1.1 第2课时正弦与余弦-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）江西专版

第2课时 基础过关 >>、逐点击破 知识点1正弦和余弦 要点归纳 在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦，记作sinA;锐角A的邻边与斜边的比 叫做∠A的余弦，记作cosA;锐角A的正弦、余弦和 正切都是∠A的三角函数. 1.(2025·云南中考)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.若AB=13,BC=5,则sinA的值 为 B C.3 D.3 5 (第1题图)（第2题图）》 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB= 5,则cosA的值为 A B c 3.在Rt△ABC中，若∠C=90°，sinA= 2 BC=6,则AB的长为 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB= 2.CD=8,ACLCD..且cos∠BAC-3 (1)求AC的长： (2)求cosD的值. 3第一章直角三角形的边角关系 正弦与余弦 知识点2正弦、余弦与梯子的倾斜程度的关系 要点归纳 梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA 的值越大，梯子越陡；c0sA的值越小，梯子越陡 5.消防救火情境化在一次消 防救援中，救火车的云梯 斜靠在着火建筑的竖直墙 面上，云梯与水平面的夹角为α. (1)为快速到达着火楼层，需调陡云梯，即α 增大，此时它的正弦值 ;(填“增 大”或“减小”) (2)若现场空间有限，云梯底端到墙面的距 离无法改变，要让云梯顶端够到更高的 位置需将顶端升高，此时α的余弦值会 （填“增大”或“减小”)，云梯坡 度更 ·(填“陡”或“缓”) 知识点3锐角三角函数 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,AB=6, 则下列结论正确的是 A.sin A=3 1 B.cos B=2/2 3 C.tanA=2 Dan及-号 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 D,AC=8,BC=6,求sinA与cos∠BCD的值. ?易错点因斜边不确定漏解而致错 8.在Rt△ABC中，若2AB=AC,则cosC= 能力提升 ●◆·整合运用 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 AB的中点，CD=2,AC=3,则sinB的值是 A. B c是 2 (第9题图) (第10题图) 10.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (12,5),那么cosa的值是 A》 R号C8 n号 11.如图，某梯子长10m,斜靠在竖直的墙面 上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子 顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平 地面的点B处.现将梯子底端向墙面靠近， 使梯子与地面所成角为B.已知sina= COS B=- 名，则梯子顶端上升了m (第11题图) (第12题图) 12.(2025·赣州章贡区期中)我国数学家赵爽在 为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全 等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个 大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了 中国古代数学的成就.如图，大正方形 ABCD的面积是100，小正方形EFGH的 面积是4，则cos∠ADF的值为 13.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A 的坐标为(10,0)，点B在第一象限内， B0=5,sin∠BOA=3 1 (1)求点B的坐标； (2)cos/BAO= 【思维拓展 ♪>强化素养 14.利用无刻度的直尺画图：在下面的三个图中， 以OA为边，在正方形网格内作∠AOB=α， 点B为格点（每个小正方形的顶点），使 s加。的值分别为空和 10 图① 图② 图③ 数学九年级下册配BSD版4参考答案 正文答案 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时正切与坡度 基础过关 1.C2.23. 12 5 12 4.解：(1)，AB=AC,AD是BC的中线，BC=9,∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,CD= BD=号BC=45.tanC AD_AD_20 CD4.59 .AD=10.(2)∠BAD=∠CAD,∴tan∠BAD=tan∠CAD= CD_4.5_9 弥 AD1020 5.解：甲斜坡中，tanA= BC -1002-602 AB 60 告乙斜按中，amD=器-器=多amA< tanD,.乙斜坡更陡峭.6.A7.l5√58.B 能力提升 9.B10.D11. 8 12.513.解：过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F.由题意，得tanC= CF=2,CD=10m,∠B=45,AD=6m.易证四边形AEFD是矩形，∴.AE=DF,EF=AD=6m.设DF= 她 xm,则CF=2xm.在Rt△CFD中，由勾股定理，得DF2+CF=CD,即x2+(2x)2=102,解得x=2√5（负值已 舍去)..DF=2V5m,CF=4V5m,AE=2√5m.:∠AEB=90°，∠B=45°，∴.BE=AE=2√5m,.BC=BE+ EF+CF=2√5+6+4√5=6√5+6(m).即BC的长是(6√5+6)m. 思维拓展 14.解：1)：∠C=90a=30∴AB=2BC.∴AC=VAB-B=5pC.cot30=瓷=反.(2)ama- BC 4心cota= AC4 BC 3 第2课时正弦与余弦 ! 基础过关 哈 线 1D2.B3124解，I:∠B=90,AB=2,s∠BnC-寸AC=onc=6.(2:AcLCD. ∠ACD=90,:aC-6,CD=8AD=AC0D=10.msD-品是=号5.1)w大(2波小 陡6.B7.解：：∠ACB=90°，.∠BCD+∠ACD=90.,CD⊥AB,.∠ADC=90°..∠A+∠ACD=90. ∠CD∠A.在R△ABC中，由勾股定理，得AB=VC+BC-10,nA-%=言.o∠BCD 能力提升 9.C 10.D11.212.513.解：(1)过点B作BC⊥OA于点C.B0=5,sim∠BOA= 4 3 =3.在Rt△OBC中，由勾股定理，得0C=VOB-BC=后-3=4∴B(4,3).(2)25 5 第1页（共42页） 思维拓展 14.解：如图所示.（图①答案不唯一） 图① 图② 图③ 230°，45°，60°角的三角函数值 基础过关 1B2A354解：1源式=8×号+2x号-5+1.②原武=（号）+5×=号+名=25N 6.B7.90°8.45°9.A10.解：.在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=4m,.AD=BD·tan∠ABD= 在Rt△ACD中，∠C=45,AC=nC=三46m.答：调整后的楼梯AC的 能力提升 11.C12.713.8014.解：∠BAC=15,∠ACB=45,∠AB0=∠BAC+∠ACB=60.:AO⊥D0, ∠BA0=90°-∠AB0=30.:OA=100V5m,OB=OA·tan∠BA0=1005×5-100(m).∠0AD= ∠OAB+∠BAC+∠CAD=60°.∴.OD=OA·tan∠OAD=1003×√5=300(m).∴.BD=OD-OB=200m. 思维拓展 15.解：1111(I)过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90.:在R△ABD中，sinA=BD,9 AB'cos A= 铝A十A=(需)-（裙）=DAD,:在R△ABD中，由勾股定理，得D+AD=A好， sinA十eosA=1.(2):sinA=号sinA+cosA=1,∠A为镜角，c0sA=√1-（号）-号 3三角函数的计算 基础过关 1.A2.C3.解：(1)原式≈0.45.(2)原式≈0.52.(3)原式≈0.64.(4)原式≈-0.78.4.A5.B6.解：(1)a =42°15'37".(2)a=30°36'17".(3)a=89°25'37".7.808.23°35 能力提升 9.C10.8.1611.0.34m12.解：由题意，得BD=120m,AB=50m,CD=75m.易得AE=BD=120m, DE=AB=50m,CE=CD-DE=25m.:在R△ADE中，ame=R5=积=是e≈2.6.“在 R△ACE中，m一能-乱-员11.8筒角的为22，们角P约为1. 思维拓展 13.解：(1)过点A作AF⊥BC于点F..在Rt△ABF中，AB=5m,∠BAF=16°，∴.AF=AB·cos16°≈5X 0.96=4.8(m).答：点A到墙面BC的距离约为4.8m.(2)过点A作AG⊥CE于点G.由题意，得AG=CF,CG =AF=4.8m..CD=1.8m,∴.DG=CG-CD=3m..在Rt△ADG中，∠ADG=45°，∴.AG=DG·tan45°= 3m.∴.CF=AG=3m.'在Rt△ABF中，AB=5m,∠BAF=16°，∴.BF=AB·sin16°≈5×0.28=1.4(m). ∴.BC=BF+CF=4.4m.答：遮阳篷靠墙端离地高BC的长约为4.4m. 第2页（共42页）