专题17：组合体的体积（长方体、正方体）（计算专项训练）数学北师大版五年级下册

专题17：组合体的体积（长方体、正方体） 计算专项训练 一、核心定义 由两个或多个长方体、正方体组合而成的立体图形，叫做长方体和正方体的组合体。组合体的体积，本质是构成它的各个基本立体图形（长方体、正方体）体积的和或差。 二、基础公式（必备回顾） 1.长方体体积公式：（ = 长， = 宽， = 高） 2.正方体体积公式：（ = 棱长） 3.组合体体积核心公式： 求和型：（多个基本图形拼接，无重叠） 求差型：（大图形中挖去一个小图形） 题型1：求和型组合体（无重叠拼接，基础题型） 典型例题1：长方体+长方体拼接 一个组合体由两个长方体拼接而成，第一个长方体长10cm、宽8cm、高5cm，第二个长方体长10cm、宽8cm、高3cm，两个长方体的底面完全重合（无重叠），求这个组合体的体积。 解题思路：两个长方体无重叠拼接，组合体体积 = 第一个长方体体积 + 第二个长方体体积；也可先算组合体的总高，再用长方体体积公式计算（因底面完全重合，长和宽不变）。 解题过程： 方法一：分别计算，再求和 第一个长方体体积： 第二个长方体体积： 组合体体积： 方法二：求总高，再计算 组合体总高： 组合体体积： 答：这个组合体的体积是640立方厘米。 典型例题2：长方体+正方体拼接 一个长方体长12dm、宽6dm、高5dm，在它的一个顶点处拼接一个棱长为4dm的正方体（无重叠），求这个组合体的体积。 解题思路：长方体与正方体无重叠拼接，直接分别计算两者体积，再相加即可，无需考虑拼接位置（无重叠时，位置不影响总体积）。 解题过程： 长方体体积： 正方体体积： 组合体体积： 答：这个组合体的体积是424立方分米。 跟踪训练： 1.两个长方体拼接而成，第一个长8cm、宽5cm、高4cm，第二个长8cm、宽5cm、高6cm，底面重合，求组合体体积。 2.一个正方体棱长7dm，在它的一个面中央拼接一个长7dm、宽7dm、高3dm的长方体，求组合体体积。 3.一个长方体长15cm、宽10cm、高8cm，在它的一侧拼接一个棱长为6cm的正方体，求组合体体积。 题型2：求差型组合体（大图形挖去小图形，重点题型） 典型例题1：长方体中挖去长方体 一个长方体水箱，长10dm、宽8dm、高6dm，从它的内部下方挖去一个长5dm、宽4dm、高3dm的小长方体（用于安装管道），求这个水箱剩余部分的体积（即组合体体积）。 解题思路：：挖去型组合体，体积 = 大长方体体积 - 挖去的小长方体体积，注意挖去的位置不影响体积计算（只需找准大、小图形的边长）。 解题过程： 大长方体体积： 挖去的小长方体体积： 剩余部分体积： 答：这个水箱剩余部分的体积是420立方分米。 典型例题2：正方体中挖去正方体 一个棱长为10cm的正方体木块，在它的一个面的正中央挖去一个棱长为2cm的小正方体（无穿透），求这个木块现在的体积。 解题思路：正方体挖去小正方体（无穿透），组合体体积 = 大正方体体积 - 小正方体体积，注意小正方体的棱长是从大正方体中提取的已知数据。 解题过程： 大正方体体积： 挖去的小正方体体积： 木块现在的体积： 答：这个木块现在的体积是992立方厘米。 跟踪训练： 1.一个长方体长12cm、宽9cm、高7cm，在它的内部挖去一个长4cm、宽3cm、高5cm的小长方体，求剩余部分体积。 2.一个棱长为8dm的正方体石块，在它的一个顶点处挖去一个棱长为3dm的小正方体，求石块剩余部分的体积。 3.一个长方体蓄水池，长15m、宽10m、高4m，从底部挖去一个长2m、宽2m、高1m的小长方体坑，求蓄水池的实际容积（剩余体积）。 练习巩固 1．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 2．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 3．计算下面图形的表面积和体积。 4．计算下面立体图形的表面积和体积。 5．求出下面图形的体积。（单位：cm） 6．求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 7．如下图，从一个长方体上挖去一个棱长4厘米的正方体，求剩余部分的体积。 8．求下面各立体图形的体积。（单位：cm） （1）                   （2） 9．计算下面立体图形的表面积和体积．（单位：厘米） 10．