专题11：等式的性质2（计算专项训练）数学北师大版四年级下册

专题11：等式的性质2 计算专项训练 一、等式的性质2的意义（区分等式的性质1） 1.定义：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。这是等式的重要性质之一，也是解方程（一步乘法、除法方程）的核心依据，与等式的性质1（加、减法）形成互补。 2.关键提醒：与等式的性质1最大的区别的是，性质2涉及“乘、除法”运算，且除以的数必须不为0（0不能做除数，否则无意义）；而性质1涉及“加、减法”运算，没有“不为0”的限制。 3.字母表示：若 （、 为任意数）， 为不为0的数，则： ① （等式两边同时乘同一个数 ，等式成立）； ② （等式两边同时除以同一个不为0的数 ，等式成立）。 二、等式的性质2的核心应用 1.核心用途：解一步乘法方程（如 ， 不为0）和一步除法方程（如 、， 不为0），求出未知数 的值，与性质1解决加、减法方程形成完整解题体系。 2.解题关键： ① 遵循“同时”“同一个数”“除以的数不为0”三个核心原则（性质1只需前两个原则），缺一不可； ② 解方程时，目的是把未知数 单独放在等式的一边，因此要给等式两边同时乘、除“与未知数在一起的那个不为0的数”； ③ 解方程后，同样需要把求得的 值代入原方程，检验等式是否成立（检验步骤与性质1一致，必不可少）。 题型1：根据等式的性质2填空 典型例题：根据等式的性质2，在括号里填上合适的数或字母（ 不为0），使等式仍然成立。 （1）若 ，则 （2）若 ，则 （3）若 ，则 （4）若 ，则 （5）若 （ 不为0），则 （6）若 ，则 解题思路：牢记等式的性质2的核心（同时、同一个数、除以不为0），区分性质1的加、减法填空，左边乘（除以）几，右边就乘（除以）几，确保两边操作完全一致，同时注意“除以的数不为0”。 解题过程： （1）2，理由：左边除以2，右边也要除以2（2不为0），符合等式的性质2； （2）3，理由：左边乘3，右边也要乘3，符合等式的性质2； （3）4，理由：右边乘4，左边也要乘4，符合等式的性质2； （4），理由：左边乘（ 在除数位置，不为0），右边也要乘，符合等式的性质2； （5），理由：右边除以（ 不为0），左边也要除以，符合等式的性质2； （6）6.2，理由：左边乘6.2，右边也要乘6.2，符合等式的性质2。 跟踪训练：根据等式的性质2，在括号里填上合适的数或字母（ 不为0），使等式仍然成立。 （1）若 ，则 （2）若 ，则 （3）若 ，则 （4）若 ，则 （5）若 ，则 （6）若 （ 不为0），则 题型2：运用等式的性质2解方程 典型例题：运用等式的性质2解下列方程，并检验（区分性质1的加、减法解方程）。 （1） （2） （3） （4） （5） 解题思路：根据方程类型（乘法、除法），灵活运用等式的性质2，重点关注“除以的数不为0”，把未知数单独放在等式一边；解方程后，代入原方程检验，同时区分性质1（用于加、减法方程）的解题方法。 解题过程： （1）解： 等式两边同时除以4（4不为0，目的：孤立，区别于性质1的加、减变形） 检验：把代入原方程，左边=，右边=16，左边=右边，所以是原方程的解。 （2）解： 等式两边同时乘5（目的：孤立，区别于性质1的加、减变形） 检验：把代入原方程，左边=，右边=6，左边=右边，所以是原方程的解。 （3）解： 等式两边同时除以6（6不为0，目的：孤立） 检验：把代入原方程，左边=，右边=24，左边=右边，所以是原方程的解。 （4）解： 等式两边同时乘（ 不为0） 等式两边同时除以3（3不为0） 检验：把代入原方程，左边=，右边=3，左边=右边，所以是原方程的解。 （5）解： 等式两边同时乘2.3（目的：孤立） 检验：把代入原方程，左边=，右边=6.9，左边=右边，所以是原方程的解。 跟踪训练： 运用等式的性质2解下列方程，并检验（区分性质1的加、减法解方程）。 （1） （2） （3） （4） （5） 练习巩固 1．解方程。            2．解方程。 14＋9x＝95     7x－13.8＝28.2 3．解方程。 3x＋9＝15     x÷14＝70     6x－x＝40 4．解方程。 33x＝66     x÷8＝4.4     x÷0.6＝1.5 5．解方程。 75x＝150     x÷3＝5.4     425÷x＝5 6．解方程。 x÷37＝0    13x－16＝36     4x＋6.5＝18.5 7．解方程。 2x－5＝7     12x＋6＝30     18＝x－7.6     5x＋5＝70 8．看图列方程，并求解。 9．看图列方程，并求解。 10．看图列方程并求解。 11．看图列方程，并解方程。 12．看图列方程并解答。 13．看图列方程，并解方程。 14．看图列方程并求解。 15．根据如图列出方程是( )。 16．看图列方程，并解方程。 17．看图列方程并计算。 18．看图列式（不解答）。 题型1：根据等式的性质2填空 答案： （1）3 （2）7 （3）6 （4）14 （5）4.5 （6） 解析：核心是遵循等式的性质2的“同时、同一个数、除以不为0”，区分性质1的加、减法填空，确保左边和右边的乘、除操作完全一致。 题型2：运用等式的性质2解方程 答案： （1）解：，，；检验：左边=，右边=20，左边=右边，是解； （2）解：，，；检验：左边=，右边=9，左边=右边，是解； （3）解：，，；检验：左边=，右边=28，左边=右边，是解； （4）解：，，，；检验：左边=，右边=4，左边=右边，是解； （5）解：，，；检验：左边=，右边=5.5，左边=右边，是解。 练习巩固 1．x=27；x=4；x=4.1 【分析】（1）等式两边同时乘3，再同时除以5，计算出结果； （2）等式两边同时加上1.2，再同时除以3，计算出结果； （3）等式两边同时减去6.9，计算出结果。 【详解】5x÷3＝45                                  解：5x÷3×3＝45×3 5x＝135                            5x÷5＝135÷5                                        x＝27 3x－1.2＝10.8 解：3x－1.2＋1.2＝10.8＋1.2 3x＝12 3x÷3＝12÷3 x＝4 6.9＋x＝11 解：6.9＋x－6.9＝11－6.9 x＝4.1 2．x＝9；x＝6 【分析】14＋9x＝95，根据等式的性质1和等式的性质2，方程两边先同时减去14，再同时除以9即可； 7x－13.8＝28.2，根据等式的性质1和等式的性质2，方程两边先同时加上13.8，再同时除以7即可。 【详解】14＋9x＝95 解：14＋9x－14＝95－14 9x＝81 9x÷9＝81÷9 x＝9 7x－13.8＝28.2 解：7x－13.8＋13.8＝28.2＋13.8 7x＝42 7x÷7＝42÷7 x＝6 3．；； 【分析】，先将等式两边同时减去9，再等式两边同时除以3，即可求出方程的解； ，等式两边同时乘14，即可求出方程的解； ，先计算出的差，然后再将等式两边同时除以5，即可求出方程的解。 【详解】                解：                                                                                     解：                                 解：                          4．x＝2；x＝35.2；x＝0.9 【分析】 （1）方程33x＝66，根据等式的性质，两边同时除以33即可求出x的值。 （2）方程x÷8＝4.4，根据等式的性质，两边同时乘8即可求出x的值。 （3）方程x÷0.6＝1.5，根据等式的性质，两边同时乘0.6即可求出x的值。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 5．x＝2；x＝16.2；x＝85 【分析】（1）方程75x＝150，根据等式的性质，两边同时除以75即可求出x的值。 （2）方程x÷3＝5.4，根据等式的性质，两边同时乘3即可求出x的值。 （3）方程425÷x＝5，根据除法各部分间的关系，除数x＝被除数425÷商5，据此求出x的值。 【详解】（1）     解：                       （2）   解：                       （3） 解：                                      6．x＝0；x＝4；x＝3 【分析】解方程的本质是利用“等式的基本性质”，通过一系列等价变形，把方程逐步简化，最终得到未知数＝具体数值的形式。 【详解】                   解：                                                解：                                                                                               解：                                                                                        7．x＝6；x＝2；x＝25.6；x＝13 【分析】利用等式的性质解方程， 根据等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，等式两边同时乘或除以同一个非零数，等式仍然成立的性质进行求解。 【详解】                解：                                                                                 解：                                                                                     解：                                                       解：                                                                 8． 【分析】由线段图可知，共有480页，每天看x页，看了3天，还有120页，根据数量关系：每天看的页数×3＋120＝总页数，列出方程并求解即可。 【详解】 解： 所以x是120页。 9．3y－y＝32   y＝16 【分析】由图可知：苹果有y千克，香蕉是苹果的3倍，香蕉比苹果多32千克，求苹果有多少千克，用香蕉的质量苹果的质量32千克，根据等量关系列方程解方程即可，据此解答。 【详解】解：                                                        10． x＝117 【分析】观察图形可知：3个足球（每个x元）的总价＋1个篮球（45元）的价格＝总金额396元。根据“部分和＝总和”的数量关系，可列出方程。 【详解】根据数量关系列方程    解：                                  11． 解： 【分析】由图可知，绵羊的数量是山羊的2倍少15只，山羊有只，绵羊有45只，因此可列方程：。 【详解】                                           所以山羊有30只。 12．19页 【分析】根据题意可知，每天看的页数×看了的天数，再加上剩下的页数就是总页数。据此列方程，并利用等式的性质1和2进行解方程。 【详解】3x＋48＝105 解：3x＋48－48＝105－48 3x＝57 3x÷3＝57÷3 x＝19 所以每天看19页。 13．3x＋20＝26； x＝2 【分析】由题意可知：3个苹果加1个南瓜的总价是26元，根据这个等量关系列方程。 【详解】1个苹果x元。 3x＋20＝26 解：3x＋20－20＝26－20 3x＝6 3x÷3＝6÷3 x＝2 1个苹果2元。 14．x＋3x＋36＝276 x＝60 【分析】由图可知：第一段表示的是x人，第二段是第一段的3倍还多36人，可表示为：3x＋36，两段加起来是276人。据此列方程解答。 【详解】x＋3x＋36＝276 解：4x＋36＝276 4x＋36－36＝276－36 4x＝240 4x÷4＝240÷4 x＝60 15． 【分析】据图很容易看出数量间的相等关系：3个m米加上2个5米等于100米，由此列方程，然后再解答。 【详解】 解： 所以根据如图列出方程是。 16．2x＋80＝320 x＝120 【详解】2x＋80＝320 解：2x＋80－80＝320 －80 2x＝240 2x÷2＝240÷2 x＝120 17．x＝22 【分析】根据图可知等量关系为：4个桶的总价＋2个杯子的总价＝104元，据此列出方程，先计算出8与2的积是16，再根据等式性质1，方程两边同时减16，计算出得数，再根据等式性质2，方程两边同时除以4，即可解答此题。 【详解】4x＋8×2＝104 解：4x＋16＝104 4x＋16－16＝104－16 4x＝88 4x÷4＝88÷4 x＝22 18．5x＝150 【分析】从图中可知，水泥x千克，沙子有150千克，是水泥的5倍，求水泥有多少千克？ 根据题意可得等量关系：水泥的质量×5＝沙子的质量，据此列出方程。 【详解】5x ＝150 解：5x÷5＝150÷5 x＝30 水泥30千克。 1 学科网（北京）股份有限公司 $