精品解析：湖南娄底市冷水江市2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025年下学期八年级期末考试试题卷 数学 （全卷满分：120分 考试时量：120分钟） 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号． 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 4．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义． ∴被开方数满足． 解得． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质．根据加减法中的合并同类项和二次根式的乘除法化简即可． 【详解】解：A、与不能合并，所以该选项不符合题意； B、，所以该选项符合题意； C、，所以该选项不符合题意； D、，所以该选项不符合题意． 故选：B． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C．，右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D．，右边是整式的积，是因式分解，符合题意； 故选：D． 5. 下列命题是假命题的是（　） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的四边形是菱形 D. 对角线垂直的平行四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形的判定定理即可作出判断． 【详解】解：A、四个角相等的四边形，则每个角均为，是矩形，故为真命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故为真命题，不符合题意； C、对角线垂直平分的四边形是菱形，故原命题为假命题，符合题意； D、对角线垂直的平四边形是菱形，故为真命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形、菱形的判定定理，正确理解定理是关键． 6. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，据此可得解． 【详解】解：由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线， ∴BD=CD=AC-AD=6-2=4， 故选：C 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质添加辅助线是解题的关键． 7. 根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质等知识，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键． 根据相关知识分别进行判断即可． 【详解】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意； 故选：D． 8. 小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握提取公因式和平方差公式是解题关键． 通过提取公因式和平方差公式进行因式分解，找出三个连续因子即可． 【详解】解：∵ ∴ 能被2024、2025、2026整除， 故选：B． 9. 如图， 在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据旋转的性质得到，，再根据等腰三角形的性质得到，然后根据邻补角的定义计算出的度数． 【详解】解：绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上， ，， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 【答案】D 【解析】 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，满分18分） 11. ________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方和同底数幂乘法逆用，熟练掌握积的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则，是解题的关键．逆用同底数幂乘法运算法则，将原式变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 12. 分解因式：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 14. 在中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故答案为：． 15. 数学的美无处不在，数学家们研究发现：其他条件一致的情况下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数15，x，3，则x的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用． 根据调和数的定义，对于三个数15，x，3，其倒数应满足关系式，通过解此方程可求出x的值． 【详解】解：由调和数的定义，得， 移项，得， 即， 所以， 解得． 经检验，是方程的解． 故答案为：5． 16. 下图是一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上的示意图，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为．若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为．问：当钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为________． 【答案】38 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握钟面角特点，是解题的关键．根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为得出，根据钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为，得出，从而得出，根据直角三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为， ∴， ∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为， ∴， ∴， 则钟面显示3点50分时，， ∵， ∴， ∴， 即此时A点距桌面的高度为． 故答案为：38． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式、计算零指数幂、负整数指数幂及绝对值，再合并同类二次根式及有理数的加减，即可得答案； （2）先利用完全平方公式展开，计算二次根式的乘法、再合并同类二次根式即可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键． （1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 20. 如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据三角形中线求三角形的面积．根据，得出，从而求出，根据三角形中线求出，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：阴影部分的面积为． 21. 已知：如图，，，，，是垂足，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：，， 在和中， ，， ， ； （2） 由（1）中， 可得， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题； （1）由可得，进而得出对应线段、对应角相等，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，根据内错角相等两直线平行，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 小强为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，小强计算出了楼高，楼高是多少米？ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可证明，进而根据进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， ，， ， ∴楼高是． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，根据题意得出是解题关键． 23. 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是________； （2）化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） （3）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】（1） （2） （3）2026 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式； （2）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案； （3）将括号内每个分数进行化简，再相加继而得到，再利用平方差公式即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式， ∵， ∴的有理化因式是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， ， ， ． 24. 经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，， 则 ； （填“”，“”或“”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 【答案】（1）①；； ②所填的条件是：． 证明：在中，． ，． 又，． 又，， ． ，． 又，． （2）． 【解析】 【详解】（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|； ②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°． （2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期八年级期末考试试题卷 数学 （全卷满分：120分 考试时量：120分钟） 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号． 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 4．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是假命题的是（　） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的四边形是菱形 D. 对角线垂直的平行四边形是菱形 6. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 如图， 在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，满分18分） 11. ________． 12. 分解因式：________ 13. 已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为_______． 14. 在中，，，则________． 15. 数学的美无处不在，数学家们研究发现：其他条件一致的情况下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数15，x，3，则x的值是________． 16. 下图是一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上的示意图，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为．若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为．问：当钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 21. 已知：如图，，，，，是垂足，．求证： （1）； （2）． 22. 小强为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，小强计算出了楼高，楼高是多少米？ 23. 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是________； （2）化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） （3）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 24. 经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，， 则 ； （填“”，“”或“”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $