第2章 二次函数综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）江西专版

第二章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 的 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列函数中，是二次函数的是 爵 A.y=x3+2x-1 B.y=4x-7 系 C.y=x2+4 D.y=(x+1)2-x2 2.关于二次函数y=(x一2)2十5，下列说法正确的是 A.函数图象的开口向下 B.函数图象的顶点坐标是（一2,5） C.该函数有最大值，最大值是5 D.当x>2时，y随x的增大而增大 3.已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2十mx=5的根是 ( A.0,4 B.1,5 C.1,-5 D.-1,5 4.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y() 与水平距离x(m)之间的关系式为y=一 十+号，由此可知小字此改实心球训练的成 绩为 B.8 m C.10m D.2 m 5.抛物线y=一x2十bx十c的部分图象如图所示，若y>0,则x的取值范围是 封 A.-4<x<1 B.-3<x<1 C.x<-4或x>1 D.x<-3或x>1 1O1 O BX (第5题图) (第6题图) (第10题图) 6.如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=一x2十c(c>0)上，点D在y轴上.若A,C两点的 线 横坐标分别为m,n(m>n>0),则下列结论中，正确的是 ( A.-n=1 B.m+n=1 C.m=1 D.m=1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.在二次函数y=(x一1)2十1中，当x>1时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”) 8.将抛物线y=5x向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数表 达式是 9.已知二次函数y=一2(x+1)2+3,当-2<x<3时，函数值y的取值范围为 10.如图，二次函数y=一x2+2x+3的图象与x轴交于点A和点B,顶点为C,则sin∠ABC的值 为 第1页（共6页） 11.如图，一段抛物线：y=一x(x一2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A,旋转 180°得C2,交x轴于另一点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于另一点A3…如此进行 下去，则C225的顶点坐标是 C (第11题图)》 (第12题图) 12.如图，抛物线y=一x2+2x十3与y轴交于点C,点D的坐标为(0,1)，P是抛物线上一点，且 △PCD是以CD为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.已知抛物线y=x2一4x十c经过点(0,9). (1)求c的值； (2)若点A(3,y1),B(4,y2)在该抛物线上，试比较y1,y2的大小. 14.已知抛物线y=x2一2x十m与x轴有两个交点，求m的取值范围. 15.已知关于x的二次函数的图象顶点坐标为（一1,2），且图象过点A(1,一3). (1)求这个二次函数的表达式； (2)直接写出点A关于对称轴对称的点A'的坐标. 16.已知关于x的二次函数y=ax2十bx十c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,请仅 用无刻度直尺按要求作图. (1)在图①中，在抛物线y=ax2十bx十c上找一点D,使点D与点C关于抛物线的对称轴对称： 第2页（共6页） (2)在图②中，点D为抛物线上的另一点，且CD∥AB,请画出抛物线的顶点P. 图① 图② 17.某文创店销售特色书签，每盒成本为30元.经市场调研，当售价为40元/盒时，每月可销售200盒；每 盒的售价每上涨1元，月销售量就减少5盒.设每盒书签的售价为x元(x>40),月利润为y元. (1)求y与x的函数关系式 (2)当售价为多少元/盒时，月利润最大？最大月利润是多少？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面 0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m.建立如图所示的平 面直角坐标系，并设抛物线的函数表达式为y=a(x一h)2十k,其中x(m)是水柱距喷水头的水 平距离，y(m)是水柱距地面的高度. (1)求抛物线的函数表达式； (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m.身高1.6的小红在水柱下方走动，当 她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离。 y/m 3.2 x/m 第3页（共6页） 19.如图，已知二次函数y=x2一ax图象的对称轴为直线x=2,过点A(5,b). (1)直接写出a,b的值； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求点B 的坐标. 20.如图①，某款帐篷搭建时张开的宽度AB=4m,顶部高度h=2,在图①中以AB所在直线为 x轴，AB的中点为原点，建立平面直角坐标系. (1)求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式， (2)每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图②为一张椅子摆入这款 帐篷后的简易视图，椅子高度CE=0.72m,宽度CD=0.5m.若在帐篷内沿AB所在的水 平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量. A B ACD 图① 图② 第4页（共6页） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P,Q分别从A,B同时出发，点P在边 AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速 度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为x(s),△PBQ的面积为 y(cm2). (1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)求△PBQ面积的最大值. C AP 22.我们约定：若关于x的二次函数y1=a1x2十b1x十c1与y2=a2x2十b2x十c2同时满足√a2一c1十 (b2十b)2+1c2一a1=0,(b1一b2)225≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数.根据该 约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数y=2x2十kx十3与y2=.x2+x十n互为“美美与共”函数，求k,m,n的值. (2)对于任意非零实数r,s,点P(r,t)与点Q(s,t)(t≠s)始终在关于x的函数y1=x2+2rx十s 的图象上运动，函数y2与y互为“美美与共”函数. ①求函数y2的图象的对称轴， ②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；若不 经过，请说明理由. 第5页（共6页） 六、解答题（本大题共12分） 23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2一4x,设直线y=k与y轴相交于点M,与抛物 线y=x2一4x相交于点A,B(A在B的左侧)，取AM的中点P,BM的中点Q. (1)当k=5时，求P,Q两点的坐标. (2)当k>0时，求证：PQ>2. (3)对于k≥一4范围内的所有k值，所对应的所有P,Q两点是否均在某一抛物线上？如果 是，求此抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由 9x2-4x RY= 第6页（共6页）311.4(cm).又.MN=BM-BN=BM-AD=180-20=160(cm),..MC=NC-MN≈311.4-160≈ 151(cm).(2)①20° 答图① 答图② ②如答图②，当MC=340cm时，点E到地面BC的距离最大.此时由①知∠C≈20°.过点E作AF的垂线，交 AF的延长线于点R.易得∠FER=20°.在Rt△EFR中，：cos∠FER= FE,∴.ER=cos∠FER·EF=cos20° ×100≈0.94×100=94(cm).∴.点E到地面BC的距离为ER+FV=94+180=274(cm). 第二章综合评价 1.C2.D3.D4.B5.B6.A【解析】如图，分别过点A,C作y轴的垂线，垂足分别为点M,V.A(m, -m2+c),C(n,-n2+c),∴.AM=m,MO=-m2+c,CN=n,NO=-n2+c.易得△CDN≌△DAM(AAS), ..DM=CN=n,DN=AM=m,..MN=DM+DN=m+n..MN=NO-MO=m2-n2,..m2-n2=m+n.. （m+mm-)=m+.“m>>0,m-n=1.7.增大8.y=5(x+1)2-29.-29<y≤310.2y5 11.(4049,1)12.(2,3)或(1+5,1)或(1-√3,1)【点拨】点P为直线y=3与抛物线y=-x2+2x+3的交 点，或点P为直线y=1与抛物线y=一x2+2x+3的交点.13.解：(1)当x=0时，y=c=9,∴.c的值为9. (2)由(1)可知抛物线的函数表达式为y=x2一4x十9.当x=3时，y1=32-4×3十9=6；当x=4时，y2=42一4× 4十9=9.6<9，y1<y2.14.解：令y=0,则x2-2x十m=0.,抛物线与x轴有两个交点，∴.△=（-2)2一 4m>0,解得m<1.15.解：(1)由题意，设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2,把A(1,-3)代入，得-3=(1 十1)a十2，解得a=一是二次函数的表达式为y=一x+1十2(2)点A1,一3)关于对称轴对称的点N 的坐标为（一3，一3）.16.解：(1)如图①，点D即为所求.(2)如图②，点P即为所求 图① 图② 17.解：(1)当每盒书签的售价为x元(x>40)时，销售量为200一5(x一40)=-5.x十400.由题意，得y=(x一30) (-5.x+400)=-5.x2+550x-12000.(2)由(1)整理，得y=-5(x-55)2+3125..-5<0,.当x=55时，y有 最大值3125.答：当售价定为55元/盒时，月利润最大.最大月利润是3125元.18.解：(1)由题意知，抛物线的 顶点为(5,3.2)，且过点P(0,0.7).则抛物线的函数表达式为y=a(x一5)2+3.2，将P(0,0.7)代人，得0.7=25 十32，解得a=0y=一红一5十32=一十x十品“抛物线的函数表达式为y=一十x十 品2)当)=1.6时。六2十品=1,6，解得=1或=9.地与爸爸的水半距离为3-1=2m)或9-3= 6(m).答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m.19.解：(1)a=4,b=5.(2),点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴.设B(2,m)(m>0).设直线OA的函数表达式为y=kx.把 A(5,5)代入，得5k=5,解得=1.∴.直线OA的函数表达式为y=x.设直线OA与抛物线的对称轴交于点H,则 H(2,2.BH=m-21.:Ssms=15,Sae=SAm+5am=2BH·G-0∴7Xm-2X5=15,解 第26页（共42页） 得m=8,或m=一4（不符合题意，舍去）.∴点B的坐标为(2,8).20.解：(1)由题意可得：A(-2,0),B(2,0), 顶点坐标为(0,2).设抛物线的函数表达式为y=a2+2.将A(一2,0)代人，得0=4u十2，解得a=一7y 一合2+2.(2：椅子的高度CE=0.72m,宽度CD=0.5m,将y=0.72代入y=-合+2，得0.72= -号2+2.解得=1.6=-1.6.则1.6-(-1.6)=8.2(m3.2÷0.5=6..最多可摆放6把椅子. 21.解：(1)点P运动到终点B需要18÷2=9(s),点Q运动到终点C需要4÷1=4(s),∴.当点Q运动到终点C 1 时，点P和点Q均停止运动，即0<≤4.由题意，得PB=AB-AP=(18-2.x)cm,BQ=xcm,S△pmo=2PB 一1<0，.当0<x≤4时，y随x的增大而增大..当x=4时，y取得最大值，此时y=一42十9×4=20.故 △PBQ面积的最大值为20cm2.22.解：(1)由题意可得a2=c1,b2=一b1,c2=a1,且a1,b1,c1均不为0，∴.函数 y1=a1x2+b1x十G1的“美美与共”函数为y2=G1x2-b1x十a1.,二次函数y1=2x2十k.x十3与y2=m.x2十x十n 互为“美美与共”函数，k=-1,m=3,m=2.(2)①由题意可得空=一号3r十=0（≠0，≠0.“函数y 2 =x2十2rx十s与y2互为“美美与共”函数，.y2=sx2一2rx十1=-3rx2一2r.x十1..函数y2的图象的对称轴为 直线=2X=-二=号②经过.“=-3x一2十1=-7十2十1当=0时-1： -2r 当=一号时=1.放函数为的图象经过的两个定点的坠标为0,1)和（一子，1）23.解：1)当k=5时，易 得M(0,5).根据题意，有x2-4x=5,解得x1=5,x2=一1.∴.A,B两点的坐标分别为(-1,5)，(5,5).AM的 中点为P,BM的中点为QP,Q两点的坐标分别为(-25）小（号，5）.(2)当k=0时，易得A(0,0),B(4,0), ∴AB=4.·当k>0时，AB>4.:点P,Q分别为AM,BM的中点，PM=号AM,QM=号BM,PQ=PM+ MQ-号M叶BM=.当>0时，PQ>2.(3:≥一4由直线y=6与抛物线y--4红相交，得x 一4x一k=0.解得x=士√十4十2.此时直线y=k与抛物线y=x2一4x的交点坐标为A(一√十4十2，k), B(V4+2,k.:AM的中点为P,BM的中点为Q,:P,Q两点的坐标分别为（二+2，）， 2 /++2,k小.令 x=二VE+4+2 2 消去可得y=4-8,当2=+时g=4X(十)-8 2 y=k, X士耳+2=k,点Q也在抛物线y=4x2一8x上.“对于k≥一4范围内的所有值，所对应的所有P,Q两 2 点均在抛物线y=4.x2一8x上. 期中综合评价 1.C2.C3.D4.A5.B6.B【解析】给定两点M(x,y)和N(x2,y)使得x1<x2且y1<y2,点N必须 比点M更靠近顶点或在顶点的右侧，条件十>2意味若和的中点大于1，即5>1.为了使< y2在x1十x2>2的情况下成立，抛物线的顶点必须位于直线x=1的左侧或在该直线上.这是因为如果顶点位于 x=1的右侧，那么可以找到点x1和x2使得x1十x2>2但y1>y2.因此，顶点的横坐标h必须满足h≤1.7.8 第27页（共42页）