求锐角三角函数值的常用方法 1.B2.C3.24.A5.D6.B7.解：1)在R△ABC中，∠C=90,tanB= 5 含瓷=子，可设AC=3,BC=4,由勾股定理，易得AB=5x.:AB=5,5x=5,解 得x=1..AC=3,BC=4.:BD=1,.CD=BC-BD=4-1=3.在Rt△ACD中，由 勾股定理，得AD=√CD+AC=√3十3=3√2；(2)过点D作DE⊥AB于点E. 第2页（共42页） SAABD= AB,DE=2BD·AC,∴DE=BDAC=X3- AB 6 ,.sin∠BAD= DE5√2 AD3210' 8B9B10.号山A12A13专14.3 15.解：(1)在 R△DEA中，DE=2,simA=号，AD=DE-是=3，AB=DB+AD=9+3 sin A 2 12.在R△ABC中，AB=12,sinA=号BC=AB·sinA=12X号=8：(2)在 Rt△ABC中，AB=12,BC=8,由勾股定理，得AC=√/AB2-BC=√/122-82=4√5. 在Rt△DEA中，DE=2,AD=3,由勾股定理，得AE=√AD-DE=√/32-2=√5， .CE=AC-AE=4√5-√5=3W5.在Rt△DEC中，由勾股定理，得CD= V+DE=V3+交-ios∠CDE-8器-号.易得DE/BC,∠CDE =∠BCD,∴cOs∠BCD=coS∠CDE=名 4解直角三角形 基础过关 1.C2.45°45°203.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= √2-33，sinA=AB-25-∠A=30,∠B=90-∠A=90° -30°=60°.4.C5.D6.C7.解：如图.4 .在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B a B =60,∠A=90°-∠B=90°-60°=30.1anB=6,∴a= b=1.sin B tan B3 =b,c= b==2. c inB√5 能力提升 8.B9.C10.解：(1)AM⊥MN,DN⊥MN,∴.∠AMN=∠DNM=90°.AD∥ MN,..∠DAM=180°-∠AMV=180°-90°=90°，.四边形AMND是矩形，.AD= MN=ME十EF+FN=20.0十40.0十20.0=80.0(m),..“大碗”的口径AD的长为 80.0m;(2)延长CB交AM于点G.由题意，得BE=GM=2.4m,BG=ME=20.0m, BG⊥AM,∠EBG=90°，∴∠ABG=∠ABE-∠EBG=152°-90°=62°.在Rt△ABG 中，AG=BG·tan62°≈20.0×1.88=37.6(m),,.AM=AG+GM=37.6+2.4=40.0(m), .“大碗”的高度AM的长约为40.0m. 思维拓展 11.解：(1)2(2)如图② 取格点B,连接AB,BN,可得AB∥MC, ·∠CPN=∠BAN.易知△ABN为直角三角形，且∠ABN=90°.在Rt△ABN中，AB E,AN=VD.心eos∠CPN=ms∠BAN装-亮=号：（③）设BC的长度为单 位1，构造如图③所示的网格图， 取格点D,连接AD,DN,可得AD∥ CM,.∠CPN=∠DAN.易知△ADN为直角三角形，且∠ADN=90°.在Rt△ADN 中，AD=而.AN=26cs∠CPN=cos∠DAN=银-=S-号.÷∠CPN= 45°. 第3页（共42页）