专题04：长方体的表面积（计算专项训练）数学北师大版五年级下册

专题04：长方体的表面积 计算专项训练 一、长方体表面积的意义 长方体有6个面（相对的两个面完全相同），长方体的表面积就是围成长方体的6个面的面积总和。它是表示长方体表面大小的量，常用于解决包装、粉刷、制作无盖长方体容器等实际问题。 二、长方体表面积的核心计算公式 1.基础公式（完整6个面）： 长方体表面积 （解读：是上/下面的面积，是前/后面的面积，是左/右面的面积，先算3组相对面的面积和，再乘2就是6个面的总面积）； 2.简化计算：可先计算的和，再乘2，避免重复计算； 3.特殊情况公式（高频考点）： ① 无盖长方体（如鱼缸、水槽）：（少一个上面/下面）； ② 只有4个面的长方体（如通风管、柱子）：（少上、下两个面）。 题型1：已知长、宽、高，计算完整长方体的表面积 典型例题：一个长方体礼盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，包装这个礼盒（不计包装纸重叠部分），需要多少平方厘米的包装纸？ 解题思路：包装礼盒需要覆盖长方体的6个面，属于“完整长方体表面积”计算，先确定长cm、宽cm、高cm，代入基础公式逐步计算。 解题过程 步骤1：计算3组相对面的面积分别是多少； 上/下面面积：（平方厘米）； 前/后面面积：（平方厘米）； 左/右面面积：（平方厘米）； 步骤2：计算3组相对面的面积和； （平方厘米）； 步骤3：计算6个面的总面积（乘2）； （平方厘米）； 答：需要280平方厘米的包装纸。 跟踪训练：计算下列长方体的表面积（单位：厘米） 长8，宽4，高3； 长12，宽5，高6； 长7.5，宽5，高4（小数计算，注意小数点对齐）。 题型2：计算无盖长方体的表面积（高频应用题） 典型例题：一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽4分米，高5分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（不计玻璃厚度） 解题思路：无盖鱼缸只有5个面（少一个上面），需用“完整表面积 - 上面面积”，或直接代入无盖公式计算，注意单位统一（本题单位一致，可直接计算）。 解题过程 方法一：用完整表面积减去上面面积； 完整表面积：（平方分米）； 上面面积：（平方分米）； 无盖表面积：（平方分米）； 方法二：直接代入无盖公式； （平方分米）； 答：制作这个鱼缸至少需要152平方分米的玻璃。 跟踪训练 1. 一个无盖的长方体铁皮水槽，长60厘米，宽30厘米，高25厘米，制作这个水槽需要多少平方厘米的铁皮？ 2. 一个无盖的长方体收纳盒，长5分米，宽3分米，高4分米，给收纳盒的外表面刷油漆（底面不刷），刷油漆的面积是多少平方分米？ 题型3：计算只有4个面的长方体表面积（通风管/柱子类） 典型例题：一个长方体通风管，长2米，横截面是长3分米、宽2分米的长方形，制作这个通风管至少需要多少平方分米的铁皮？（通风管两端无封口，只算4个面） 解题思路：通风管两端无封口，只有4个侧面，没有上、下两个面，需先统一单位（2米=20分米），再代入公式计算（此处为横截面长，为横截面宽，为通风管的长）。 解题过程 步骤1：统一单位；2米 = 20分米； 步骤2：确定各部分长度；横截面长dm，宽dm，通风管长dm； 步骤3：计算4个侧面的面积和； （平方分米）； 答：制作这个通风管至少需要200平方分米的铁皮。 跟踪训练 1. 一个长方体柱子，高3米，底面是边长为4分米的正方形，给柱子的侧面刷涂料，刷涂料的面积是多少平方分米？ 2. 一个长方体通风管，长1.5米，横截面是长4厘米、宽3厘米的长方形，制作10个这样的通风管，至少需要多少平方厘米的铁皮？ 题型4：已知表面积，求长、宽、高中的一个量 典型例题：一个长方体木箱，表面积是220平方厘米，长6厘米，宽5厘米，这个木箱的高是多少厘米？ 解题思路：逆向运用长方体表面积公式，先根据，推导出“”，再代入已知的长和宽，求出高。 解题过程 步骤1：计算3组相对面的面积和； （平方厘米）； 步骤2：代入长和宽，计算的面积； （平方厘米）； 步骤3：求出的和，提取公因数计算高； （平方厘米）； ； （厘米）（保留一位小数）； 答：这个木箱的高约是7.3厘米。 跟踪训练 1. 一个长方体铁皮盒，表面积是376平方厘米，长10厘米，宽8厘米，这个铁皮盒的高是多少厘米？ 2. 一个无盖长方体水槽，表面积是420平方分米，长12分米，宽5分米，这个水槽的高是多少分米？（提示：先明确无盖表面积的公式，再逆向推导） 练习巩固 1．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 2．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 3．计算下面立体图形的表面积。（单位：cm） 4．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 5．计算下面图形的表面积。 6．下面是一个长方体盒子的平面展开图，计算原长方体的棱长总和及表面积。 7．一个长方体的表面展开图如图所示，这个长方体的表面积是( )。 8．包装一个长6cm、宽4cm、高1cm的长方体礼盒，至少需要( )cm2的包装纸。（接头处不计） 9．乐乐从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面（展开后如下图）。这个纸盒的表面积是( )cm2。 10．一个长方体，相交于同一顶点的三条棱长分别是3cm、4cm、5cm，这个长方体的表面积是( )。 11．一个长方体的长是10cm，宽是2cm，高是2cm，这个长方体有( )个面是长方形，这个长方体的棱长之和是( )cm，表面积是( )cm2。 12．笑笑打算从4根长3cm和10根长6cm的小棒中选取12根小棒搭成一个长方体框架，给这个长方体框架的每个面都糊上红纸，至少需要红纸( )cm2。 13．一个长方体无盖玻璃水箱，长是2米，宽是0.6米，高是1.5米。这个水箱占地面积有多大？制作这个水箱至少需要玻璃多少平方米？ 14．下图所示的是一个长方体形状的孔明灯示意图，它的底面是边长为30cm的正方形，高50cm。除了下底面外，其他面都要糊上安全阻燃棉纸，制作这个孔明灯至少需要多少平方厘米的安全阻燃棉纸？ 15．一个高为10cm的长方体木块，如果纵向把它切成两个相同的小长方体，表面积增加100cm2；如果横向把它切成两个相同的小长方体，表面积增加60cm2。原长方体木块的表面积是多少平方厘米？ 16．广东湛江某街边长方体“驿站”喷漆后投入使用，可供快递小哥休息。“驿站”长3m、宽2.5m、高2.2m，一面上有长方形玻璃窗，长1m、宽0.6m。“驿站”喷漆的面积是多少平方米？（下面不喷） 17．妈妈给冬冬买了一套故事书，有上、中、下三册（每册书的大小如下图），如果用彩色的包装纸将这套故事书包成一包，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 18．某工厂要加工一批长方体空调机罩（没有底面）。已知每台空调长50厘米、宽40厘米、高160厘米，做一个这样的空调机罩至少要用多少平方米的布？ 题型1：已知长、宽、高，计算完整长方体的表面积 答案：（1）136平方厘米；（2）252平方厘米；（3）175平方厘米 解析：（1）（平方厘米）；（3）（平方厘米）。 题型2：计算无盖长方体的表面积 答案：（1）5100平方厘米；（2）79平方分米 解析：（1）无盖表面积（平方厘米）；（2）底面不刷，表面积（平方分米）。 题型3：计算只有4个面的长方体表面积 答案：（1）480平方分米；（2）21000平方厘米 解析：（1）3米=30分米，侧面积（平方分米）；（2）1.5米=150厘米，1个通风管面积（平方厘米），10个总面积（平方厘米）。 题型4：已知表面积，求长、宽、高中的一个量 答案：（1）6厘米；（2）5分米 解析：（1），，（厘米）；（2）无盖公式，推导得（分米）。 练习巩固 1．1900cm2 【分析】该图形是一个长方体，长为，宽为，高为，代入长方体表面积公式计算即可。 【详解】 2．180cm2 【分析】本题考查长方体表面积的计算，需运用长方体表面积公式：（其中a为长，b为宽，h为高）。 【详解】 （cm2） 3．164cm2 【分析】长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答即可。 【详解】 （平方厘米） 所以立体图形的表面积是164平方厘米。 4． 102平方厘米 【分析】该图形实际是一个长方体，通过分析尺寸。原图形的右侧突出的长度为12厘米，包括长方体的长和宽，那么宽为（厘米）；因此长方体的长、宽、高分别为9厘米、3厘米、2厘米；长方体表面积公式为2×（长×宽＋长×高＋宽×高）。 【详解】先确定长方体的长、宽、高，长＝9厘米，高＝2厘米， 宽：（厘米） 代入表面积公式计算： （平方厘米） 该图形的表面积102平方厘米。 5．94平方厘米 【分析】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】（5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 这个长方体的表面积是94平方厘米。 6．96厘米；280平方厘米 【分析】由图可知，长方体的长是16厘米，宽是6厘米，高是2厘米，长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，把数据代入公式计算，据此解答。 【详解】棱长总和：（16＋6＋2）×4 ＝24×4 ＝96（厘米） 表面积：（16×6＋16×2＋6×2）×2 ＝（96＋32＋12）×2 ＝140×2 ＝280（平方厘米） 所以，原长方体的棱长总和是96厘米，表面积是280平方厘米。 7．10 【分析】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是2厘米，宽是1厘米，高是厘米，根据长方体的表面积＝（长宽长高宽高），代入数据，即可解答。 【详解】（厘米） （平方厘米） 因此，这个长方体的表面积是10平方厘米。 8．68 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【详解】 （） 所以包装一个长6cm、宽4cm、高1cm的长方体礼盒，至少需要68的包装纸。（接头处不计） 9．126 【分析】从展开的相邻面可知，长方体的长为6cm，宽为3cm，高为5cm。长方体表面积的计算方法是：，这是因为长方体有6个面，相对的面面积相等，因此计算三组对面的面积和再乘以2即可。 【详解】将长、宽、高的数值代入表面积公式： （cm2） 乐乐从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面，这个纸盒的表面积是126cm2。 10．94 【分析】已知一个长方体，相交于同一顶点的三条棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米，即长为3厘米、宽为4厘米、高为5厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答。 【详解】 （平方厘米） 这个长方体的表面积是94平方厘米。 11． 4 56 88 【分析】根据长方体的特征可知，这个长方体的上下面、前后面都是长为10cm、宽为2cm的长方形，共有4个这样的长方形；长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】这个长方体有4个面是长方形； 长方体的棱长总和： （厘米） 长方体的表面积： （平方厘米） 综上所述，这个长方体有4个面是长方形，棱长总和是56厘米，表面积是88平方厘米。 12．144 【分析】长方体有12条棱，分为3组，每组4条棱长度相等（分别对应长、宽、高）。题目中3cm的小棒仅4根，需全部使用作为一组 棱；6cm的小棒有10根，可提供另外两组棱各4根。因此长方体的长、宽、高只能是3cm、6cm、6cm。然后根据长方体的表面积公式，，把数据代入公式解答。 【详解】 至少需要红纸。 【点睛】本题考查了长方体的特征，以及长方体的表面积公式的灵活运用，关键是如何选择12根小棒搭成一个长方体框架。 13．1.2平方米；9平方米 【分析】第一问就是要求长方体的底面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算；第二问根据长方体的表面积知识可知，需要玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 【详解】（平方米） （平方米） 答：这个水箱占地面积有1.2平方米；制作这个水箱至少需要玻璃9平方米。 14．6900平方厘米 【分析】从题意分析可得，需在上面、前面、后面、左面、右面共5个面糊上安全阻燃棉纸。从图意可知，上面是边长30厘米的正方形，前面、后面、左面、右面是完全一样的长方形，即燃棉纸的面积等于长×高×4加上1个边长为30cm正方形的面积。据此解答。 【详解】      （平方厘米） 答：制作这个孔明灯至少需要6900平方厘米的安全阻燃棉纸。 15． 280cm2 【分析】纵向切割增加的表面积是2个“宽×高”的面，由此可求出宽；横向切割增加的表面积是2个“长×宽”的面，由此可求出长；已知高为10cm，再用长方体表面积公式计算即可。 【详解】纵向切割增加的面积为100cm2，对应2个“宽×高”的面， 宽： （cm） 横向切割增加的面积为60cm2，对应2个“长×宽”的面， 长： （cm） 表面积： （cm2） 答：原长方体木块的表面积是280平方厘米。 16．31.1平方米 【分析】驿站喷漆的面积是上面、左右两面、前后两面，玻璃窗不需要喷漆，所以喷漆的面积＝上面＋左右两面＋前后两面-玻璃窗的面积，据此列式解答即可。 【详解】 （平方米） 答：喷漆的面积是31.1平方米。 17．1046平方厘米 【分析】将这套故事书包成一包，包成的这包书近似看作是一个长方体，其中长方体的长是16厘米，宽是22厘米，高是（1.5×3）厘米；要求至少需要多少平方厘米的包装纸，也就是求这个长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入相应数值计算，所得结果即为至少需要多少平方厘米的包装纸。 【详解】1.5×3＝4.5（厘米） （16×22＋16×4.5＋22×4.5）×2 ＝（352＋72＋99）×2 ＝523×2 ＝1046（平方厘米） 答：至少需要1046平方厘米的包装纸。 18．3.08平方米 【分析】求做一个这样的空调机罩至少要用多少平方米的布，也就是求这个长方体空调机罩5个面的面积之和，因为没有底面，因此这5个面的面积之和＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】50厘米＝0.5米，40厘米＝0.4米，160厘米＝1.6米 （0.5×1.6＋0.4×1.6）×2＋0.5×0.4 ＝（0.8＋0.64）×2＋0.2 ＝1.44×2＋0.2 ＝2.88＋0.2 ＝3.08（平方米） 答：做一个这样的空调机罩至少要用3.08平方米的布。 1 学科网（北京）股份有限公司 $