专题 2.4 相交线与平行线（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.4 相交线与平行线（全章知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】对顶角、余角、补角定义 1 ★【题型 1】对顶角的识别 1 ★【题型 2】补角与余角的识别 3 ★【题型 3】求一个角的余角、补角 5 【知识点二】对顶角、余角、补角的性质 7 ★【题型 4】利用对顶角的性质求值 7 ★【题型 5】利用补角与余角性质求值证明 9 【知识点三】垂直及垂直的性质、距离 12 ★【题型 6】垂直定义的理解及画垂线 12 ★【题型 7】垂线的性质及点到直线的距离 14 【知识点四】平行线的判定 16 ★【题型8】平行线的判定 16 【知识点五】平行线的性质 18 ★【题型9】平行线的性质 18 ★【题型 10】平行线的性质与判定综合 20 二.综合培优题型精析 23 ★★【题型 11】对顶角、邻补角、角平分线综合 23 ★★★【题型 12】平行线的性质与判定综合求值证明 29 ★★★【题型 13】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 36 三.中考真题专练 41 （一）选择题（中考真题8题） 41 （二）填空题（中考真题4题） 46 （三）解答题（中考模拟2题） 48 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】对顶角、余角、补角定义 （1） 对顶角：两条直线相交，其中两个角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。 ★【题型 1】对顶角的识别 【例题1】（24-25七年级上·黑龙江绥化·月考）下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24七年级下·广西柳州·期中）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是准确理解定义，正确判断．根据对顶角的概念判断即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项A中的∠1与∠2是对顶角， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、和不是对顶角，故不符合题意； B、和不是对顶角，故不符合题意； C、和不是对顶角，故不符合题意； D、和是对顶角，故符合题意； 故选：D． （2） 补角与余角：一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 ★【题型 2】补角与余角的识别 【例题2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了补角、余角的定义，对顶角的性质，以及角平分线和垂直的性质，解题的关键是结合图形在钝角内部）利用相关定义和性质逐一分析各选项． ​根据邻补角定义判断与的关系；结合和平分，推导与的和是否为；依据补角定义和图形中角的位置关系分析与相关角的补角关系；根据对顶角定义判断的对顶角． 【详解】解：∵、相交于点O平分，且在钝角内部，​ ∴． A、∵与组成平角，即， ∴与互为补角，此选项不符合题意； B、∵， ∴，即互为余角，此选项不符合题意； C、∵， ∴，互为补角，此选项不符合题意； D、∵的对顶角是，而非， ∴此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（2025·陕西商洛·一模）如图，直线交于点，则图中与一定互余的角的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是垂直的定义，互余的含义，根据垂直的含义与对顶角的性质可得，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴图中与一定互余的角的个数为个， 故选：C 【变式2】（25-26七年级上·湖南衡阳·月考）如图，点、、是在同一直线上，平分、平分，则下列说法中错误的是（   ） A．是直角 B．与互余 C．和互余 D．与互余 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，互余和互补的定义， 根据角平分线的定义得，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， 即， ∴，， 即与互余，与互余，与互补． 所以A，B，C正确；D错误． 故选：D． ★【题型 3】求一个角的余角、补角 【例题3】（25-26六年级上·上海浦东新·期末）已知，与互余，与互补，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与余角，补角有关的计算．根据互余和互补的定义，先求出和的大小，再进行分类讨论且作图，运用角的和差关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴ ∵与互补， ∴， ∴， 当在的内部时，如图所示： ∴； 当在的外部时，如图所示： ∴， 综上：或， 故答案为：或． 【变式1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知与互为补角，，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查补角和余角的概念，熟记定义是解题关键．根据补角定义求出，再根据余角定义求出的余角． 【详解】解：∵与互为补角，， ∴， ∴的余角． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若的余角为，则的补角的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的补角和余角，熟练掌握角的补角和余角是解题的关键； 先计算出的度数，从平角为互补角的和，从而解得． 【详解】解：的余角为， ， 的补角为， 故答案为：． 【知识点二】对顶角、余角、补角的性质 （一）对顶角性质：对顶角相等。 ★【题型 4】利用对顶角的性质求值 【例题4】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，直线，相交于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，理解对顶角的性质是正确解答的关键．根据对顶角相等以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．由对顶角的性质得，进而可得出的度数． 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·北京海淀·月考）如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线，角平分线定义，对顶角、邻补角，由垂直的定义得到，由平角定义求出，由角平分线定义得到，由对顶角相等得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：D． （3） 补角与余角性质：同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 ★【题型 5】利用补角与余角性质求值证明 【例题5】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）将一副直角三角板按不同位置摆放，摆放方式中与互补的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角，补角及平角的定义．根据等角的补角相等，同角的余角相等，平角的定义和三角板的度数对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、根据同角的余角相等可得，故本选项不符合题意； B、根据等角的补角相等可得，故本选项不符合题意； C、，与互余，故本选项不符合题意； D、，与互补，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确． 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， 而∠AOF=∠DOF， ∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF， 即∠COE=∠BOE，所以①正确； ∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°， 所以②正确； ∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD， 而，所以③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴∠BOE+∠BOF=180°， ∵∠COE=∠BOE， ∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确． 所以，正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，准确识图是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·广东湛江·期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起． (1)若，则______，______，______； (2)比较与的大小关系，并说明理由； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查角的计算，熟练运用角的和差是解题的关键． （1）根据角的和差即可得出答案； （2）根据同角的余角相等，即可得出答案； （3）根据角的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ，理由如下： ∵，， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 【知识点三】垂直及垂直的性质、距离 1.性质：（1）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 2.点到直线距离：过直线外一点作已知直线的垂线，这一点到直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离。 ★【题型 6】垂直定义的理解及画垂线 【例题6】（24-25七年级下·福建龙岩·月考）如图，直线与相交于点，，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直的意义和平角，解题的关键是掌握垂线的性质，根据垂线的性质以及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【答案】(1)图见解析 (2)， 【分析】（1）根据过一点作垂线段的基本作图，解答即可； （2）根据点到直线的距离，垂线段最短解答即可． 本题考查了垂线段的基本作图，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握基本作图，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）解：根据过一点作垂线段的基本作图，作图如下： 则点H即为所求． （2）解：根据题意，得线段的长度是点P到的距离， 根据斜边大于任何一条直角边，得， 故答案为：，． 【变式2】（2025·河南开封·二模）如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的和差运算，解题的关键是熟练运用对顶角的性质以及垂直的定义，根据垂直的定义得到，从而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． ★【题型 7】垂线的性质及点到直线的距离 【例题7】（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4， 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·北京·期中）如图，点A，B，C，D在直线l上，点P在直线l外，于点，在线段，，，中，最短的一条线段是 ，理由是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查的是垂线段最短，根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短求解即可． 【详解】点，，，在直线上，点在直线外，于点， 在线段，，，中，最短的一条线段是． 故答案为：，垂线段最短． 【变式2】（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【答案】（1）图见解析；（2）；（3），垂线段最短 【分析】本题考查了作垂线、点到直线的距离、以及垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用三角板的两条直角边画图：“一落”、“二移”、“三画”即可得； （2）根据点到直线的距离的定义解答即可得； （3）根据垂线段最短解答即可得． 【详解】解：（1）过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交于点，如图所示： （2）∵是的垂线， ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （3）线段、的大小关系为．理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【知识点四】平行线的判定 （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简述为：同位角相等，两直线平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。 （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 （4）平行于同一条直线的两条直线平行。 ★【题型8】平行线的判定 【例题8】（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定定理逐项进行分析即可求解． 【详解】A．与是与被直线所截形成的同位角，由能推出直线，故该选项不符合题意； B．与是与被直线所截形成的同位角，由能推出直线，但不能推出直线，故该选项符合题意； C．与是与被直线所截形成的同旁内角，由能推出直线，故该选项不符合题意． D．与是与被直线所截形成的内错角，由能推出直线，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； 不能推出，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 综上所述，能判定的条件是①③④， 故答案为：①③④． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【答案】② 【分析】本题主要考查了对顶角定义，平行公理应用，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的定义、平行公理及推论，对顶角性质．根据对顶角性质，平行线的概念、平行公理及推论，逐项进行判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②根据平行公理的推论可知：如果，，那么，故②正确； ③相等的角不一定是对顶角，故③错误； ④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，故④错误； 综上分析可知：正确的是②． 故答案为：②． 【知识点五】平行线的性质 （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简述为：两直线平行,同位角相等。 （2）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简述为：两直线平行,内错角相等。 （3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简述为：两直线平行,同旁内角互补。 ★【题型9】平行线的性质 【例题9】（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先利用的内错角相等，得到，再结合的直角性质，用减去求出； （2）先通过平行线和已知条件推出，再利用等角的余角相等，证明，从而说明平分． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即平分． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的判定，掌握两直线平行，内错角相等、等角的余角相等是解题的关键． 【变式1】（2025八年级上·山东青岛·专题练习）已知和的两边分别平行，比的4倍少30度，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质、解一元一次方程，根据平行线的性质，两个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补，再结合与的数量关系列方程求解． 【详解】设的度数为x，则．由于和的两边分别平行，因此或． 当时，，解得； 当时，，解得． 故的度数为或． 故答案为：或． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． ★【题型 10】平行线的性质与判定综合 【例题10】（24-25七年级下·河南漯河·期中）完成下面的证明． 已知，如图，，，于H，求证：． 证明：（已知） __________． ∵（已知）， （      ）； __________．（      ）； ∵（已知）， __________（等量代换）， （      ）； ____________________（两直线平行，同位角相等）， ． 【答案】90．同位角相等，两直线平行；．两直线平行，内错角相；；同位角相等，两直线平行；、． 【分析】本题考查了平行线，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键． 根据平行线的判定和性质，垂直定义解答． 【详解】证明：（已知）， ． （已知）， （同位角相等，两直线平行）， ．（两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ． 故答案为：90．同位角相等，两直线平行；．两直线平行，内错角相；；同位角相等，两直线平行；、． 【变式1】（25-26七年级上·山西·月考）如图，直线分别与直线，相交于点N，M，平分，交直线于点G，若，射线于点G，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算问题，角平分线的有关计算，平行线的判定和性质等知识，根据题意分两种情况，当射线在直线上方时和当射线在直线下方时，画出图形分别求解即可． 【详解】解：根据题意分两种情况： 当射线在直线上方时： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当射线在直线下方时： 同理可得出，， ∴ 综上：的度数为或． 故答案为：或． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在和中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握由内错角相等判定两直线平行，再利用平行线的同旁内角互补计算角度是解题的关键． 先由判定，再利用平行线的性质，结合的度数计算的度数． 【详解】解：∵， （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． ， ∴． 故选：C． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 11】对顶角、邻补角、角平分线综合 【例题11】（25-26七年级上·河南·期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点O在直线上， ∴， ∵， ∴， ， ∴平分， ∴　　　　， ∵，， ∴　　　　． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： (1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． (2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由． (3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 【答案】(1)70，160 (2)正确，理由见解析，或 (3)或 【分析】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键． （1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可； （2）由题意，还有在的外部时的情况，根据平角定义求解即可； （3）由题意，，，分在的内部和在的外部，由求出即可． 【详解】（1）解：∵点O在直线上， ∴， ∵， ∴， ， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：70；160； （2）解：正确，理由如下： 当在的外部时，如图所示： ∵点O在直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴，， 当在的内部时，如图， ∵， ∴平分， ∴，即 ∴， 解得：； 当在的外部时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上，或． 【变式1】（25-26七年级上·重庆合川·期末）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线定义的理解，余角的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）根据及平分，可求出的度数，进而求出的度数，再根据平分，求出的度数，最后根据解答即可； （2）根据，表示出，再结合平分可表示出、，从而表示，根据平分，表示出，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求的度数； (2)如果，则 （用含n的代数式表示）； (3)图中与互余的角有： ． 【答案】(1)，(2) (3)，； 【分析】（1）按照补角的定义求即可，根据对顶角相等以及角平分线的定义求即可； （2）按照角平分线的定义以及对顶角的性质即可求解； （3）根据互余的两角之和为解答即可． 【详解】（1）解：直线、相交于点，， ， 平分， ， ∵ ， （2）解：直线、相交于点，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， 与互余， ， ， 平分， ， ， 与互余， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了角的计算，对顶角的性质，互为余角的定义，角平分线的定义，理解对顶角的性质，互为余角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． ★★★【题型 12】平行线的性质与判定综合求值证明 【例题21】（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，、，，求证：． （2）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题关键是利用垂直得直角、对顶角相等、角平分线分角等条件，结合平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）进行推理． （1）由、得，结合推出，利用内错角相等，两直线平行，证． （2）由对顶角相等得，结合得，证，得；再由角平分线定义得、，推出，利用内错角相等，两直线平行，证． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， ． （2）证明：与是对顶角， ， ， ， ， ， 平分平分， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知直线，直线分别交，于点，，点在上且在点右侧，点在直线与之间，连接，，且平分． (1)如图1，过点作，若． ①求证：； ②若点在直线与之间，且，试判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点在直线上且在直线的上方，连接，的延长线平分，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析； (2)见解析． 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、角平分线的相关计算等知识，添加平行线是解题的关键． （1）①根据平行线的性质和判定证明；②设，证明，得到，即可得到结论； （2）过作，过作，设，，证明，由即可证明结论． 【详解】（1）①证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴； ②，理由如下： 设 ∵， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）证明：过作，过作， 设， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵，平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 又∵ ∴ 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，直线分别与、相交于、． 【阅读理解】 （1）如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据． 解：、分别平分和， 可设，（　　）， ， （　　）， ． 又， ． ，即． 【推广应用】 （2）如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数． 【拓展提升】 （3）如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 【答案】（1）角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补 （2）， （3）或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】解：（1）、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ，即． 故答案为：角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． ★★★【题型 13】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 【例题13】（24-25七年级下·广东广州·期末）【知识初探】王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）． （1）通过上述的折纸过程，图2的折痕与直线的位置关系是________； 如图4，________，则与的位置关系为________． 【深入探究】 （2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】 （3）王伟同学改变直线和点的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点，，，分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点，请求出的度数． 【答案】（1），，；（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键； （1）折叠推出，，进而得到，即可得出结论； （2）作，得到，推出，即可得出结果； （3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知： 又∵ ∴ ∴ 如图4，由折叠可知：，则与的位置关系为 故答案为：，，． （2）作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； （3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴； 综上：或． 【变式1】（23-24七年级下·江苏连云港·月考）如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各角的关系可求出的度数，由，利用两直线平行，同旁内角互补可求出的度数． 【详解】解：根据图2可知折叠了1次，即，， 根据图可知折叠了2次还差个， ． ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角的计算，通过角的计算，求出的度数是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·月考）如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．    （1）若，则 °． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则 °． 【答案】 或36 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而利用平行线的性质得，然后根据折叠的性质可得，即可得出答案； （2）根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果． 【详解】解：（1）如图：      ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， 故答案为：； （2）如图：    由折叠得：， ∵， ∴， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上所述， 或， 故答案为：或36． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，翻折的变换，熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键． 三.中考真题专练 （一）选择题（中考真题8题） 1．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角，即可求解． 【详解】解：已知，则的余角为， 故选：B． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，度分秒的计算等，先利用垂直定义结合已知条件求出，然后利用平行线的性质以及度分秒的换算求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶C． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算． 由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出． 【详解】解：如图，∵    ∴， ∵在三角板中，， ∴． 故选：B 4．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 6．（2025·四川自贡·中考真题）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先证明，再证明，再结合对顶角的性质可得答案. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D 7．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板的应用，平行线的性质，根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：如答图， 由题意，得， ， ， ， ， ． 故选：B． （二）填空题（中考真题4题） 9．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    【答案】/20度 【分析】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键． 10．