如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 11．妈妈做了两种形状如下图所示的奶酪（单位：cm），园园选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？ 12．为了更好地展示商品，华阳商场设计了一款商品展示柜。（如图）请选择喜欢的方法计算这款商品展示柜所占空间的大小。 13．下图是从一个大长方体中挖掉一个小长方体的模具，求这个模具的表面积和体积。（单位：厘米） 14．公园的凉亭里有一张石桌，如下图所示，这张石桌的体积是多少立方分米？ 15．4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 16．下图是一个“三级台阶”（下面接地面），每级台阶的长、宽、高见标注（单位：分米）。计算这个“三级台阶”的表面积和体积。 17．下面是由长方体和正方体组合而成的图形，长方体的长，宽，高分别是15厘米，8厘米，10厘米；上面正方体的棱长是7厘米，计算组合图形的表面积和体积。 18．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？ 题型1：求和型组合体（无重叠拼接） 答案： 1.组合体体积：（或） 2.组合体体积： 3.组合体体积： 题型2：求差型组合体（大图形挖去小图形） 答案： 1.剩余体积： 2.剩余体积： 3.实际容积： 练习巩固 1．表面积：730平方厘米 体积：1000立方厘米 【分析】计算立体图形的表面积时，先按完整大长方体计算表面积，再减去凹槽处两个小正方形面积，加上凹槽处两个小长方形面积； 计算体积时，用大长方体的体积减去凹槽处小长方体的体积，据此解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 2．580cm2；776cm3 【分析】看图可知，长方体的棱上挖去一个正方体，减少了2个正方形的面，又出现了4个正方形的面，因此这个立体图形的表面积＝完整的长方体表面积＋正方形面积×2，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；这个立体图形的体积＝长方体体积－正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】（12×10＋12×7＋10×7）×2＋4×4×2 ＝（120＋84＋70）×2＋32 ＝274×2＋32 ＝548＋32 ＝580（cm2） 12×10×7－4×4×4 ＝840－64 ＝776（cm3） 这个立体图形的表面积和体积分别是580cm2、776cm3。 3．178；142 【分析】图形的表面积等于长是6cm、宽是5cm、高是5cm的长方体的表面积加上边长为2cm的两个正方形的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可； 图形的体积等于长是6cm、宽是5cm、高是5cm的长方体的体积减去棱长是2cm的正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【详解】（6×5＋6×5＋5×5）×2＋2×2×2 ＝（30＋30＋25）×2＋4×2 ＝（60＋25）×2＋8 ＝85×2＋8 ＝170＋8 ＝178（） 6×5×5－2×2×2 ＝30×5－4×2 ＝150－8 ＝142（） 4．152平方分米；88立方分米 【分析】由图可知：在大长方体的顶点处去掉一个小长方体，虽然体积减少了，但是表面积不变。根据长方体的表面积S＝（ab＋ah＋bh）×2，求出立体图形的表面积。长方体的体积V＝abh，用大长方体的体积减去小长方体的体积，求出立体图形的体积。 【详解】立体图形的表面积： ＝（48＋16＋12）×2 ＝（64＋12）×2 ＝76×2 ＝152（平方分米） 立体图形的体积： ＝48×2－4×2×1 ＝96－8 ＝88（立方分米） 图形的表面积是152平方分米，体积是88立方分米。 5．219cm3 【分析】由图可知，该图形由一个棱长是3cm的正方体和一个长是8cm、宽是8cm、高是3cm的长方体组成，故该图形的体积等于正方体的体积加长方体的体积；根据正方体的体积公式和长方体的体积公式，分别求出正方体和长方体的体积，最后相加，即可求出该图形的体积，据此解答。 【详解】正方体的体积：（cm3） 长方体的体积：（cm3） 该图形的体积：（cm3） 答：这个图形的体积是219cm3。 6．600平方厘米；936立方厘米 【分析】观察图形可知，这个图形的表面积就等于棱长10厘米的正方体的表面积，利用正方体的表面积公式计算即可解答，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；体积等于棱长10厘米的正方体与棱长4厘米的正方体的体积之差，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此即可解答。 【详解】10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 10×10×10－4×4×4 ＝100×10－16×4 ＝1000－64 ＝936（立方厘米） 所以这个图形的表面积是600平方厘米，体积是936立方厘米。 7．176立方厘米 【分析】从图中可知，剩余部分的体积＝长方体的体积－正方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【详解】8×5×6－4×4×4 ＝240－64 ＝176（立方厘米） 剩余部分的体积是176立方厘米。 8．（1）325cm3；（2）580cm3 【分析】（1）观察图形可知，组合图形的体积＝正方体的体积＋长方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）如下图，把组合图形分成左右两部分，那么组合图形的体积＝大长方体的体积＋小长方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】（1）5×5×5＋8×5×5 ＝125＋200 ＝325（cm3） 组合图形的体积是325cm3。 （2）8×10×（2＋3）＋6×10×3 ＝8×10×5＋180 ＝400＋180 ＝580（cm3） 组合图形的体积是580cm3。 9．348平方厘米；360立方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；体积＝长×宽×高。 这个立体图形的表面积＝大长方体的表面积＋小长方体的侧面积。体积＝大长方体的体积＋小长方体的体积。 【详解】表面积： （12×6＋6×4＋4×12）×2＋（6×3＋3×4）×2 ＝（72＋24＋48）×2＋（18＋12）×2 ＝144×2＋30×2 ＝288＋60 ＝348（平方厘米） 体积： 12×4×6＋6×4×3 ＝288＋72 ＝360（立方厘米） 表面积是348平方厘米；体积是360立方厘米。 10．表面积：2800平方厘米 体积：7040立方厘米 【分析】通过平移可知剩下的图形的表面积等于原来正方体的表面积加上挖去的长方体的侧面积，代入数据计算即可；剩下物体的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，代入数据计算；据此解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：剩下的图形的表面积是2800平方厘米，体积是7040立方厘米。 11．选第一种才能吃到更多的奶酪。 【分析】第一种奶酪是长方体，把图中数据代入长方体的公式，即可求出第一种奶酪的体积；第二种奶酪是由一个大长方体减去一个小长方体组成，分别计算出两部分的体积再相减，即可算出第二种奶酪的体积，比较两种奶酪的体积，即可解答。 【详解】（立方厘米） （立方厘米） 答：选第一种才能吃到更多的奶酪。 12．162000立方厘米 【分析】展示柜所占空间可以看作长宽高是120厘米、30厘米、（30－15）厘米的长方体体积与长宽高是120厘米、60厘米、15厘米的长方体体积之和。也可以看作长宽高是120厘米、60厘米、30厘米的长方体体积与长宽高是120厘米、（60－30）厘米、（30－15）厘米的长方体体积之差。任选一种，根据V＝abh计算解答。 【详解】120×60×30－120×（60－30）×（30－15） ＝7200×30－120×30×15 ＝216000－54000 ＝162000（立方厘米） 答：这款商品展示柜所占空间是162000立方厘米。 13．240平方厘米；168立方厘米 【分析】由图可知，挖掉小长方体之前需要计算小长方体上面、前面2个面的面积，挖掉小长方体之后需要计算小长方体下面、后面、左面、右面4个面的面积，大长方体其它部分面积不变，则挖掉小长方体之后的表面积比原来大长方体的表面积增加了挖掉小长方体左、右2个面的面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2；长方体的体积＝长×宽×高，挖掉小长方体之后的体积比原来大长方体的体积减少了一个小长方体的体积，据此解答。 【详解】表面积：（8×8＋8×3＋8×3）×2＋4×2×2 ＝（64＋24＋24）×2＋4×2×2 ＝112×2＋4×2×2 ＝224＋8×2 ＝224＋16 ＝240（平方厘米） 体积：8×8×3－4×3×2 ＝64×3－12×2 ＝192－24 ＝168（立方厘米） 答：这个模具的表面积是240平方厘米，体积是168立方厘米。 14．180立方分米 【分析】石桌由上下两个长方体组成，体积＝上面长方体体积＋下面长方体体积。分别计算两个长方体体积再相加。依据长方体体积公式V＝a×b×c（a，b，c为长、宽、高），据此解答。 【详解】上面长方体体积： 5×6×2 ＝30×2 ＝60（立方分米） 下面长方体体积： 5×4×6 ＝20×6 ＝120（立方分米） 总体积：60＋120＝180（立方分米） 答：这张石桌的体积是180立方分米。 15． 180平方厘米；960立方厘米 【分析】求这件手工作品的占地面积就是求三个长方体的底面积，可以看成一个长是厘米，宽是10厘米的长方形的面积；体积就是求三个长方体的体积之和。根据长方形的面积＝长×宽，，分别代入数据计算即可。 【详解】（6＋6＋6）×10 ＝18×10 ＝180（平方厘米） 6×8×10＋6×6×10＋6×2×10 ＝480＋360＋120 ＝960（立方厘米） 答：这件手工作品的占地面积是180平方厘米；体积是960立方厘米。 16．表面积：1128平方分米；体积：2880立方分米 【分析】（1）据图可知，这个“三级台阶”的表面积等于一个长是20分米宽是（6×3）分米高是（4×3）分米的长方体的表面积减去一个长×宽的面再减去2个长是6分米宽是4分米的长方形的面积再减去2个长是（4×2）分米宽是6分米的长方形的面积，据此结合长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽列式计算即可求出表面积； （2）这个“三级台阶”的体积等于一个长是20分米宽是（6×3）分米高是（4×3）分米的长方体的体积减去一个长是20分米宽是6分米高是4分米的长方体的体积再减去一个长是20分米宽是6分米高是（4×2）分米的长方体的体积，结合长方体的体积＝长×宽×高列式计算即可。 【详解】6×3＝18（分米） 4×3＝12（分米） （20×18＋20×12＋18×12）×2－20×18－6×4×2－4×2×6×2 ＝（360＋240＋216）×2－360－24×2－8×6×2 ＝816×2－360－48－48×2 ＝1632－360－48－96 ＝1272－48－96 ＝1224－96 ＝1128（平方分米） 20×18×12－20×6×4－20×6×（4×2） ＝360×12－120×4－120×8 ＝4320－480－960 ＝3840－960 ＝2880（立方分米） 答：这个“三级台阶”的表面积是1128平方分米，体积是2880立方分米。 17．896平方厘米；1543立方厘米 【分析】组合图形的体积是长方体的体积和正方体体积之和，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4。 据此代入数据计算。 【详解】表面积： ＝（120＋150＋80）×2＋196 ＝350×2＋196 ＝700＋196 （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：组合图形的表面积是896平方厘米和体积是1543立方厘米。 18．156250立方厘米 【分析】观察图形可知，高铝砖的体积＝长为（25＋25＋25）厘米、宽为50厘米、高50厘米的长方体的体积－长为25厘米、宽为50厘米、高为（50－25）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】（25＋25＋25）×50×50－（50－25）×25×50 ＝75×50×50－25×25×50 ＝187500－31250 ＝156250（立方厘米） 答：这样一块高铝砖的体积是156250立方厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $