专题04：三角形的内角和（计算专项训练）数学北师大版四年级下册

专题04：三角形的内角和 计算专项训练 一、三角形内角和的核心结论 任意一个三角形的内角和都是180°（三角形内角和定理）。这里的“内角”指的是三角形内部的三个角，无论三角形的形状、大小如何（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），其三个内角的度数相加，结果始终等于180°。 二、核心计算法则 1.已知三角形的两个内角，求第三个内角：用180°减去已知的两个内角的度数和，计算公式为：第三个内角 = 180° - 内角1 - 内角2（或 180° - （内角1 + 内角2））。 2.已知三角形一个内角及另外两个内角的关系（如相等、倍数关系），求未知内角：先根据关系表示出另外两个内角的度数，再结合内角和180°列算式计算。 3.判断给定度数的三个角能否组成三角形：将三个角的度数相加，若和等于180°，则能组成三角形；若和不等于180°，则不能组成三角形。 4.直角三角形、等腰三角形、等边三角形的特殊计算： 直角三角形：有一个内角是90°，另外两个锐角的和是90°，可直接用90°减去已知锐角，求出另一个锐角。 等腰三角形：两个底角相等，若已知顶角，底角 = （180° - 顶角）÷ 2；若已知一个底角，顶角 = 180° - 底角×2。 等边三角形：三个内角都相等，每个内角的度数都是180°÷3 = 60°。 题型1：已知两个内角，求第三个内角 典型例题：计算下列三角形中未知角的度数（标注三角形类型）： 1.一个三角形的两个内角分别是45°和65°，求第三个内角的度数。 2.一个直角三角形的一个锐角是28°，求另一个锐角的度数。 3.一个钝角三角形的两个内角分别是30°和25°，求钝角的度数。 解题思路：直接利用“三角形内角和180°”，用180°减去已知两个内角的和，即可求出第三个内角；同时根据三个内角的度数判断三角形类型（锐角：三个角都小于90°；直角：有一个角等于90°；钝角：有一个角大于90°）。 解题过程 1. 算式：180° - 45° - 65° = 70°（或 180° - （45° + 65°）= 180° - 110° = 70°）； 判断类型：三个角（45°、65°、70°）都小于90°，是锐角三角形； 最终结果：未知角是70°，该三角形是锐角三角形。 2. 分析：直角三角形有一个角是90°，另外两个锐角和是90°，可简化计算； 算式：90° - 28° = 62°（或 180° - 90° - 28° = 62°）； 判断类型：有一个角是90°，是直角三角形； 最终结果：未知角是62°，该三角形是直角三角形。 3. 算式：180° - 30° - 25° = 125°（或 180° - （30° + 25°）= 125°）； 判断类型：有一个角（125°）大于90°，是钝角三角形； 最终结果：未知角（钝角）是125°，该三角形是钝角三角形。 跟踪训练：计算下列三角形中未知角的度数，并标注三角形类型 1.两个内角分别是50°和70°，求第三个内角。 2.直角三角形，一个锐角是42°，求另一个锐角。 3.钝角三角形，两个内角分别是20°和45°，求钝角。 4.两个内角分别是80°和30°，求第三个内角。 5.直角三角形，一个锐角是55°，求另一个锐角。 题型2：等腰、等边三角形的内角计算 典型例题：计算下列等腰三角形、等边三角形中未知角的度数 1.一个等腰三角形，顶角是100°，求两个底角的度数。 2.一个等腰三角形，一个底角是35°，求顶角的度数。 3.一个等边三角形，求它的每个内角的度数。 4.一个等腰直角三角形，求两个锐角的度数。 解题思路：利用等腰三角形“两底角相等”、等边三角形“三内角相等”的特殊性质，结合三角形内角和180°计算；等腰直角三角形既有等腰三角形的特点，又有直角三角形的特点（一个角是90°）。 解题过程 1. 分析：等腰三角形两底角相等，顶角 + 2个底角 = 180°，因此底角 = （180° - 顶角）÷ 2； 算式：（180° - 100°）÷ 2 = 80° ÷ 2 = 40°； 最终结果：两个底角都是40°。 2. 分析：等腰三角形两底角相等，顶角 = 180° - 2个底角； 算式：180° - 35°×2 = 180° - 70° = 110°； 最终结果：顶角是110°。 3. 分析：等边三角形三内角相等，每个内角 = 180°÷3； 算式：180°÷3 = 60°； 最终结果：每个内角都是60°。 4. 分析：等腰直角三角形，一个角是90°（直角），两个锐角相等，且和为90°； 算式：（180° - 90°）÷ 2 = 45°； 最终结果：两个锐角都是45°。 跟踪训练：计算下列等腰三角形、等边三角形中未知角的度数 1.等腰三角形，顶角是80°，求底角的度数。 2.等腰三角形，一个底角是50°，求顶角的度数。 3.等腰三角形，顶角是90°，求两个底角的度数。 4.等边三角形，其中一个内角是多少度？（验证内角和） 5.等腰三角形，一个底角是65°，求顶角的度数。 题型3：已知一个内角及角的倍数关系，求未知角 典型例题：计算下列三角形中未知角的度数 1.一个三角形，一个内角是30°，另一个内角是这个角的2倍，求第三个内角的度数。 2.一个直角三角形，一个锐角是另一个锐角的2倍，求这两个锐角的度数。 3.一个等腰三角形，顶角是底角的4倍，求这个三角形的三个内角的度数。 解题思路：先根据“倍数关系”求出已知角的对应角的度数（如“另一个角是这个角的2倍”，则另一个角 = 已知角×2），再结合三角形内角和180°（或直角三角形锐角和90°），求出第三个角；等腰三角形需结合“两底角相等”的性质。 解题过程 1. 第一步：求第二个内角的度数：30°×2 = 60°； 第二步：求第三个内角的度数：180° - 30° - 60° = 90°； 最终结果：第三个内角是90°（该三角形是直角三角形）。 2. 分析：直角三角形两个锐角和是90°，设较小的锐角为x，则较大的锐角为2x，x + 2x = 90°； 算式：较小锐角 = 90°÷（1 + 2）= 30°，较大锐角 = 30°×2 = 60°； 最终结果：两个锐角分别是 60°。 3. 分析：等腰三角形两底角相等，设底角为x，则顶角为4x，4x + x + x = 180°； 算式：底角x = 180°÷（4 + 1 + 1）= 30°，顶角 = 30°×4 = 120°； 最终结果：三个内角分别是120°、30、30°（该三角形是钝角等腰三角形）。 跟踪训练:计算下列三角形中未知角的度数 1.一个三角形，一个内角是25°，另一个内角是这个角的3倍，求第三个内角。 2.一个直角三角形，一个锐角是另一个锐角的3倍，求这两个锐角的度数。 3.一个等腰三角形，底角是顶角的2倍，求这个三角形的三个内角的度数。 4.一个三角形，三个内角的度数比是1:2:3，求这三个内角的度数（提示：按比例分配）。 题型4：判断能否组成三角形（角度验证） 典型例题:判断下列各组度数的角，能否组成一个三角形，说明理由 1.45°、65°、70° 2.30°、40°、120° 3.90°、45°、45° 4.25°、35°、125° 解题思路:根据三角形内角和定理，将每组三个角的度数相加，若总和等于180°，则能组成三角形；若总和不等于180°，则不能组成三角形；同时可结合三角形角的特点（如钝角最多1个）辅助判断。 解题过程 1. 计算总和：45° + 65° + 70° = 180°； 判断：总和等于180°，因此能}组成三角形。 2. 计算总和：30° + 40° + 120° = 190°； 判断：总和190°≠180°，因此不能组成三角形。 3. 计算总和：90° + 45° + 45° = 180°； 判断：总和等于180°，因此能组成三角形（是等腰直角三角形）。 4. 计算总和：25° + 35° + 125° = 185°； 判断：总和185°≠180°，因此不能组成三角形。 跟踪训练:判断下列各组度数的角，能否组成一个三角形，说明理由： 1.50°、50°、80° 2.20°、30°、130° 3.60°、60°、60° 4.40°、70°、80° 5.10°、20°、150° 练习巩固 1．如下图，∠1＝80°，∠2＝60°，∠3＝( )。 2．一个等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是( )。 3．一个等腰三角形的一个底角是45°，这个三角形是( )三角形。 4．一个三角形的内角和是( )°，从其一个顶点向对边画一条线段，把它分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 5．如图，已知∠1＝60°，∠2＝20°，求∠C是多少度？ 6．求下面未知角的度数。 7．求下面未知角的度数。 8．算出下面各角的度数。 9．算出下面各个未知角的度数。 10．分别求出未知角的度数。 11．计算出下面未知角的度数。 12．如图，求的度数。 13．算出下面三角形中未知角的度数。 ，，求。 14．算出下面三角形中未知角的度数。 ，，求。 15．下面图形各是什么三角形？（先计算，再判断） （1）    （2） 16．爸爸做了一个等腰三角形钢架，底角是62°，这个三角形钢架的顶角是多少度？ 17．在一个等腰三角形中，其中一个底角是顶角的4倍，这个三角形的底角和顶角分别是多少度？ 18．红领巾是少先队员的标志，我们佩戴的红领巾形状为等腰三角形。红领巾中最大的角是120°，另外两个角的度数分别是多少？ 题型1：已知两个内角，求第三个内角 1.180° - 50° - 70° = 60°，锐角三角形； 2.90° - 42° = 48°，直角三角形； 3.180° - 20° - 45° = 115°，钝角三角形； 4.180° - 80° - 30° = 70°，锐角三角形； 5.90° - 55° = 35°，直角三角形。 解析：核心是利用“180° - 两个已知角”求解，再根据角的大小判断三角形类型。 题型2：等腰、等边三角形的内角计算 1.（180° - 80°）÷ 2 = 50°，底角是50°； 2.180° - 50°×2 = 80°，顶角是80°； 3.（180° - 90°）÷ 2 = 45°，两个底角都是45°； 4.180°÷3 = 60°，每个内角都是60°； 5.180° - 65°×2 = 50°，顶角是50°。 解析：牢记等腰三角形“两底角相等”、等边三角形“三内角相等”，结合内角和180°计算。 题型3：已知一个内角及角的倍数关系，求未知角 1.第二个角：25°×3 = 75°，第三个角：180° - 25° - 75° = 80°； 2.较小锐角：90°÷（1 + 3）= 22.5°，较大锐角：22.5°×3 = 67.5°； 3.设顶角为x，底角为2x，x + 2x + 2x = 180°，x = 36°，底角 = 72°，三个角分别是36°、72°、72°； 4.总份数：1+2+3=6，三个角分别是：180°×1/6=30°，180°×2/6=60°，180°×3/6=90°。 解析：先根据倍数关系表示出未知角，再结合内角和列算式，按比例分配时先求总份数。 题型4：判断能否组成三角形（角度验证） 1.能，50°+50°+80°=180°； 2.能，20°+30°+130°=180°； 3.能，60°+60°+60°=180°； 4.不能，40°+70°+80°=190°≠180°； 5.能，10°+20°+150°=180°。 解析：核心是验证三个角的和是否为180°，和为180°则能组成三角形，否则不能。 练习巩固 1．40° 【分析】三角形的内角和是180°，，，则。 【详解】由分析可得： 。 2．55° 【分析】根据三角形内角和180°，等腰三角形两个底角相等，进行分析。 【详解】 一个等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是55°。 3．等腰直角 【分析】先根据等腰三角形两底角相等的性质求出另一个底角的度数，再用三角形内角和定理求出顶角的度数，最后根据角的度数判断三角形的类型 【详解】等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角是45°，因此另一个底角的度数与已知底角相同，为45°，三角形的内角和是180°，用内角和减去两个底角的度数即可得到顶角的度数。 有一个角是90°的三角形是直角三角形，而这个三角形原本是等腰三角形，所以它是等腰直角三角形。 一个等腰三角形的一个底角是45°，这个三角形是等腰直角三角形。 4． 180 180 【分析】三角形的内角和是固定的180°，这是三角形的基本性质。当从一个顶点向对边画一条线段分成两个小三角形时，每个小三角形依然满足内角和是180°的性质。 【详解】三角形内角和定理表明，任意三角形的内角和都是180°。无论三角形的大小、形状如何，其内角和恒定为180°。所以一个三角形的内角和是180°，分成的每个小三角形内角和也是180°。 所以一个三角形的内角和是180°，每个小三角形的内角和是180°。 5．∠C＝40° 【分析】∠1与它相邻的角组成平角，平角为180°，所以用180°减去∠1的度数，即可得到与∠1右边的角的度数。在大三角形ABC中，已知其中一个角为120°，另一个角为∠2，根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，所以用180°减去∠2和与∠1右边的角的度数，就能得到∠C的度数。据此解答。 【详解】180°－60°＝120° 180°－20°－120° ＝160°－120° ＝40° ∠C是40°。 6．∠A＝55°；∠B＝77°；∠C＝65° 【分析】本题可根据三角形内角和为180°以及平角为180°的性质，分别计算三角形中未知角的度数。 第一个三角形：已知三角形ABC是直角三角形，∠B＝90°，∠C＝35°，所以∠A＝180°－∠B－∠C。 第二个三角形：已知∠A＝48°，∠C＝55°，所以∠B＝180°－∠A－∠C。 第三个三角形：已知∠A＝60°，与125°角互补的∠ABC＝180°－125°＝55°，所以∠C＝180°－∠A－∠ABC。据此解答即可。 【详解】∠A＝180°－∠B－∠C ＝180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° ∠B＝180°－∠A－∠C ＝180°－48°－55° ＝132°－55° ＝77° ∠C＝180°－∠A－∠ABC ＝180°－60°－55° ＝120°－55° ＝65° 7．65°；77°；65° 【分析】直角是90°，平角是180°，三角形内角和是180°。第一张图和第二张图，用180°减去已知角就是未知角；第三张图，首先用180°－125°求出与125°相邻的角的度数，再用180°减去这个角再减去60°即可解题。 【详解】图一： 180°－90°－25° ＝90°－25° ＝65° 图二： 180°－48°－55° ＝132°－55° ＝77° 图三： 180°－125°＝55° 180°－60°－55° ＝120°－55° ＝65° 8．； 【分析】三角形的内角和为180°，直角的度数是90°，观察两个三角形都有两个已知角，据此求出未知角的度数。 【详解】已知一个直角（）和一个的角，因此 已知两个角分别是和，三角形内角和为，因此 9．∠C＝125°；∠C＝65° 【分析】三角形的内角和为180°。已知三角形的两个内角的度数，直接用180°减去已知的两个角的度数即可算出第三个角的度数。 【详解】（1）180°－35°－20° ＝145°－20° ＝125° （2）180°－65°－50° ＝115°－50° ＝65° 故第一个三角形的∠C＝125°；第二个三角形的∠C＝65°。 10．110°；32° 【分析】三角形内和等于180°，用180°减去两个已知角的度数，即等于未知角的度数，据此即可解答。 【详解】（1）180°－40°－30° ＝140°－30° ＝110° （2）180°－90°－58° ＝90°－58° ＝32° 11．76°；26°；25° 【分析】三角形内角和是180°，直角是90°，平角是180°； （1）根据图示可知，一个内角是72°，一个内角是32°，用内角和180°减去已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数； （2）根据图示可知，一个内角是直角，一个内角是64°，用内角和180°减去已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数； （3）根据图示可知，∠1和60°组成平角，所以用180°减去60°求出∠1的度数；再用内角和180°减去已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数。 【详解】（1） 所以未知角的度数是76°； （2） 所以未知角的度数是26°； （3） 所以未知角的度数是25°。 12．55° 【分析】三角形内角和是180°，用180°减去两个已知内角的度数，即可求出∠C。 【详解】180°－60°－65° ＝120°－65° ＝55° 所以，∠C＝55°。 13． 【分析】三角形的内角和是180°，已知∠1和∠2的度数，用180°减去∠1和∠2的度数和，即可求出∠3的度数。 【详解】 答：∠3的度数是46°。 14． 【分析】三角形的内角和是180°，用180°减去已知的∠1和∠2的度数，即可求出∠3的度数。 【详解】 答：∠3的度数是100°。 15．（1）102°；钝角三角形；（2）60°；锐角三角形 【分析】（1）（2）根据“三角形的内角和等于180度”，用180°减去另外两个角的度数即可求出第三个角的度数；在一个三角形中三个角都小于90°的是锐角三角形，有一个角等于90°的是直角三角形，有一个角大于90°且小于180°的是钝角三角形；据此解答。 【详解】（1） ，所以此三角形是钝角三角形。 （2） 75°、45°、60°都小于90°，所以此三角形是锐角三角形。 16．56° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的度数和，即可求出顶角的度数。 【详解】 答：这个三角形钢架的顶角是56度。 17．80°；20° 【分析】设顶角为1份，则2个底角分别为这样的4份，三角形的内角和一共是这样的9份，据此可以求出顶角的度数，那么底角＝顶角×4。 【详解】顶角：180°÷（4＋4＋1） ＝180°÷9 ＝20° 底角：20°×4＝80° 答：这个三角形的底角是80°，顶角是20°。 18． 30°；30° 【分析】根据题意，等腰三角形两底角相等，三角形内角和等于180度。如果它的最大角是底角，那么两个底角120度＋120度＞180度，所以最大角不能是底角，只能是顶角。用180度减去120度，就是两个底角的和，再除以2，就是每个底角的度数。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： （180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 答：它的另外两个角分别是30°、30°。 1 学科网（北京）股份有限公司 $