专题16：不规则物体的体积（长方体、正方体）（计算专项训练）数学北师大版五年级下册

专题16：不规则物体的体积（长方体、正方体） 计算专项训练 一、核心原理 利用“排水法”（等积转化思想）计算不规则物体的体积，即：不规则物体的体积 = 上升（或下降）的水的体积（或放入物体后总体积 - 原来水的体积）。 二、相关公式（基础回顾） 1. 长方体体积（容积）公式：$$V = a×b×h$$（$$a$$ = 长，$$b$$ = 宽，$$h$$ = 高） 2. 正方体体积（容积）公式：$$V = a^3$$（$$a$$ = 棱长） 3. 排水法核心公式： - 不规则物体体积 = 放入后总体积 - 放入前水的体积 - 不规则物体体积 = 容器底面积 × 水面上升（或下降）的高度 三、关键注意事项 1. 统一单位：计算前需将容器的长、宽、高，水面高度等单位统一（常用单位：cm、dm、m，对应体积单位：$$cm^3$$、$$dm^3$$、$$m^3$$）。 2. 完全浸没：必须保证不规则物体完全沉入水中，否则计算出的体积小于物体实际体积。 3. 容器选择：优先使用规则的长方体、正方体容器，便于计算底面积和水面高度变化。 4. 特殊情况：若放入多个相同不规则物体，可先算总体积，再除以个数得到单个物体体积。 题型1：已知“放入前、后水面高度”，求不规则物体体积（最基础题型） 典型例题：一个长方体玻璃容器，长10cm，宽8cm，里面装有一定量的水，水面高度为5cm。将一块鹅卵石完全浸没在水中后，水面上升到7cm，这块鹅卵石的体积是多少立方厘米？ 解题思路：鹅卵石完全浸没，体积等于水面上升部分的水的体积；先算水面上升的高度，再用容器底面积乘上升高度，即可求出鹅卵石体积。 解题过程： 1.计算容器底面积： 2.计算水面上升高度： 3.计算鹅卵石体积（上升水的体积）： 答：这块鹅卵石的体积是160立方厘米。 跟踪训练： 1.一个正方体玻璃容器，棱长12cm，里面水深6cm。将一块铁块完全浸没后，水面上升到9cm，这块铁块的体积是多少？ 2.3一个长方体水箱，长15dm，宽10dm，水深4dm。放入一块石头后，水面上升到4.5dm，石头的体积是多少立方分米？ 3.长方体容器，长6cm，宽5cm，水面高度3cm。放入一枚鸡蛋完全浸没，水面上升0.8cm，这枚鸡蛋的体积是多少？ 题型2：已知“放入前水的体积、放入后总体积”，求不规则物体体积 典型例题：一个正方体容器，容积是512，向容器中倒入384的水，再将一块不规则铁块完全浸没在水中，此时容器内水和铁块的总体积是480，这块铁块的体积是多少立方分米？ 解题思路：不规则物体体积 = 放入后水和物体的总体积 - 放入前水的体积，无需计算底面积和水面高度，直接用减法即可。 解题过程： 答：这块铁块的体积是96立方分米。 补充说明：容器容积512（棱长8dm），用于判断总体积480未溢出，符合计算前提。 跟踪训练： 1.一个长方体容器，里面装有2.4的水，放入一块石头完全浸没后，总体积变为2.9，这块石头的体积是多少？ 2.正方体玻璃缸，倒入1.2的水（水深3cm），放入一块珊瑚石后，总体积变为1.5，珊瑚石的体积是多少立方厘米？（注意单位换算） 3.长方体水箱，先倒入150的水，再放入3颗相同的玻璃球，总体积变为186，每颗玻璃球的体积是多少？ 练习巩固 1．如下图，这块石头的体积是( )cm3。 2．把一个石头放入水中，水面会上升，说明石头占有一定的空间。石头所占空间的大小就是( )。 3．一个长方体容器中装有一些水，把一个马铃薯完全浸没在水中，水满了且没有溢出（如下图），这个马铃薯的体积是( )cm3。 4．2个西红柿浸没在盛了200毫升水的量杯后（水未溢出），水位上升至556毫升，平均每个西红柿的体积是( )立方厘米。 5．