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，再推出，进而得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴与尺上沿的交点C在尺上的读数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确求出的长是解题的关键． 11．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：    （1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点； （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； （3）作射线交直线于点；若，则 度． 【答案】58 【分析】由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到平分是解题关键． （三）解答题（中考模拟2题） 13．（2025·湖南张家界·三模）已知直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，试求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的可得，根据平角的性质即可求解． 【详解】如图所示，， ， ， ， ， ． 答：的度数为． 14．（2025·福建福州·模拟预测）如图，直线，相交于点O，平分，，：． (1)求的度数； (2)若过点O作射线，使得，求的度数． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查角平分线，邻补角、对顶角，理解邻补角、对顶角的定义，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线定义得出，根据，得出，然后再根据平角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴可设，则， ∵， 即， 解得， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， （2）解：由（1）知，， ∴， ∵平分， ∴， 分两种情况： ①， ②， ∴． 即或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 相交线与平行线（全章知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】对顶角、余角、补角定义 1 ★【题型 1】对顶角的识别 1 ★【题型 2】补角与余角的识别 3 ★【题型 3】求一个角的余角、补角 5 【知识点二】对顶角、余角、补角的性质 7 ★【题型 4】利用对顶角的性质求值 7 ★【题型 5】利用补角与余角性质求值证明 9 【知识点三】垂直及垂直的性质、距离 12 ★【题型 6】垂直定义的理解及画垂线 12 ★【题型 7】垂线的性质及点到直线的距离 14 【知识点四】平行线的判定 16 ★【题型8】平行线的判定 16 【知识点五】平行线的性质 18 ★【题型9】平行线的性质 18 ★【题型 10】平行线的性质与判定综合 20 二.综合培优题型精析 23 ★★【题型 11】对顶角、邻补角、角平分线综合 23 ★★★【题型 12】平行线的性质与判定综合求值证明 29 ★★★【题型 13】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 36 三.中考真题专练 41 （一）选择题（中考真题8题） 41 （二）填空题（中考真题4题） 46 （三）解答题（中考模拟2题） 48 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】对顶角、余角、补角定义 （1） 对顶角：两条直线相交，其中两个角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。 ★【题型 1】对顶角的识别 【例题1】（24-25七年级上·黑龙江绥化·月考）下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·广西柳州·期中）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． （2） 补角与余角：一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 ★【题型 2】补角与余角的识别 【例题2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【变式1】（2025·陕西商洛·一模）如图，直线交于点，则图中与一定互余的角的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26七年级上·湖南衡阳·月考）如图，点、、是在同一直线上，平分、平分，则下列说法中错误的是（   ） A．是直角 B．与互余 C．和互余 D．与互余 ★【题型 3】求一个角的余角、补角 【例题3】（25-26六年级上·上海浦东新·期末）已知，与互余，与互补，则 ． 【变式1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知与互为补角，，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若的余角为，则的补角的大小是 ． 【知识点二】对顶角、余角、补角的性质 （一）对顶角性质：对顶角相等。 ★【题型 4】利用对顶角的性质求值 【例题4】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，直线，相交于点．若，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·北京海淀·月考）如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． （3） 补角与余角性质：同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 ★【题型 5】利用补角与余角性质求值证明 【例题5】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则 ． 【变式1】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）将一副直角三角板按不同位置摆放，摆放方式中与互补的是（   ） A．B．C． D． 【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25七年级上·广东湛江·期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起． (1)若，则______，______，______； (2)比较与的大小关系，并说明理由； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【知识点三】垂直及垂直的性质、距离 1.性质：（1）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 2.点到直线距离：过直线外一点作已知直线的垂线，这一点到直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离。 ★【题型 6】垂直定义的理解及画垂线 【例题6】（24-25七年级下·福建龙岩·月考）如图，直线与相交于点，，若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【变式2】（2025·河南开封·二模）如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ★【题型 7】垂线的性质及点到直线的距离 【例题7】（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】（23-24七年级下·北京·期中）如图，点A，B，C，D在直线l上，点P在直线l外，于点，在线段，，，中，最短的一条线段是 ，理由是 ． 【变式2】（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【知识点四】平行线的判定 （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简述为：同位角相等，两直线平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。 （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 （4）平行于同一条直线的两条直线平行。 ★【题型8】平行线的判定 【例题8】（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【知识点五】平行线的性质 （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简述为：两直线平行,同位角相等。 （2）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简述为：两直线平行,内错角相等。 （3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简述为：两直线平行,同旁内角互补。 ★【题型9】平行线的性质 【例题9】（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 【变式1】（2025八年级上·山东青岛·专题练习）已知和的两边分别平行，比的4倍少30度，则的度数是 ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． ★【题型 10】平行线的性质与判定综合 【例题10】（24-25七年级下·河南漯河·期中）完成下面的证明． 已知，如图，，，于H，求证：． 证明：（已知） __________． ∵（已知）， （      ）； __________．（      ）； ∵（已知）， __________（等量代换）， （      ）； ____________________（两直线平行，同位角相等）， ． 【变式1】（25-26七年级上·山西·月考）如图，直线分别与直线，相交于点N，M，平分，交直线于点G，若，射线于点G，则的度数为 ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在和中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 二.综合培优题型精析 ★★【题型 11】对顶角、邻补角、角平分线综合 【例题11】（25-26七年级上·河南·期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点O在直线上， ∴， ∵， ∴， ， ∴平分， ∴　　　　， ∵，， ∴　　　　． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： (1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． (2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由． (3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 【变式1】（25-26七年级上·重庆合川·期末）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求的度数； (2)如果，则 （用含n的代数式表示）； (3)图中与互余的角有： ． ★★★【题型 12】平行线的性质与判定综合求值证明 【例题21】（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，、，，求证：． （2）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知直线，直线分别交，于点，，点在上且在点右侧，点在直线与之间，连接，，且平分． (1)如图1，过点作，若． ①求证：； ②若点在直线与之间，且，试判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点在直线上且在直线的上方，连接，的延长线平分，求证：． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，直线分别与、相交于、． 【阅读理解】 （1）如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据． 解：、分别平分和， 可设，（　　）， ， （　　）， ． 又， ． ，即． 【推广应用】 （2）如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数． 【拓展提升】 （3）如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． ★★★【题型 13】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 【例题13】（24-25七年级下·广东广州·期末）【知识初探】王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）． （1）通过上述的折纸过程，图2的折痕与直线的位置关系是________； 如图4，________，则与的位置关系为________． 【深入探究】 （2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】 （3）王伟同学改变直线和点的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点，，，分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点，请求出的度数． 【变式1】（23-24七年级下·江苏连云港·月考）如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·月考）如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．    （1）若，则 °． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则 °． 三.中考真题专练 （一）选择题（中考真题8题） 1．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 5．（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川自贡·中考真题）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． （二）填空题（中考真题4题） 9．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    10．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为 ．    11．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 12．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：    （1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点； （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； （3）作射线交直线于点；若，则 度． （三）解答题（中考模拟2题） 13．（2025·湖南张家界·三模）已知直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，试求的度数． 14．（2025·福建福州·模拟预测）如图，直线，相交于点O，平分，，：． (1)求的度数； (2)若过点O作射线，使得，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $