专题05：多边形的内角和（计算专项训练）数学北师大版四年级下册

专题05：多边形的内角和 计算专项训练 一、多边形内角和的核心结论 多边形内角和是指多边形内部所有内角的度数总和。任意一个n边形（n≥3，n为整数） 的内角和计算公式为：多边形内角和 = （n - 2）× 180°（n表示多边形的边数）。 三角形（3边形）：（3 - 2）× 180° = 180°（与之前所学三角形内角和一致）； 四边形（4边形）：（4 - 2）× 180° = 360°； 五边形（5边形）：（5 - 2）× 180° = 540°； 六边形（6边形）：（6 - 2）× 180° = 720°，以此类推。 二、核心计算法则 1.已知边数，求内角和：直接代入公式（n - 2）× 180°，n为多边形边数，计算时先算括号内，再算乘法。 2.已知内角和，求边数：利用公式变形，边数n = （内角和 ÷ 180°） + 2，先算除法，再算加法。 3.求正多边形的单个内角度数：正多边形（各边相等、各内角相等）的单个内角 = （n - 2）× 180° ÷ n，先求内角和，再平均分到每个内角。 4.已知多边形部分内角，求未知内角：先根据边数求内角和，再用内角和减去已知内角的和，得到未知内角的度数（注意：多边形内角和一定是180°的倍数）。 题型1：已知边数，求多边形内角和 典型例题：计算下列多边形的内角和 四边形 五边形 七边形 八边形 解题思路：直接套用公式“多边形内角和 = （n - 2）× 180°”，先确定边数n，再代入计算。 解题过程 四边形（n=4）：（4 - 2）× 180° = 2×180° = 360°； 五边形（n=5）：（5 - 2）× 180° = 3×180° = 540°； 七边形（n=7）：（7 - 2）× 180° = 5×180° = 900°； 八边形（n=8）：（8 - 2）× 180° = 6×180° = 1080°。 跟踪训练：计算下列多边形的内角和 六边形 九边形 十边形 十二边形 十五边形 题型2：已知内角和，求多边形边数 典型例题：已知下列多边形的内角和，求它们的边数 内角和为720° 内角和为900° 内角和为1440° 解题思路：利用公式变形“边数n = （内角和 ÷ 180°） + 2”，先将内角和除以180°，再加上2，得到边数。 解题过程 内角和720°：（720° ÷ 180°） + 2 = 4 + 2 = 6，边数为6（六边形）； 内角和900°：（900° ÷ 180°） + 2 = 5 + 2 = 7，边数为7（七边形）； 内角和1440°：（1440° ÷ 180°） + 2 = 8 + 2 = 10，边数为10（十边形）。 跟踪训练：已知下列多边形的内角和，求它们的边数 内角和为540° 内角和为1080° 内角和为1620° 内角和为1980° 内角和为2160° 题型3：求正多边形的单个内角度数 典型例题：计算下列正多边形的单个内角度数 正四边形（正方形） 正五边形 正六边形 正八边形 解题思路：先根据边数求出内角和，再用内角和除以边数（正多边形各内角相等），得到单个内角度数。 解题过程 正四边形（n=4）：（4 - 2）× 180° ÷ 4 = 360° ÷ 4 = 90°； 正五边形（n=5）：（5 - 2）× 180° ÷ 5 = 540° ÷ 5 = 108°； 正六边形（n=6）：（6 - 2）× 180° ÷ 6 = 720° ÷ 6 = 120°； 正八边形（n=8）：（8 - 2）× 180° ÷ 8 = 1080° ÷ 8 = 135°。 跟踪训练：计算下列正多边形的单个内角度数 正三角形（等边三角形） 正七边形 正九边形 正十边形 正十二边形 题型4：已知部分内角，求多边形未知内角 典型例题：计算下列多边形中未知角的度数 一个四边形的三个内角分别是80°、90°、100°，求第四个内角； 一个五边形的四个内角分别是110°、120°、95°、105°，求第五个内角； 一个正六边形的一个内角未知（其余内角相等），求这个内角。 解题思路：先根据边数求出多边形内角和，再用内角和减去已知内角的和，得到未知内角的度数。 解题过程 四边形（内角和360°）：360° - （80° + 90° + 100°） = 360° - 270° = 90°； 五边形（内角和540°）：540° - （110° + 120° + 95° + 105°） = 540° - 430° = 110°； 正六边形（内角和720°，各内角相等）：720° ÷ 6 = 120°，未知内角为120°。 跟踪训练：计算下列多边形中未知角的度数 四边形的三个内角分别是75°、85°、110°，求第四个内角； 五边形的四个内角分别是100°、115°、85°、120°，求第五个内角； 六边形的五个内角分别是120°、110°、130°、90°、100°，求第六个内角； 正九边形的一个内角未知，求这个内角。 练习巩固 1．把两个完全一样的三角形拼成一个四边形，其内角和是( )。 2．梯形的内角和是( )度。 3．用4个三角形拼成一个六边形，这个六边形的内角和是( )。 4．用三角形的三个内角可以拼成一个( )角，四边形的内角和是( )°。 5．如图，将等边三角形沿虚线剪去，在剩下的四边形中，( )°。 6．如图，三角形ABC是一个等边三角形，如果把三角形沿虚线剪去∠B，在剩下的四边形中，∠1＋∠2＝( )°。 7．一个四边形可以分成2个三角形；一个五边形可以分成3个三角形；那么，一个六边形可以分成( )个三角形，它的内角和是( )°。 8．我们已经知道三角形的3个角合起来能拼成一个平角，那么六边形的6个角合起来能拼成( )个平角。 9．三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是( )条。 10．巧求内角和。 四边形的内角和是( )。 五边形的内角和是( )。 六边形的内角和是( )。 11．求下面四边形的四个内角∠1，∠2，∠3和∠4的度数和。 12．根据以上的分析，六边形的内角和是多少度呢？在图上画一画，表示出自己的想法。 13．三角形的内角和是（    ），四边形的内角和是（    ），五边形的内角和是（    ），六边形的内角和是（    ）。 你发现了什么？ 14．四边形的内角和是多少度？你是怎样想的？（写一写） 15．笑笑将任意一个四边形分成了两个三角形（如图），那么四边形的内角和是多少度？请写下你的想法。 16．照样子分一分，填一填。 图形 …… n边形 边数 3 4 5 6 …… n 内角和（度） 180×1 180×2 180×（    ） 180×（    ） …… 180×（    ） 17．求下边五边形的内角和。 18．一个零件如下图，∠1＝32°，∠2＝25°，∠3＝90°才符合要求，工人师傅在检验时，只量了∠4＝145°，他说这个零件不符合要求。你知道是为什么吗？ 题型1：已知边数，求多边形内角和 六边形（n=6）：（6-2）×180°=720°； 九边形（n=9）：（9-2）×180°=1260°； 十边形（n=10）：（10-2）×180°=1440°； 十二边形（n=12）：（12-2）×180°=1800°； 十五边形（n=15）：（15-2）×180°=2340°。 解析：核心是代入公式（n-2）×180°，准确计算括号内和乘法运算。 题型2：已知内角和，求多边形边数 内角和540°：（540÷180）+2=3+2=5（五边形）； 内角和1080°：（1080÷180）+2=6+2=8（八边形）； 内角和1620°：（1620÷180）+2=9+2=11（十一边形）； 内角和1980°：（1980÷180）+2=11+2=13（十三边形）； 内角和2160°：（2160÷180）+2=12+2=14（十四边形）。 解析：利用公式变形，先除后加，确保运算顺序正确。 题型3：求正多边形的单个内角度数 正三角形（n=3）：（3-2）×180°÷3=60°； 正七边形（n=7）：（7-2）×180°÷7≈128.57°； 正九边形（n=9）：（9-2）×180°÷9=140°； 正十边形（n=10）：（10-2）×180°÷10=144°； 正十二边形（n=12）：（12-2）×180°÷12=150°。 解析：先求内角和，再平均分，结果可保留两位小数（除不尽时）。 题型4：已知部分内角，求多边形未知内角 四边形：360°-（75°+85°+110°）=90°； 五边形：540°-（100°+115°+85°+120°）=120°； 六边形：720°-（120°+110°+130°+90°+100°）=170°； 正九边形：（9-2）×180°÷9=140°。 解析：先求内角和，再减已知角的和，注意计算时凑整简化运算。 练习巩固 1．360° 【分析】四边形的内角和为（4－2）×180°。无论原三角形的类型如何，拼成的四边形内角和由边数决定，因此结果固定。 【详解】（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 所以把两个完全一样的三角形拼成一个四边形，其内角和是360°。 2．360 【分析】如下图，把梯形分成2个三角形，三角形内角和等于180度，2个三角形的内角和就等于梯形的内角和，所以梯形的内角和等于180×2＝360（度），据此即可解答。 【详解】根据分析可知，180×2＝360（度），梯形的内角和是360度。 3．720°/720度 【分析】如详解图， 4个三角形拼成一个六边形，即这个六边形是由4个三角形组成的，根据一个三角形的内角和是180°，则这个六边形的内角和是4个180°，即4×180°＝720°；据此解答。 【详解】 4×180°＝720° 即用4个三角形拼成一个六边形，这个六边形的内角和是720°。 4． 平 360 【分析】三角形的内角和为180°，正好是一个平角的度数，四边形的对角线可将四边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和是2个三角形的内角和的度数，据此即可解答。 【详解】180°×2＝360° 用三角形的三个内角可以拼成一个平角，四边形的内角和是360°。 5．240 【分析】等边三角形的三个角相等，都是60°。三角形内角和是180°，∠1是60°，等边三角形剩下的两个角的度数和是180°－60°＝120°。而剪去一个三角形，剩下的是一个四边形。四边形的内角和＝（边数－2）×180°。用四边形的内角和减去120°就是∠2＋∠3的度数之和。 【详解】180°－60°＝120° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°－120°＝240° 所以，∠2＋∠3＝240°。 6．240 【分析】根据题意，已知三角形ABC是一个等边三角形，根据等边三角形的特征，其三个角都是60°，即∠A和∠C为60°。如果把三角形沿虚线减去∠B，那么∠1＋∠2＝四边形内角和－∠A－∠C，即可解答。 【详解】已知四边形内角和为360°，即∠1＋∠2＝360°－∠A－∠C，且三角形ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°，即∠1＋∠2＝360°－60°－60°＝300°－60°＝240°。 如图，三角形ABC是一个等边三角形，如果把三角形沿虚线剪去∠B，在剩下的四边形中，∠1＋∠2＝（240）°。 7． 4 720 【分析】求多边形的内角和，可以把它分成几个三角形。把多边形分成了几个三角形，多边形的内角和就等于几个三角形的内角之和。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 由图可知，一个六边形可以分成4个三角形，它的内角和为：180°×4＝720°。 一个四边形可以分成2个三角形；一个五边形可以分成3个三角形；那么，一个六边形可以分成4个三角形，它的内角和是720°。 8．4 【分析】等于180°的角是平角，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此计算出六边形的内角和，然后用六边形的内角和除以三角形的内角和即可。 【详解】（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 720°÷180°＝4（个） 六边形的6个角合起来能拼成4个平角。 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握平角的特点，以及应掌握多边形的内角和的计算方法。 9．10 【分析】三角形的内角和为180°，那么一个多边形的内角和就等于180°乘8，即180°×8＝1440°，根据公式（n－2）×180°，用多边形的内角和除以180°，再加上2，即可求出这个多边形的边数是多少条，据此解答即可。 【详解】180°×8＝1440° 1440°÷180°＋2 ＝8＋2 ＝10（条） 所以这个多边形的边数是10条。 10． 360° 540° 720° 【分析】计算多边形的内角和时，可以把这个多边形分成多个三角形，然后利用三角形的内角和进行计算；一个n边形可以的分成（n－2）个三角形，所以n边形的内角和＝180°×（n－2）。 【详解】四边形的内角和：180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 五边形的内角和：180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 六边形的内角和：180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 【点睛】熟练掌握多边形内角和知识是解答本题的关键。 11．360° 【分析】三角形的内角和是180°。如下图，四边形可以分成两个三角形。所以题图中的四边形四个内角的度数和是三角形内角和的2倍。 【详解】180°×2＝360° 答：四边形的四个内角∠1，∠2，∠3和∠4的度数和为360°。 12．作图见详解；720° 【分析】求多边形的内角和，可以把它分成几个三角形。把多边形分成了几个三角形，多边形的内角和就等于几个三角形的内角之和。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 由图可知，这个六边形可以分成4个三角形。 180°×4＝720° 答：六边形的内角和是720°。 13．180°；360°；540°；720°； n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3且n为整数）；（答案不唯一） 【分析】三角形内角和是180°；四边形可以分成2个三角形，内角和为180°×2＝360°；五边形可以分成3个三角形，内角和为180°×3＝540°；六边形可以分成4个三角形，内角和为180°×4＝720°。通过观察总结出n边形内角和公式。 【详解】三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°。可以发现：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3且n为整数）。（答案不唯一） 14． 360度 【分析】根据题意，画一个四边形ABCD，然后连接四边形的对角线，把四边形分成两个三角形，然后根据三角形的内角和是180度，即可得出一个四边形的内角和是360度；由此解答即可。 【详解】 根据三角形的内角和是180度，把四边形分成两个三角形。 180×2＝360（度） 答：四边形的内角和是360度。 15．360°；想法见详解 【分析】看图可知四边形分成了两个三角形，根据三角形内角和是180°用一个三角形内角和乘2，即可求出么四边形的内角和。据此解答即可。 【详解】180°×2＝360° 答：两个三角形的内角和就是四边形的内角和，四边形的内角和是360°。 16．见详解 【分析】从图中可知：能把五边形分成3个三角形，那么五边形的内角和＝180×3（度）；先把六边形分成4个三角形，那么六边形的内角和＝180×4（度）；观察图形可知，n边形能分成的三角形的个数是（n－2）个，那么n边形的内角和是180×（n－2）度。 【详解】 图形 …… n边形 边数 3 4 5 6 …… n 内角和（度） 180×1 180×2 180×（  3  ） 180×（  4  ） …… 180×（ n－2 ） 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和知识，解题的关键是先把多边形分成三角形，再根据三角形的内角和解答。 17．540° 【分析】由题意可得，先将五边形分成3个三角形，再根据三角形的内角和为180°计算即可。 【详解】 180°×3＝540° 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和，熟记过n边形的同一个顶点作对角线，可以把n边形分成（n－2）个三角形。 18．不符合；理由见详解 【分析】四边形的内角和是360°，周角为360°，可求出∠4的度数，然后和测量的∠4度数进行比较，即可知道是否合格。 【详解】∠4＝360°－（360°－∠1－∠2－∠3） ＝360°－（360°－32°－25°－90°） ＝360°－213° ＝147° 而测得∠4＝145°。 答：这个零件不符合要求。 1 学科网（北京）股份有限公司 $