乐乐把一个西红柿放入一个长12厘米、宽12厘米、高15厘米的装满水的长方体容器中，这个西红柿的体积是( )立方厘米。 6．如图，一个长6厘米，宽4厘米，高10厘米的长方体牛奶盒，装满牛奶。笑笑在准备喝牛奶时，一不小心把牛奶弄洒了一些，也就是图中的空白部分，洒出( )毫升牛奶。 7．笑笑家有一个长1米，宽5分米，高8分米的长方体玻璃鱼缸，鱼缸里面盛了40厘米高的水，水有 升，笑笑在鱼缸里放了一个体积为75000立方厘米的珊瑚，这时水面的高度为 分米。 8．一个无盖的长方体玻璃容器，长40厘米，宽15厘米，高40厘米，里面盛有一些红色溶液。淘气想知道溶液的深度，他将一根底面边长5厘米，长1米的木条垂直插到容器底部，取出后量得木条被染红的部分长36厘米。原来容器内红色溶液深( )厘米。 9．一个棱长为2分米的正方体容器中装有一些水，放入一块石头后（石头完全浸没在水中），水面上升了0.6分米，这块石头的体积是多少立方分米？ 10．将棱长是1.5dm的正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.75dm，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2dm（水没有溢出）。求铁块的体积。 11．将一个体积是24dm3的不规则铁块浸没（水未溢出）在一个长8dm、宽6dm的装有水的长方体容器中，水面会上升多少分米？（容器厚度不计） 12．一个长方体鱼缸，从里面量长20cm，宽15cm，水深30cm。水中有5条大小大致相同的金鱼，捞出金鱼后，水深28cm。平均每条金鱼的体积是多少立方厘米？ 13．将三个棱长为10cm的正方体钢锭浸没在一个长方体容器中（水未溢出），取出全部钢锭后，水位下降4cm。这个容器的底面积是多少平方厘米？ 14．科学课上，每组一个长方体水槽，从里面量长是20厘米，宽是15厘米，高是10厘米，里面的水深是6厘米，小冬把一块石头放进水槽后，水面上升到8厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 15．在一个长50厘米，宽40厘米的长方体玻璃缸中（从里面量），放入一块棱长为10厘米的正方体铁块（铁块完全浸没），这时水深为15厘米，把铁块从缸中取出后，水的深度是多少厘米？ 16．如图，一个长方体的玻璃缸，缸内有一些水，水深为5.4分米。在缸内放入一块假山石，完全浸没后，溢出12升的水，假山石的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 17．如图，一个长方体玻璃容器，从里面量，长和宽都是2分米，向容器中倒入6升水，再把一块石头完全浸没在水里，这时量得容器内的水深是18厘米。这块石头的体积是多少立方分米？ 18．如图，一个从里面量长为8厘米、宽为5厘米的长方体容器内装有6厘米深的水。放入10颗相同的玻璃珠后，水位上升至6.4厘米，平均每颗玻璃珠的体积是多少立方厘米？ 题型1：已知“放入前、后水面高度”，求不规则物体体积 答案： 1.铁块体积：（解析：正方体底面积=棱长×棱长，上升高度=9-6=3cm） 2.石头体积： 3.鸡蛋体积： 题型2：已知“放入前水的体积、放入后总体积”，求不规则物体体积 答案： 1.石头体积： 2.珊瑚石体积：（解析：先算体积差，再换算单位，1=1000） 3.每颗玻璃球体积： 练习巩固 1．200 【分析】如图所示，放入石头前，水的容积是600毫升，放入石头后，水的容积是800毫升，用放入石头后水的容积减去放入石头前水的容积，即可算出石头的体积，再根据1毫升＝1立方厘米，把单位换算成立方厘米，据此解答。 【详解】（毫升） 200毫升＝200立方厘米 这块石头的体积是200立方厘米。 2．石头的体积 【分析】根据不规则物体的体积测量，将石头放入水中，水面上升是因为石头占据了水的空间，上升部分的体积就是石头的体积，所以石头所占空间的大小就是体积，据此解答。 【详解】根据分析可知，把一个石头放入水中，水面会上升，说明石头占有一定的空间。石头所占空间的大小就是石头的体积。 3．360 【分析】观察图形可知，长方体容器的长为15cm，宽为8cm，原来的水位为7cm，放入马铃薯后水满了且没有溢出，则水位上升了10－7＝3cm，再根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【详解】15×8×（10－7） ＝15×8×3 ＝120×3 ＝360（cm3） 则这个马铃薯的体积是360cm3。 4．178 【分析】量杯初始水的体积为200毫升，放入2个西红柿后总体积为556毫升。因为西红柿浸没在水中且水未溢出，所以2个西红柿的总体积＝水位上升后的总体积－初始水的体积，即：556－200＝356（毫升）。1毫升＝1立方厘米，因此356毫升＝356立方厘米。用2个西红柿的总体积除以数量2即可得单个西红柿体积。 【详解】556－200＝356（毫升） 356毫升＝356立方厘米 356÷2＝178（立方厘米） 平均每个西红柿的体积是178立方厘米。 5．432 【分析】由题意可知，这个西红柿的体积等于排出水的体积，排出水的体积＝容器的底面积×排出水的高度，据此解答。 【详解】12×12×（15－12） ＝12×12×3 ＝144×3 ＝432（立方厘米） 所以，这个西红柿的体积是432立方厘米。 6．36 【分析】通过观察图形可知，洒出牛奶的体积相当于一个长6厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体容积的一半，根据“长方体容积＝长×宽×高”计算出长方体容积再除以2。 【详解】6×4×3÷2 ＝24×3÷2 ＝72÷2 ＝36（立方厘米） 36立方厘米＝36毫升 所以洒出36毫升牛奶。 7． 200 5.5 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高计算鱼缸中水的体积，注意水的高度是4分米；用珊瑚的体积除以鱼缸的底面积得出水的高度，再加放入珊瑚前水的高度就是这时水的高度。根据1米＝10分米，1分米＝10厘米，1立方分米＝1升，1立方分米＝1000立方厘米，将单位换算统一再进行计算。 【详解】1米＝10分米 40厘米＝4分米 10×5×4 ＝50×4 ＝200（立方分米） 200立方分米＝200升 75000立方厘米＝75立方分米 75÷（10×5）＋4 ＝75÷50＋4 ＝1.5＋4 ＝5.5（分米） 鱼缸里面盛了40厘米高的水，水有200升；放了一个体积为75000平方厘米的珊瑚，这时水面的高度为5.5分米。 8．34.5 【分析】根据长方体的体积＝底面积×高＝长×宽×高，先求出木条被染红的部分体积。再求出长40厘米，宽15厘米，高36厘米的长方体的体积（溶液的体积＋木条被染红的部分体积），减去木条被染红的部分体积，即可求出溶液的体积。根据长方体的高（深）＝体积÷底面积，用溶液的体积除以长方体玻璃容器的底面积，即可求出原来容器内红色溶液深多少厘米。 【详解】40×15×36－5×5×36 ＝（40×15－5×5）×36 ＝（600－25）×36 ＝575×36 ＝20700（立方厘米） 20700÷（40×15） ＝20700÷600 ＝34.5（厘米） 原来容器内红色溶液深34.5厘米。 9．2.4立方分米 【分析】水面上升的体积就是这块石头的体积，根据长方体体积公式，容器底面积×水面上升的高度＝石头的体积，据此列式解答。 【详解】（立方分米） 答：这块石头的体积是2.4立方分米。 10．9dm3 【分析】排水法（物体体积＝上升的水的体积）、长方体底面积与体积的关系。先通过正方体石块的体积和水面上升高度，求出长方体水槽的底面积；再利用水槽底面积和铁块导致的水面上升高度，计算铁块的体积。 【详解】正方体石块的体积： （dm3） 长方体水槽的底面积：（dm2） 铁块的体积：（dm3） 答：铁块的体积是9dm3。 11．0.5分米 【分析】将一个体积是24立方分米的不规则铁块浸没在水中（水未溢出），那么水面上升的那部分水的体积就是24立方分米。先求出容器的底面积，再根据“水面上升的那部分水的体积÷底面积＝水面上升的高度”即可求解。 【详解】 （分米） 答：水面会上升0.5分米。 12．120立方厘米 【分析】先求出5条金鱼的总体积，即捞出金鱼后水下降的体积，再用总体积除以金鱼数量，即可得到平均每条金鱼的体积。 【详解】水下降的高度：（厘米） 5条金鱼的总体积： （立方厘米） （立方厘米） 答：平均每条金鱼的体积是120立方厘米。 13．750平方厘米 【分析】水下降的体积等于放入容器中物体的体积，即水下降的体积等于3个正方体钢锭的体积；已知正方体的棱长为10cm，根据正方体的体积公式，即可求出正方体的体积，进而求出水下降的体积；再用水下降的体积除以水下降的高度，即可求出容器的底面积，据此解答。 【详解】正方体体积：（cm3） 水下降的体积：（cm3） 容器底面积：（cm2） 答：这个容器的底面积是750平方厘米。 14．600立方厘米 【分析】已知水槽中初始水深为6厘米，放入石头后水面上升到8厘米，因此水面上升的高度为：8－6＝2（厘米）；上升的水可看作一个“小长方体”，这个小长方体的长、宽与水槽的内部长、宽一致，分别为20厘米、15厘米，高为水面上升的高度（2厘米）。根据长方体体积公式V＝长×宽×高，把数据代入计算即可。 【详解】8－6＝2（厘米） 20×15×2＝600（立方厘米） 答：这块石头的体积是600立方厘米。 15．14.5厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长可求出正方体铁块的体积，根据下降的水的体积与正方体铁块的体积相等，用正方体铁块的体积除以长方体玻璃缸的底面积可求出下降的水的深度，最后利用现在水的深度＝原来水的深度－下降的水的深度即可解答。 【详解】15－10×10×10÷（50×40） ＝15－1000÷2000 ＝15－0.5 ＝14.5（厘米） 答：把铁块从缸中取出后，水的深度是14.5厘米。 16．60立方分米 【分析】由题意可知，玻璃缸内空白部分的体积＝容器的底面积×空白部分的高度，在缸内放入一块假山石，完全浸没后，溢出12升的水，说明假山石的体积等于玻璃缸内空白部分的体积再加上溢出水的体积，据此解答。 【详解】10×8×（6－5.4） ＝10×8×0.6 ＝80×0.6 ＝48（立方分米） 12升＝12立方分米 48＋12＝60（立方分米） 答：假山石的体积是60立方分米。 17．1.2立方分米 【分析】根据题意，先求出水深18厘米水和石头的体积，再减去倒入容器中的水的容积，即可解答，根据长方体容积公式：长×宽×高，把数代入即可，注意单位的换算。 【详解】6升＝6立方分米；18厘米＝1.8分米 2×2×1.8－6 ＝4×1.8－6 ＝7.2－6 ＝1.2（立方分米） 答：这块石头的体积是1.2立方分米。 18．1.6立方厘米 【分析】根据题意，上升的水的体积就是10颗玻璃珠的体积，上升的水的体积＝容器的长×容器的宽×水上升的高度，再除以10，即可算出每颗玻璃珠的体积。 【详解】8×5×（6.4－6）÷10 ＝40×0.4÷10 ＝16÷10 ＝1.6（立方厘米） 答：平均每颗玻璃珠的体积是1.6立方厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $