专题 2.13 相交线与平行线全章考点与题型专项训练（5大考点17类题型）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.13 相交线与平行线全章考点与题型专项训练（5大考点17类题型） 目录 一．基础篇：夯实概念与基本计算 2 【考点一】概念与定义 2 ★【题型 1】对顶角与邻补角的识别 2 ★【题型 2】求一个角的余角与补角 3 ★【题型 3】理解垂线与点到直线的距离 4 ★【题型 4】同位角、内错角、同旁内角识别 6 【考点二】对顶角与余角、补角性质 7 ★【题型 5】对顶角相等 7 ★【题型 6】余角与补角的性质 10 【考点三】平行线的性质与判定 12 ★【题型 7】平行线的判定 12 ★【题型 8】平行线的性质 14 ★【题型 9】平行线的性质与判定综合 17 二．培优篇：性质与判定综合与模型应用 19 【考点四】性质与判定综合应用 19 ★★【题型 10】对顶角、余角、补角、角平分线综合 19 ★★【题型 11】平行线的性质与判定综合 22 ★★【题型 12】几何模型综合的应用 25 ★★【题型 13】平行线性质与判定的应用 29 三．拓展篇：综合创新与拓展探究 32 【考点五】相交线与平行线性质与判定综合探究 32 ★★★【题型 14】相交线与平行线与折叠综合 32 ★★★【题型 15】相交线与平行线与旋转问题探究 36 ★★★【题型 16】相交线与平行线中的存在性问题 41 ★★★【题型 17】相交线与平行线中的动态问题 45 一．基础篇：夯实概念与基本计算 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【考点一】概念与定义 ★【题型 1】对顶角与邻补角的识别 1．（25-26七年级上·上海·假期作业）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． ★【题型 2】求一个角的余角与补角 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知与互余，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南永州·期末）若的补角等于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若一个角的补角为，则这个角的余角为（） A． B． C． D． ★【题型 3】理解垂线与点到直线的距离 1．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，点O为直线上一点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2021七年级下·全国·专题练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 ★【题型 4】同位角、内错角、同旁内角识别 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【考点二】对顶角与余角、补角性质 ★【题型 5】对顶角相等 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． ★【题型 6】余角与补角的性质 1．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）填空，完成下列说理过程： 如图，，，平分，若，求的度数． 解：（已知） ___________． ，（已知） ___________． ． ，（已知） ．（等量代换） 平分， ______________________（___________） ___________ 2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，将一副三角板按不同的位置摆放，与互余的摆放方式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·重庆荣昌·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，如图1，（），若，，则 .若图2中与互余， 与互余，直接写出的度数为 .（用含的式子表示） 【考点三】平行线的性质与判定 ★【题型 7】平行线的判定 1．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 2．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． ★【题型 8】平行线的性质 1．（23-24七年级下·吉林·月考）如图，，，平分交于点E．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，平分，平分，如果，那么 ． 3．（2025·河南安阳·一模）如图，，，垂足是D，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． ★【题型 9】平行线的性质与判定综合 1．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为 ． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，D、E、F分别在的三条边上，且，．若，平分，求的度数． 二．培优篇：性质与判定综合与模型应用 【考点四】性质与判定综合应用 ★★【题型 10】对顶角、余角、补角、角平分线综合 1．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，则是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，点O是直线上一点，在上方从左到右依次作射线，且平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则的补角是，正确的是 ．（填序号） 3．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． ★★【题型 11】平行线的性质与判定综合 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角的补角与的余角之差为______°； （2）如果锐角的补角为，那么是的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果和互余，且，直接写出此时的度数． 2．（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． ★★【题型 12】几何模型综合的应用 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，，若，则 ． 2．（23-24七年级下·陕西西安·月考）铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知在直角三角尺中，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点C与三角尺的直角顶点D重合，，则的度数是______． (2)如图2，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，求的度数． (3)如图3，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，请直接写出与之间的数量关系． ★★【题型 13】平行线性质与判定的应用 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 2．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的情景，图2是其平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，求上折臂与路灯的夹角的度数．    三．拓展篇：综合创新与拓展探究 【考点五】相交线与平行线性质与判定综合探究 ★★★【题型 14】相交线与平行线与折叠综合 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数为 ． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数为 ． ②若，请求出的度数． ★★★【题型 15】相交线与平行线与旋转问题探究 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）2024年2月，“顺遂安康  龙腾盛世”长江主题灯光秀在武汉展演，两条笔直且平行的景观道、上放置两盏激光灯（如图所示），灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至就停止旋转.两灯不间断照射；灯先转动2秒，灯才开始转动，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是（    ） A．1或6秒 B．8.5秒 C．3或6秒 D．1或8.5秒 2．（24-25七年级下·江西宜春·期末）五一假期，“绚丽赣江景，多彩英雄城”南昌一江两岸主题灯光秀盛大上演．在赣江边两条笔直且平行的观景栈道上分别设有P，Q两盏激光灯（如图），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转45秒，光线才开始转动．当光线旋转时间为 秒时，． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． ★★★【题型 16】相交线与平行线中的存在性问题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，A，B分别是两边上的定点，C是射线上的动点，过点C作线段（点D在内部），且，连结，已知，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． (3)在点C从点O出发，沿着射线移动的过程中，是否存在点C，能使？若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则 ． 3．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当，且点在直线的上方时，解决下列问题：（友情提示：） (1)①若，则的度数为___________； ②若，则的度数为___________； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出的度数所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． ★★★【题型 17】相交线与平行线中的动态问题 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，，是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折，得到，当的三边与的三边有一组边平行时，的度数为 3．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.13 相交线与平行线全章考点与题型专项训练（5大考点17类题型） 目录 一．基础篇：夯实概念与基本计算 2 【考点一】概念与定义 2 ★【题型 1】对顶角与邻补角的识别 2 ★【题型 2】求一个角的余角与补角 3 ★【题型 3】理解垂线与点到直线的距离 4 ★【题型 4】同位角、内错角、同旁内角识别 6 【考点二】对顶角与余角、补角性质 7 ★【题型 5】对顶角相等 7 ★【题型 6】余角与补角的性质 10 【考点三】平行线的性质与判定 12 ★【题型 7】平行线的判定 12 ★【题型 8】平行线的性质 14 ★【题型 9】平行线的性质与判定综合 17 二．培优篇：性质与判定综合与模型应用 19 【考点四】性质与判定综合应用 19 ★★【题型 10】对顶角、余角、补角、角平分线综合 19 ★★【题型 11】平行线的性质与判定综合 22 ★★【题型 12】几何模型综合的应用 25 ★★【题型 13】平行线性质与判定的应用 29 三．拓展篇：综合创新与拓展探究 32 【考点五】相交线与平行线性质与判定综合探究 32 ★★★【题型 14】相交线与平行线与折叠综合 32 ★★★【题型 15】相交线与平行线与旋转问题探究 36 ★★★【题型 16】相交线与平行线中的存在性问题 41 ★★★【题型 17】相交线与平行线中的动态问题 45 一．基础篇：夯实概念与基本计算 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【考点一】概念与定义 ★【题型 1】对顶角与邻补角的识别 1．（25-26七年级上·上海·假期作业）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题的解题思路是逐一观察选项中的角，看是否符合对顶角的定义； 本题考查了对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与的两边不是互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； B、与的两边分别互为反向延长线，且有公共顶点，所以是对顶角，符合题意； C、与的两边不是互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； D、与的两边不是互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意． 故选：B． ★【题型 2】求一个角的余角与补角 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知与互余，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查互余定义，角度计算，熟记互余定义及角度运算是解决问题的关键． 根据互余角的定义，得到，代入已知角度计算即可得到答案． 【详解】解：与互余， ， ， 故选：A． 2．（25-26七年级上·湖南永州·期末）若的补角等于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查补角的定义：“和为的两个角互为补角”，角度制．根据“和为的两个角互为补角”，用即可得． 【详解】解：∵的补角是， ∴． 故选：D． 3．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若一个角的补角为，则这个角的余角为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角和补角，解答的关键是明确互为补角的两角之和为，互为余角的两角之和为．根据补角定义求出这个角，再根据余角定义求出余角． 【详解】解：∵这个角的补角为， ∴这个角， ∴余角， 故选：A． ★【题型 3】理解垂线与点到直线的距离 1．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，点O为直线上一点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，掌握垂直的定义是解题的关键．根据垂直的定义可得，即可得解． 【详解】解：， ， ， 故选：． 2．（2021七年级下·全国·专题练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：根据题意，若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． ★【题型 4】同位角、内错角、同旁内角识别 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义、三线八角的定义，由定义得，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于，即可求解． 【详解】解：， ∠3的同位角等于， ∠3的内错角等于， ∠3的同旁内角等于， 故答案为：，，，． 【考点二】对顶角与余角、补角性质 ★【题型 5】对顶角相等 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：于， ， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题考查对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 本题观察图形中与的位置关系，判断其对应的角的性质，进而确定的依据． 【详解】解：由图可知，与是对顶角． 已知，因此． 故答案为：对顶角相等． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （1）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分在直线的上方和在直线的下方两种情况，然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①如图，当在直线的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，当在直线的下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． ★【题型 6】余角与补角的性质 1．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）填空，完成下列说理过程： 如图，，，平分，若，求的度数． 解：（已知） ___________． ，（已知） ___________． ． ，（已知） ．（等量代换） 平分， ______________________（___________） ___________ 【答案】；；；；角平分线定义； 【分析】本题考查直角的定义、余角的性质和角平分线的定义，解题的关键是先找准相等的余角，再利用角平分线的倍数关系逐步推导． 先利用直角的定义和余角的性质求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后通过角的差的运算求出的度数． 【详解】解：（已知）， ， （已知）， ， ， （已知）， （等量代换）， 平分， （角平分线定义）， ． 2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，将一副三角板按不同的位置摆放，与互余的摆放方式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角与补角、余角和补角的性质，解决本题的关键是根据三角板中角的位置关系判断角之间的关系． 【详解】解：A选项：根据同角的余角相等，可得：，故A选项不符合题意； B选项：由图可知，，故B选项不符合题意； C选项：由图可知，，与互余，故C选项符合题意； D选项：由图可知，与互补，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26七年级上·重庆荣昌·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，如图1，（），若，，则 .若图2中与互余， 与互余，直接写出的度数为 .（用含的式子表示） 【答案】 或 【分析】本题考查平角的性质，两角互余的性质和相关角度计算，分类讨论是解题的关键； （1）根据点B、O、C共直线和互余的性质解答即可； （2）分点E在内部或外部两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，，点B、O、C在同一条直线上， ∴，即； （2）解：如图， 当点E在内部时， ∵与互余， 与互余， ∴， ∴， 当点E在外部时，即 同理得， ∵与互余， ， ∴，， ∴， ∴的度数为或． 【考点三】平行线的性质与判定 ★【题型 7】平行线的判定 1．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． 2．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：①， （同位角相等，两直线平行）； ②， （内错角相等，两直线平行）； ③， （同旁内角互补，两直线平行）； 综上所述，添加条件或或，使得． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法分析即可． 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可得，不符合题意； B、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不能判定，符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，可得，不符合题意； 故选：B． ★【题型 8】平行线的性质 1．（23-24七年级下·吉林·月考）如图，，，平分交于点E．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． （1）先由平行线的性质得，进而得∠ADC=110°，再根据角平分线的定义可得出答案； （2）先由平行线的性质得，再根据得，据此即可判定与的位置． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， （2）解：与的位置关系是：． 理由如下： 由（1）可知：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，平分，平分，如果，那么 ． 【答案】155 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 利用邻补角互补，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵和互补， ∴． 故答案为：155． 3．（2025·河南安阳·一模）如图，，，垂足是D，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线和余角的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；根据题意，得，根据余角的性质得，再根据两直线平行，内错角相等的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． ★【题型 9】平行线的性质与判定综合 1．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【详解】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点A作，则，根据平行线的性质得到，由垂线的定义可得，据此求出的度数，进而求出的度数，则可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，D、E、F分别在的三条边上，且，．若，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由平行线的性质可得、，得，由角平分线的定义可得，再证明，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二．培优篇：性质与判定综合与模型应用 【考点四】性质与判定综合应用 ★★【题型 10】对顶角、余角、补角、角平分线综合 1．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质与平角、直角的角度计算，解题的关键是利用角平分线的定义，结合平角、直角的度数推导各角的关系． 先根据平角和角平分线的性质求出的度数，再结合直角和角平分线的性质求出的度数，最后将与相加得到的度数． 【详解】解∶在直线上 平分，平分 平分，平分 故选D． 2．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，点O是直线上一点，在上方从左到右依次作射线，且平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则的补角是，正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，余角与补角的定义，一元一次方程的应用，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． 设，根据余角与补角的定义，角平分线的定义，角度之间的和差关系，并结合一元一次方程，逐一进行分析判断，即可解题． 【详解】解：①， ， 与互为余角， 故①正确； ②设， ， 平分， ， 即根据已有条件推不出， 故②错误； ③设， 则，， ， 故③正确； ④设，若， 则， 解得， ， ， 则的补角是， 故④正确； 综上所述，正确的是①③④； 故答案为：①③④． 3．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，则，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． ★★【题型 11】平行线的性质与判定综合 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角的补角与的余角之差为______°； （2）如果锐角的补角为，那么是的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果和互余，且，直接写出此时的度数． 【答案】 （1）； （2）证明见解析； （3）或． 【分析】本题考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键； （1）通过补角和余角的定义直接计算差值； （2）利用补角和余角的定义和代数变换证明； （3）根据角的位置关系分情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵锐角的补角为钝角，的余角为锐角， ∴锐角的补角与的余角之差为， 故答案为：90． （2）证明：∵锐角的补角为， ∴， ∴， ∴是的余角． （3）解：设，则， 当在与之间时，， ∴，解得； 当在与之间时，， ∴，解得， ∴的度数为或． 2．（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线判定与性质、三角板中角度计算问题． 若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若，则； ∴，故②错误； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； 若，由③得， 由①得：， ∴，故④正确； 即正确的结论有3个． 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．根据角平分线的定义，推出，进而得到，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点F，平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90 ★★【题型 12】几何模型综合的应用 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，，若，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查垂直的定义，平行线的应用，由垂直可得，进而求出，再由平行线的性质得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·陕西西安·月考）铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知在直角三角尺中，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点C与三角尺的直角顶点D重合，，则的度数是______． (2)如图2，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，求的度数． (3)如图3，直线，三角尺的顶点C在直线上，顶点A在直线上，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图中角度的计算，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）根据平行线的性质即可得出结果； （2）根据平行线的性质计算即可得出结果； （3）延长到点P．由平行线的性质可得，再根据平角的定义求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：． 如图，延长到点P． ， ∵， ∴， ∵， ∴． ★★【题型 13】平行线性质与判定的应用 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1) (2)与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）构造平行线，利用平行线的性质求解； （2）过点作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）解：如图，作，则， （两直线平行，同旁内角互补），（两直线平行，内错角相等）， ， 故答案为：； （2）解：过点作， 由题意可知：，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即：与所成锐角的度数为． 2．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的情景，图2是其平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，求上折臂与路灯的夹角的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用． 过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 三．拓展篇：综合创新与拓展探究 【考点五】相交线与平行线性质与判定综合探究 ★★★【题型 14】相交线与平行线与折叠综合 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握这两个性质是关键；由第一次折叠知，，，则；由第二次折叠得，，则，；由，得，由此即可求得与的关系式． 【详解】解：如图，由第一次折叠知，，， ， ； 由第二次折叠得，， ，， 则； ， ， 即， ． 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ． 【答案】76 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，先由折叠的性质和平角的定义得到，再由折叠的性质和平行线的性质推出，据此可得答案． 【详解】解：如图：    ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵彩带对边平行， ∴， ∵折叠，彩带对边平行， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数为 ． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数为 ． ②若，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补角和为以及平角为 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建立方程等方法来求解角度． （1）本题涉及平行线的性质以及折叠的性质．利用得到角的关系，再结合折叠前后角相等的性质来求解的度数． （2）①根据折叠性质和邻补角的定义求出相关角的度数，再利用平角的度数为来计算的度数．②设未知数，依据折叠性质、平行线性质以及平角定义建立方程，从而求解的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴折叠可知． 又∵， ∴． （2）解：①∴折叠可知， ∴． 又∵，且， ∴． ②设，则． ∵， ∴． ∴折叠可知，． ∵，，，且， ∴，． ∴， 又∵， ∴， 解得． ∴． ★★★【题型 15】相交线与平行线与旋转问题探究 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）2024年2月，“顺遂安康  龙腾盛世”长江主题灯光秀在武汉展演，两条笔直且平行的景观道、上放置两盏激光灯（如图所示），灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至就停止旋转.两灯不间断照射；灯先转动2秒，灯才开始转动，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是（    ） A．1或6秒 B．8.5秒 C．3或6秒 D．1或8.5秒 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，设灯旋转的时间秒，根据灯光束的运动情况得出，分情况，根据平行线的判定，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，熟练掌握平行线的判定，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：设灯旋转的时间秒， 灯光束第一次达到需要（秒）， ，即， 由题意，满足以下条件时，两灯的光速能互相平行， 如图，， ， 此时， 解得：； 如图，， ， 此时或， 解得：或； 综上所述，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是1或8.5秒， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江西宜春·期末）五一假期，“绚丽赣江景，多彩英雄城”南昌一江两岸主题灯光秀盛大上演．在赣江边两条笔直且平行的观景栈道上分别设有P，Q两盏激光灯（如图），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转45秒，光线才开始转动．当光线旋转时间为 秒时，． 【答案】或或 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 设当光线旋转时间为秒时，．根据运动情形分种情况①当时，延长交于点，②当时，延长交于点，③当时，延长交于点，结合平行线的性质及一元一次方程求解，即可解题． 【详解】解：光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至， 则光线到所用时间为：， 光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边，且光线先转45秒， 则光线到所用时间为：， 设当光线旋转时间为秒时，． ①当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得， ②当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得； ③当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，或或， 故答案为：或或． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义并结合平行线的性质计算即可得解； （2）①由平行线的性质结合题意求出，从而可得，解方程即可；②分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图， ， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）解：如图中， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； ⅰ.如图，当时，延长交于点I， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以； ⅱ.如图中，当时，延长交于点J， 因为， 所以， 因为，， 所以 所以， 所以， 综上所述，满足条件的t的值为或． ★★★【题型 16】相交线与平行线中的存在性问题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，A，B分别是两边上的定点，C是射线上的动点，过点C作线段（点D在内部），且，连结，已知，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． (3)在点C从点O出发，沿着射线移动的过程中，是否存在点C，能使？若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质求角的度数． （1）根据平行线的性质求解即可． （2）过点作，由平行线的性质得出，根据线段的和差关系即可得出，再证明，再由平行线的性质即可得出的度数． （3）分两种情况，当点在点左侧时和当点在点右侧时，设，则，过点作．根据平行线的性质列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． （2）解：如图1，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 由（1）知， 所以， 所以． 所以． （3）解：存在，理由如下： 设，则， 过点作． 因为， 所以． 如图2，当点在点左侧时，， 由（2）知， 所以， ∴， 解得：， 即：． 如图1，当点在点右侧时，， 由（2）知， 所以，， 解得：， 即：． 综上所述：的度数为或． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用平行线的性质以及角的和差关系进行计算．分两种情况：点O在和之间，点在上方，过O作，依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：分两种情况： 当点O在和之间时， 过点O作，如图①，则， ； 当点O在上方时， 过点O作，如答图②，则 ．           图①                      图② 3．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当，且点在直线的上方时，解决下列问题：（友情提示：） (1)①若，则的度数为___________； ②若，则的度数为___________； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出的度数所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)与互补，理由见解析 (3)存在一组边互相平行，或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和与差，明确题意，准确得到角与角间关系是解题的关键． （1）①根据，，可得，再由，即可求解；②由，可得，再由 ，即可求解； （2）根据，可得，从而得到 ，即可求解； （3）分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解①，， ， ； ②，， ， ； （2）解与互补．理由如下： ， ， 又， ， ； （3）解存在一组边互相平行． 当时，， 此时， 当时，， 此时， 此时． ★★★【题型 17】相交线与平行线中的动态问题 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，过点作，运用平行线的性质得，即，又因为，的平分线相交于点N，得，同理得，所以，即可作答． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点N， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，，是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折，得到，当的三边与的三边有一组边平行时，的度数为 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，注意分类讨论；分三种情况考虑，利用折叠的性质及平行线的性质即可求解． 【详解】解：由折叠知，； ①如图，当时，则， ∴， ∴； ②如图，当时， 则， ∴ ∴，， ∴； 同理，当点D在延长线上，且时，， 也有； ③如图，，则， ∵， ∴； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 3．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论等知识，属于常考题型，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，然后根据平角为证明即可； （2）过点P作，根据平行线的性质和判定求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵ ∴， ∴； （2）如图所示，过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $