2025-2026学年高一寒假精英物理讲义：第12讲 多过程动力学问题分析

多过程动力学问题分析 【目标要求】　 1.明确各个过程的运动学分析，同时能够明确各个过程的受力分析 2.理解掌握多个常见运动过程的求解思路 【体系构建】 1、程序法：按 时间 的先后顺序对题目给出的物体运动过程(或不同的状态)进行分析(包括列式计算)的解题方法可称为程序法． 2、程序法解题的基本思路是： ①划分出题目中有多少个不同的过程或多少个不同状态． ②对各个过程或各个状态进行具体分析，得出正确的结果． ③前一个过程的结束是后一个过程的开始，两个过程的交接点是问题的关键． 4、具体过程： 4.1、确定研究对象 4.2、按照速度变化的不同趋势，把运动过程分段。 4.3、分析每段运动的受力，建立运动或动力学方程 4.4、根据运动或动力学关系讨论运动，求出结果 4.5、讨论结果的物理意义 【典例1】.[2023高考湖北卷]如图所示，原长为l的轻质弹簧，一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连.小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为0.5.杆上M、N两点与O点的距离均为l，P点到O点的距离为l，OP与杆垂直.当小球置于杆上P点时恰好能保持静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g.小球以某一初速度从M点向下运动到N点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内.下列说法正确的是（　AD　） A.弹簧的劲度系数为 B.小球在P点下方l处的加速度大小为（3－4）g C.从M点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大 D.从M点到P点和从P点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同 答案 AD 解析　 【典例2】.[2023高考湖南卷]如图，光滑水平地面上有一质量为2m的小车在水平推力F的作用下加速运动.车厢内有质量均为m的A、B两小球，两球用轻杆相连，A球靠在光滑左壁上，B球处在车厢水平底面上，且与底面的动摩擦因数为μ，杆与竖直方向的夹角为θ，杆与车厢始终保持相对静止.假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.下列说法正确的是（　CD　） A.若B球受到的摩擦力为零，则F＝2mgtanθ B.若推力F向左，且tanθ≤μ，则F的最大值为2mgtanθ C.若推力F向左，且μ≤tanθ≤2μ，则F的最大值为4mg（2μ－tanθ） D.若推力F向右，且tanθ＞2μ，则F的范围为4mg（tanθ－2μ）≤F≤4mg（tanθ＋2μ） 答案 CD 解析　分析题目的三个关键前提：①对小车和A、B两小球构成的整体，根据牛顿第二定律可知F＝4ma；②对A、B两个小球构成的整体，竖直方向上小车对A、B的支持力，即对B的支持力N＝2mg；③对A和B分别分析可知杆的作用力方向始终沿杆. 若B球受到的摩擦力为零 对Ba＝gtanθ→F＝4mgtanθ，A错 若推力F向左，则系统加速度水平向左 对A 对B 若tanθ≤μ，则aBm≥aAm，即Fm＝4maAm＝4mgtanθ，B错 若μ≤tanθ≤2μ，则aBm≤aAm，即Fm＝4maBm＝4mg（2μ－tanθ），C对 若推力F向右，则系统加速度水平向右，对A分析可知F2＝ 对B→D对. 6．如图所示，倾角为θ的斜面上长为2L的PQ之间粗糙，其余部分都光滑。形状相同的两块薄木板A和B沿斜面排列在一起，但不粘接，薄木板A下端离P距离为2L。每块薄木板长均为L，质量均为m，与斜面PQ间的动摩擦因数均为tanθ。将它们由静止释放，重力加速度为g。求： (1)薄木板A下端运动到P的时间。 (2)薄木板B下端到达P时受到A的弹力。 (3)取薄木板A下端运动到P时t＝0，薄木板运动方向为正方向，画出从t＝0到薄木板B上端到达P过程中B的加速度随运动位移变化的图像（标出纵轴的标度），并计算薄木板B上端到达P时的速度。 【答案】(1) (2)mgsinθ (3)图像见解析； 【详解】（1）薄木板在P上方滑行时的加速度大小为a1，根据牛顿第二定律有2mgsinθ=2ma1 薄木板做匀加速直线运动，设薄木板A下端运动到P的时间为t，则 解得 （2）设薄木板B下端到达P时整体的加速度大小为a'，对整体根据牛顿第二定律有2mgsinθ-μmgcosθ=2ma' 设A对B的弹力为FA，对B根据牛顿第二定律有mgsinθ-FA=ma' 解得FA=mgsinθ （3）设薄木板A进入PQ的距离为x，x≤2L，A、B在以后的加速度大小为a，对A、B整体根据牛顿第二定律有 解得a=gsinθ-gsinθ（x≤2L） a-x图像如图所示 根据速度—时间关系可得薄木板A下端到P点时的速度大小为v1=a1t 设薄木板B上端到达P时的速度大小为v2，根据速度—位移公式有 结合图像面积 解得 (多选)飞机场的行李传送装置如图所示，水平传送带以速度v1顺时针匀速转动，倾斜传送带以速度v2顺时针匀速转动，v1<v2，在水平传送带A端轻放一个行李箱，该行李箱与传送带间的动摩擦因数μ>tanθ，两传送带之间平滑连接，则行李箱速率随时间变化的关系图象可能是(　ACD　) [解析]　行李箱在水平传送带上先在滑动摩擦力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，行李箱的速度可能与传送带共速，之后做匀速直线运动。滑上倾斜传送带时，由于v1<v2且μ>tanθ，有μmgcosθ>mgsinθ，可知行李箱先做匀加速运动，与传送带共速后做匀速运动，行李箱也可能一直做匀加速运动，与传送带共速后不可能做匀减速运动，故A正确，B错误；行李箱在水平传送带上可能一直做匀加速直线运动，滑上倾斜传送带时，可能一直做匀加速运动，故C正确；行李箱在水平传送带上可能一直做匀加速直线运动，滑上倾斜传送带时，可能先做匀加速运动，后做匀速直线运动，故D正确。 4．如图所示，水平传送带足够长，向右前进的速度，与倾角为的斜面的底端平滑连接（即拐角处无能量损失），将一质量的小物块从点静止释放。已知A、P的距离，物块与斜面、传送带间的动摩擦因数分别为，，取，，。求物块： (1)第一次滑过点时的速度大小； (2)第一次在传送带上往返运动的时间； (3)第一次返回斜面上时，沿斜面上滑的最大距离； (4)写出物体从传送带上返回至点时的速度大小与从传送带返回次数的关系； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）第一次滑过点时由动能定理 解得 （2）滑块在传送带上运动的加速度 则向左运动速度减为零的时间 最远距离 向右返回时，加速的时间 加速的位移 匀速时间 往返时间 （3）第一次返回斜面上滑时的初速度为，沿斜面上滑的加速度 则上滑的最大距离 （4）第一次返回时，设第次从传送带返回至点的速度为，物块在斜面上向下滑动时的加速度， 上式为第次返回至点，再从斜面最高点滑至点的速度。速度小于传送带的速度，所以第次从传送带返回至点的速度与速度大小相等，则 即 7．如图所示，固定斜面AB倾角，水平长木板质量为，左端与斜面B处平滑相靠。将质量的物体无初速地放在斜面的顶端A，物体到达底端B后无碰撞地滑上木板左端。已知物体与斜面、木板间的动摩擦因数均为，地面光滑，AB间的距离为。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度（已知）。求： (1)物体从A运动到B点的时间； (2)要使物体不会从木板上掉下，木板长度至少应是多少； (3)当物体滑上木板左端时，立即用与水平面成的夹角斜向右上方、大小为的恒力拉物体，物体恰好不会从木板上滑落，则木板长度是多少。 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）物体在斜面加速，由牛顿第二定律 解得 由运动学公式 解得 （2）物体滑上木板的速度 物体在板上 解得 木板向右匀加速 解得 当两者速度相等时，恰好不掉下来 解得 物体位移 木板位移 所以木板最小长度为 解得 （3）物体滑上木板后，对物体分析，根据牛顿第二运动定律得 解得 对长木板分析，根据牛顿第二运动定律得 解得 当两者速度相等时，恰好不掉下来 解得 则 物体位移 木板位移 所以木板长度为 解得 5．某冲关游戏有如图所示的滑道，倾斜直轨道AB的倾角，B点右侧紧靠一个长度的水平传送带，B与C两点可认为平滑衔接（冲关者通过时速度大小不变），A、B两点间的距离，冲关者坐上坐垫从A点由静止开始沿倾斜直轨道AB滑下，经C点进入传送带后从D点水平抛出，落在水面上某点E。已知传送带末端距水面高度，坐垫与AB轨道间的动摩擦因数，坐垫与传送带间的动摩擦因数，，，重力加速。 (1)求冲关者到达B点时的速度大小； (2)如果传送带不动，求冲关者冲过D点后的水平射程； (3)如果传送带沿顺时针方向转动，并且速度v大小在范围内可调，求冲关者冲过D点后的水平射程x与速度大小v的关系式。 【答案】(1)4m/s (2)3m (3)x=vt=v(m) 【详解】（1）在轨道AB上运动时，对人与坐垫分析，由牛顿第二定律有 解得a1=2m/s2 冲关者到达B点时的速度大小为vB，则 解得vB=4m/s （2）若传送带不动，则从C到D有 解得a2=1m/s2 由 可得 所以冲关者从C运动到D过程一直减速，由 解得 冲关者过D点后做平抛运动，则有， 联立，解得 （3）若冲关者从C到D过程一直加速，由 解得 在所给速度范围内，无论冲关者在传送带上加速或减速，冲关者在D点的速度都等于传送带的速度，所以当时，水平射程x=vt=v(m) 随堂练习 1. 无人机的质量为m＝2kg，在地面上由静止开始以最大升力竖直向上起飞，经时间t＝4s时离地面的高度为H1＝48m，已知无人机动力系统所能提供的最大升力为36N，假设无人机运动过程中所受空气阻力的大小恒定，g取10m/s2. （1）求无人机运动过程中所受空气阻力的大小； （2）当无人机悬停在距离地面高度H2＝45m处时，无人机由于信号故障突然失去全部升力，由静止开始竖直坠落，若要无人机到达地面时速度刚好减为0，则从开始下落后经多长时间需要立刻恢复无人机的最大升力？ 答案　（1）4N　（2）2.5s 解析　（1）无人机以最大升力上升时，设其加速度大小为a1，根据位移公式H1＝a1t2 解得a1＝6m/s2 设最大升力为F，根据牛顿第二定律有F－mg－f＝ma1 解得空气阻力f＝4N （2）设失去动力时无人机的加速度大小为a2，则有a2＝＝8m/s2 设从刚开始下落经t1时间需要恢复无人机的最大升力，恢复升力时无人机的速度v1＝a2t1 t1时间内无人机下落的高度h1＝ 恢复最大升力后，设无人机的加速度大小为a3，则有a3＝＝10m/s2 从恢复升力至下落到地面无人机运动的位移h2＝ 且有h1＋h2＝H2 联立解得t1＝2.5s. 2 .皮划艇是一项激烈的水上比赛项目，如图所示为静水中某运动员正在皮划艇上进行划水训练，船桨与水间断且周期性地发生作用.假设初始阶段中，运动员每次用船桨向后划水的时间t1＝1s，获得水平向前的持续动力恒为F＝480N，而船桨离开水的时间t2＝0.4s，运动员与皮划艇的总质量为120kg，运动员和皮划艇受到的阻力恒为150N，并从静止开始沿直线运动.在该阶段中： （1）运动员在用船桨划水时与船桨离开水时加速度大小分别为多少？ （2）若运动员从静止开始，第一次划水后就停止划水，皮划艇总计前行多长距离？ （3）若运动员从静止开始运动，在2.8s末速度为多大？ 答案　（1）2.75m/s2　1.25m/s2　（2）4.4m　（3）4.5m/s 解析　（1）船桨划水时，由牛顿第二定律有F－Ff＝ma1 得a1＝2.75m/s2 船桨离开水时，由牛顿第二定律有Ff＝ma2 得a2＝1.25m/s2 （2）1s末皮划艇的速度v1＝a1t1＝2.75m/s 1s内皮划艇前行位移x1＝ 从停止划水到皮划艇停下来，前行位移x2＝ 则皮划艇前行总位移x＝x1＋x2＝4.4m （3）1.4s末速度v2＝v1－a2t2＝2.25m/s. 2.4s末速度v3＝v2＋a1t1＝5m/s 2.8s末速度v4＝v3－a2t2＝4.5m/s. 2．某游乐项目装置简化如图，平台A、C固定，光滑的斜面固定在平台A上，斜面的高度，斜面倾角，静止在粗糙水平面上的滑板B，紧靠平台A，高度与平台A等高，与斜面末端平滑相接，滑板B质量。质量为的游客从斜面顶端由静止开始下滑，离开斜面底端后滑上滑板B，当滑板右端运动到与其上表面等高平台C的边缘时，游客恰好滑上平台C，并在平台C上滑行了停下。游客视为质点，其与滑板B及平台C表面之间的动摩擦因数均为，滑板与水平面的动摩擦因数为，忽略空气阻力，重力加速度，求： (1)游客滑到斜面底端时的速度的大小； (2)滑板B的长度L； (3)游客在运动过程中的总时间。 【答案】(1) (2) (3)7s 【详解】（1）游客在斜面上下滑过程，根据牛顿第二定律可得 解得游客下滑的加速度大小为 根据运动学公式可得 解得游客滑到斜面底端时的速度大小为 （2）设游客恰好滑上平台C时的速度为，在平台C上运动过程的加速度大小为 根据运动学公式有 解得 游客从滑板B的左端到右端的运动时间为 该过程游客的位移为 以滑板B为对象，根据牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 该过程滑板B的位移为 则滑板B的长度为 （3）游客在斜面上运动时间为 游客在平台C上的运动时间为 则游客在运动过程中的总时间为 9．高速滑雪赛道由倾斜雪道、水平雪道、减速水池组成，简化模型如图所示。与水平面夹角的倾斜雪道长与滑板间的动摩擦因数水平雪道长与滑板间的动摩擦因数减速水池长运动员与滑雪装备总质量运动员从倾斜雪道顶端A点自由滑下，通过水平雪道进入减速水池后贴着水面做匀减速直线运动可以不下沉。不计空气阻力和风力，重力加速度g取求： (1)运动员在倾斜雪道上的加速度大小； (2)为获得较大速度，运动员在水平雪道上通过滑雪杖产生持续的斜向右上方的力。，调整推力F的角度，运动员在水平雪道上能获得的最大加速度的大小； (3)运动员在C点的速度时刚好能够通过减速水池，则在倾斜雪道需要通过滑雪杖沿斜面方向施加一个多大的力？通过减速水池时水对滑板的作用力如何？ 【答案】(1) (2) (3)；，与水平方向成45°斜向左上方 【详解】（1）研究对象运动员，根据牛顿第二定律有 根据摩擦力公式有 代入数据 （2）根据牛顿第二定律有 根据摩擦力公式有 解得 根据数学方法有 （3）在水平雪道，根据牛顿第二定律有 根据速度—位移公式有 解得 倾斜雪道上，有 解得 根据牛顿第二定律有 解得 运动员刚好通过减速水池 得 根据力的合成有 其中 解得 与水平方向成45°斜向左上方。 1．如图所示，某传送装置由粗糙斜面、顺时针传动的传送带甲、光滑水平面、逆时针传动的传送带乙构成，传送带与水平面平滑连接。粗糙斜面的长，与水平面的夹角。有一质量为的小物块（可视为质点），从斜面顶端点静止释放，测得其经过滑到斜面底端点，然后速率不变地滑上传送带甲。已知物块与传送带甲、乙的动摩擦因数均为，传送带甲的长度为，传动速度为，传送带乙足够长，传动速度为，重力加速度。求： (1)物块滑到点时的速度大小； (2)物块与粗糙斜面间的动摩擦因数； (3)物块第一次通过传送带甲的时间，以及物块从第一次滑上到第一次离开传送带乙的时间； (4)若在物块首次进入传送带乙时，立即在水平面上放置一竖直挡板并固定（图中未画出），每当物块与挡板碰撞，其速度大小都会减小为原来的并反弹，而后再次滑上传送带乙，求最终传送带乙上的总划痕长度。（可能用到的数学知识：当自然数趋于无穷大时，） 【答案】(1)3m/s (2) (3)1.5s，5.0625s (4)68.5m 【详解】（1）从A到B根据 解得vB=3m/s （2）在AB上运动的加速度 根据牛顿第二定律 解得 （3）滑块在传送带甲上先加速，加速度为 则共速时 解得t1=1s 位移 匀速的时间 总时间为 滑块滑上传送带乙的速度为v=5m/s，在乙上做匀减速运动，加速度大小， 时间 位移 然后反向加速，加速到与传送带共速时的时间 然后匀速回到传送带左端D的时间 则物块从第一次滑上到第一次离开传送带乙的时间 （4）第一次滑上传送带乙时留下的划痕为 滑块返回到D点的速度为，被挡板反弹后速度为 则滑上传送带乙后先减速后反向加速，时间均为 回到D点的速度仍为3m/s，相对传送带的划痕为 被挡板反弹后速度为 则滑上传送带乙后先减速后反向加速，时间均为 回到D点的速度仍为v2，相对传送带的划痕为 同理可知，与挡板碰后再次返回到D点时在传送带上的划痕为 则最终传送带乙上的总划痕长度 2．某工厂输送物件的传送系统由倾角为的传送带和一倾角相同的长木板组成，物件和传送带间的动摩擦因数、与木板的动摩擦因数。传送带以的恒定速度顺时针转动。现将物件P无初速置于传送带A点，发现当物件到达端时刚好相对传送带静止，到达点时速度恰好为零随即被机械手取走。物件可以看成质点，皮带与木板间可认为无缝连接，重力加速度。求： （1）传送带的长度； （2）木板的长度以及物件从到所需的时间； （3）假如机械手未能在点及时将物件取走，导致物件重新下滑，则此后它第四次向上返回时离点的最大距离？ 【答案】（1）；（2），；（3） 【详解】（1）P放上皮带后，受力如图一 由牛顿第二定律有 根据速度位移公式有 联立代入数据解得 （2）到达木板点后，受力如图二 由牛顿第二定律有 则间距离（板长）为 解得 在皮带上上滑时间为 在木板上上滑时间为 所以 （3）从点向下运动，受力如图三 由牛顿第二定律有 第一次返回时有 滑过点后在皮带上先向下减速后以相同加速度返回，向上冲的位移 第二次返回 向上冲的位移 设第次向上经过点时速度为，物块可上冲，则返回时速度为 可知第次向上经过点时速度大小仍为，则物块可上冲的位移为 即物块每次冲上木板的距离是上一次的倍 第四次向上返回时物块可上冲的位移为 3．如图所示，顶端固定有光滑滑轮的斜面体静止在地面上，倾角，右侧等高处紧靠滑轮有一逆时针转动的水平足够长的传送带，速度。质量分别为、的小滑块P和Q用不可伸长的细绳连接并跨过滑轮，细绳分别平行于斜面和传送带，它们均以的速度分别滑上斜面和传送带。P与斜面间的动摩擦因数，Q与传送带间的动摩擦因数，取，斜面体足够长且始终静止。已知求： （1）向上滑动时，P受到摩擦力的大小； （2）向上滑动时，细绳拉力大小； （3）在斜面体上运动的时间保留三位有效数字。 【答案】（1）4N；（2）7.2N；（3）2.67s 【详解】（1）垂直斜面方向 解得 （2）P向上减速滑动时，加速度向下 Q的加速度向左 得 （3）第一阶段，P向上减速，P向上减速滑动的时间 解得 位移 得 第二阶段，设P向下加速，P的加速度向下 Q的加速度向左 得，假设成立； Q加速到v的时间 位移 第三阶段，设P向下匀速，假设Q加速到v后相对传送带静止，则对于P有 对于Q有 解得 所以假设成立； 匀速运动时间 得 P在斜面上的总时间 8．某游乐园设计了一款游乐设施，其简化图如图所示。在下滑区有一个高 的斜面AB，倾斜角 ，一轻质的载人滑板能从A 点静止开始下滑，滑板与AB间的动摩擦因数 ，载人滑板过B点后平滑的冲上水平缓冲区 CD上的缓冲板，缓冲板质量为 ，缓冲区 CD 的长度为18m，缓冲板的上表面与滑板的动摩擦因数 ，下表面与CD间的动摩擦因数 ，CD段右侧为水平接收区EF，缓冲板上表面与B、E等高，且与DE碰撞后即被锁定。已知： 重力加速度 ，求： (1)游客在滑板上经过B时的速度大小； (2)若游客的质量 时，恰好均能在 CD段不从缓冲板上滑落，则缓冲板的长度L； (3)在满足 （2）的情况下，游客相对缓冲板静止时，缓冲板右侧与DE的距离范围。 【答案】(1)=10m/s (2)L=10m (3)3.833m≤≤4.875m 【详解】（1）在 AB段 ，       得   （2）在CD段，当m=30kg时 对m有  μ2mg=ma1 对M有 当M与m共速时 解得t1=2s，v1=4m/s B相对C的位移 得 Δx=10m 此时对M有    得x1=4m M到E 点距离 得 由 v-t图可知当m增大时，Δx和x₁均减小，则缓冲板的长度L=Δx=10m （3）根据第二问过程，缓冲板移动距离 ①当时，取得最大值，此时， 此时缓冲板右侧与DE的距离取得最小值 ②当m=100kg时，此时缓冲板右侧与DE的距离取得最大值 则共速时，M右侧距E点的距离 3.833m≤x2≤4.875m。 10．某生产车间将货物从二楼运往一楼储物间，具体过程可简化为：将质量为m的货物无初速度轻放在水平传送带A端，货物到达传送带B端后水平飞出，恰好无碰撞地从斜面体的顶端C滑入粗糙斜面，之后沿斜面下滑，货物滑至斜面底端D后沿水平地面向右滑行，运动到储物间E位置时刚好停止运动。已知传送带长为L=8m，以=6m/s速度顺时针转动，货物与传送带间动摩擦因数μ=0.1，BC竖直高度为h，斜面固定且长为L=14m，与货物间动摩擦因数=0.5，斜面倾角θ=37°，水平地面与货物间动摩擦因数=0.4，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，CD与DE平滑连接，空气阻力忽略不计，货物可视为质点。求： （1）货物离开传送带B端时的速度大小； （2）BC竖直高度； （3）货物从D运动到E的时间t。 【答案】（1）4 m/s；（2）0.45 m；（3）2.25 s 【详解】（1）假设货物一直匀加速至B端，加速度，则 可得 假设成立，所以 （2）恰好无碰撞地进入粗糙斜面体的顶端C，货物平抛运动到C端，所以由 所以 所以 （3）C到D匀加速直线运动 由牛顿第二定律    D到E 由逆向过程 解得 11．如图所示，一水平传送带以的速度顺时针转动，左右两端A、B间距离，右端B点与水平台面平滑对接，水平台面上有一个倾角为45°、高度的固定斜面（水平台面与斜面由平滑圆弧连接），斜面的右侧有一固定的水平桌面，桌面左侧放有一木板（厚度不计），右侧固定一弹性竖直挡板，木板与挡板碰撞后会原速率返回。现有一可视为质点的物块以水平初速度从A点滑上传送带，到达B点时的速度大小为，物块离开斜面后恰好在它运动的最高点滑上木板。已知物块质量和木板质量均为0.1kg，物块与传送带之间的动摩擦因数和物块与木板之间的动摩擦因数均为0.2，其它接触面间的摩擦均不计，g取。求： （1）物块初速度的大小； （2）桌面与台面之间的高度H； （3）若物块始终不滑离木板，木板与挡板仅能发生一次碰撞且木板左端不会离开桌面，求木板的最短长度s和最初木板右端与挡板距离x的范围。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）由于物块到达B点时的速度大小为 可知物块在传送带上做匀减速直线运动，加速度大小为 根据运动学公式可得 解得 （2）物块在斜面上滑过程，做匀减速直线运动，加速度大小为 根据运动学公式可得 可得物块离开斜面时的速度大小为 物块离开斜面时的水平分速度和竖直分速度分别为 ， 物块离开斜面后恰好在它运动的最高点滑上木板，竖直方向有 桌面与台面之间的高度为 （3）物块刚滑上木板时，在摩擦力作用下，物块做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动，由于两者的质量相等，则两者的加速度大小相等；若物块始终不滑离木板，木板与挡板仅能发生一次碰撞且木板左端不会离开桌面，可知木板与挡板发生一次碰撞后，物块和木板均做匀减速直线运动，且加速度大小相等，最终两者速度刚好同时减为0，则碰撞前两者已经达到共速。共速前，两者的加速度大小均为 设从物块滑上木板经过时间，两者达到共速，则有 解得 ， 此过程，物块发生的位移大小为 木板发生的位移大小为 物块相对于木板向右发生的位移大小为 从木板与挡板发生一次碰撞碰撞到两者同时停下来，物块相对于木板向右发生的位移大小为 则木板的最短长度为 最初木板右端与挡板距离的范围为 学科网（北京）股份有限公司 $ 多过程动力学问题分析 【知识提要】 1．明确各个过程的运动学分析，同时能够明确各个过程的受力分析。 2．理解掌握多个常见运动过程的求解思路。 【必备知识】 1．程序法：按________的先后顺序对题目给出的物体运动过程（或不同的状态）进行分析（包括列式计算）的解题方法可称为程序法。 2．程序法解题的基本思路是： ①划分出题目中有多少个不同的过程或多少个不同状态； ②对各个过程或各个状态进行具体分析，得出正确的结果； ③前一个过程的结束是后一个过程的开始，两个过程的交接点是问题的关键。 4．具体过程： ①确定研究对象； ②按照速度变化的不同趋势，把运动过程分段； ③分析每段运动的受力，建立运动或动力学方程； ④根据运动或动力学关系讨论运动，求出结果； ⑤讨论结果的物理意义。 例1．（2023高考湖北卷）如图所示，原长为l的轻质弹簧，一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为0.5。杆上M、N两点与O点的距离均为l，P点到O点的距离为l，OP与杆垂直。当小球置于杆上P点时恰好能保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。小球以某一初速度从M点向下运动到N点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ） A．弹簧的劲度系数为 B．小球在P点下方l处的加速度大小为(3 - 4)g C．从M点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大 D．从M点到P点和从P点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同 例2．（2023高考湖南卷）如图，光滑水平地面上有一质量为2m的小车在水平推力F的作用下加速运动．车厢内有质量均为m的A、B两小球，两球用轻杆相连，A球靠在光滑左壁上，B球处在车厢水平底面上，且与底面的动摩擦因数为μ，杆与竖直方向的夹角为θ，杆与车厢始终保持相对静止。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ） A．若B球受到的摩擦力为零，则F = 2mgtan θ B．若推力F向左，且tan θ≤μ，则F的最大值为2mgtan θ C．若推力F向左，且μ≤tan θ≤2μ，则F的最大值为4mg(2μ - tan θ) D．若推力F向右，且tan θ＞2μ，则F的范围为4mg(tanθ - 2μ)≤F≤ 4mg(tan θ + 2μ) 例3．如图所示，倾角为θ的斜面上长为2L的PQ之间粗糙，其余部分都光滑。形状相同的两块薄木板A和B沿斜面排列在一起，但不粘接，薄木板A下端离P距离为2L。每块薄木板长均为L，质量均为m，与斜面PQ间的动摩擦因数均为tan θ。将它们由静止释放，重力加速度为g。求： （1）薄木板A下端运动到P的时间； （2）薄木板B下端到达P时受到A的弹力； （3）取薄木板A下端运动到P时t = 0，薄木板运动方向为正方向，画出从t = 0到薄木板B上端到达P过程中B的加速度随运动位移变化的图像（标出纵轴的标度），并计算薄木板B上端到达P时的速度。 例4．（多选）飞机场的行李传送装置如图所示，水平传送带以速度v1顺时针匀速转动，倾斜传送带以速度v2顺时针匀速转动，v1＜v2，在水平传送带A端轻放一个行李箱，该行李箱与传送带间的动摩擦因数μ＞tanθ，两传送带之间平滑连接，则行李箱速率随时间变化的关系图象可能是（ ） 例5．如图所示，水平传送带足够长，向右前进的速度，与倾角为的斜面的底端平滑连接（即拐角处无能量损失），将一质量的小物块从点静止释放。已知A、P的距离，物块与斜面、传送带间的动摩擦因数分别为，，取，，。求物块： （1）第一次滑过点时的速度大小； （2）第一次在传送带上往返运动的时间； （3）第一次返回斜面上时，沿斜面上滑的最大距离； （4）写出物体从传送带上返回至点时的速度大小与从传送带返回次数的关系； 例6．如图所示，固定斜面AB倾角，水平长木板质量为，左端与斜面B处平滑相靠。将质量的物体无初速地放在斜面的顶端A，物体到达底端B后无碰撞地滑上木板左端。已知物体与斜面、木板间的动摩擦因数均为，地面光滑，AB间的距离为。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度（已知）。求： （1）物体从A运动到B点的时间； （2）要使物体不会从木板上掉下，木板长度至少应是多少； （3）当物体滑上木板左端时，立即用与水平面成的夹角斜向右上方、大小为的恒力拉物体，物体恰好不会从木板上滑落，则木板长度是多少。 例7．某冲关游戏有如图所示的滑道，倾斜直轨道AB的倾角，B点右侧紧靠一个长度的水平传送带，B与C两点可认为平滑衔接（冲关者通过时速度大小不变），A、B两点间的距离，冲关者坐上坐垫从A点由静止开始沿倾斜直轨道AB滑下，经C点进入传送带后从D点水平抛出，落在水面上某点E。已知传送带末端距水面高度，坐垫与AB轨道间的动摩擦因数，坐垫与传送带间的动摩擦因数，，，重力加速。 （1）求冲关者到达B点时的速度大小； （2）如果传送带不动，求冲关者冲过D点后的水平射程； （3）如果传送带沿顺时针方向转动，并且速度v大小在范围内可调，求冲关者冲过D点后的水平射程x与速度大小v的关系式。 课时精炼 1．无人机的质量为m = 2 kg，在地面上由静止开始以最大升力竖直向上起飞，经时间t = 4 s时离地面的高度为H1 = 48 m，已知无人机动力系统所能提供的最大升力为36 N，假设无人机运动过程中所受空气阻力的大小恒定，g取10m/s2。 （1）求无人机运动过程中所受空气阻力的大小； （2）当无人机悬停在距离地面高度H2 = 45 m处时，无人机由于信号故障突然失去全部升力，由静止开始竖直坠落，若要无人机到达地面时速度刚好减为0，则从开始下落后经多长时间需要立刻恢复无人机的最大升力？ 2．皮划艇是一项激烈的水上比赛项目，如图所示为静水中某运动员正在皮划艇上进行划水训练，船桨与水间断且周期性地发生作用。假设初始阶段中，运动员每次用船桨向后划水的时间t1 = 1 s，获得水平向前的持续动力恒为F = 480 N，而船桨离开水的时间t2 = 0.4 s，运动员与皮划艇的总质量为120 kg，运动员和皮划艇受到的阻力恒为150 N，并从静止开始沿直线运动。在该阶段中： （1）运动员在用船桨划水时与船桨离开水时加速度大小分别为多少？ （2）若运动员从静止开始，第一次划水后就停止划水，皮划艇总计前行多长距离？ （3）若运动员从静止开始运动，在2.8 s末速度为多大？ 3．某游乐项目装置简化如图，平台A、C固定，光滑的斜面固定在平台A上，斜面的高度，斜面倾角，静止在粗糙水平面上的滑板B，紧靠平台A，高度与平台A等高，与斜面末端平滑相接，滑板B质量。质量为的游客从斜面顶端由静止开始下滑，离开斜面底端后滑上滑板B，当滑板右端运动到与其上表面等高平台C的边缘时，游客恰好滑上平台C，并在平台C上滑行了停下。游客视为质点，其与滑板B及平台C表面之间的动摩擦因数均为，滑板与水平面的动摩擦因数为，忽略空气阻力，重力加速度，求： （1）游客滑到斜面底端时的速度的大小； （2）滑板B的长度L； （3）游客在运动过程中的总时间。 4．高速滑雪赛道由倾斜雪道、水平雪道、减速水池组成，简化模型如图所示。与水平面夹角的倾斜雪道长与滑板间的动摩擦因数，水平雪道长与滑板间的动摩擦因数，减速水池长，运动员与滑雪装备总质量。运动员从倾斜雪道顶端A点自由滑下，通过水平雪道进入减速水池后贴着水面做匀减速直线运动可以不下沉。不计空气阻力和风力，重力加速度g取。求： （1）运动员在倾斜雪道上的加速度大小； （2）为获得较大速度，运动员在水平雪道上通过滑雪杖产生持续的斜向右上方的力。，调整推力F的角度，运动员在水平雪道上能获得的最大加速度的大小； （3）运动员在C点的速度时刚好能够通过减速水池，则在倾斜雪道需要通过滑雪杖沿斜面方向施加一个多大的力？通过减速水池时水对滑板的作用力如何？ 5．如图所示，某传送装置由粗糙斜面、顺时针传动的传送带甲、光滑水平面、逆时针传动的传送带乙构成，传送带与水平面平滑连接。粗糙斜面的长，与水平面的夹角。有一质量为的小物块（可视为质点），从斜面顶端点静止释放，测得其经过滑到斜面底端点，然后速率不变地滑上传送带甲。已知物块与传送带甲、乙的动摩擦因数均为，传送带甲的长度为，传动速度为，传送带乙足够长，传动速度为，重力加速度。求： （1）物块滑到点时的速度大小； （2）物块与粗糙斜面间的动摩擦因数； （3）物块第一次通过传送带甲的时间，以及物块从第一次滑上到第一次离开传送带乙的时间； （4）若在物块首次进入传送带乙时，立即在水平面上放置一竖直挡板并固定（图中未画出），每当物块与挡板碰撞，其速度大小都会减小为原来的并反弹，而后再次滑上传送带乙，求最终传送带乙上的总划痕长度。（可能用到的数学知识：当自然数趋于无穷大时，） 6．某工厂输送物件的传送系统由倾角为的传送带和一倾角相同的长木板组成，物件和传送带间的动摩擦因数、与木板的动摩擦因数。传送带以的恒定速度顺时针转动。现将物件P无初速置于传送带A点，发现当物件到达端时刚好相对传送带静止，到达点时速度恰好为零随即被机械手取走。物件可以看成质点，皮带与木板间可认为无 缝连接，重力加速度。求： （1）传送带的长度； （2）木板的长度以及物件从到所需的时间； （3）假如机械手未能在点及时将物件取走，导致物件重新下滑，则此后它第四次向上返回时离点的最大距离？ 7．如图所示，顶端固定有光滑滑轮的斜面体静止在地面上，倾角，右侧等高处紧靠滑轮有一逆时针转动的水平足够长的传送带，速度。质量分别为、的小滑块P和Q用不可伸长的细绳连接并跨过滑轮，细绳分别平行于斜面和传送带，它们均以的速度分别滑上斜面和传送带。P与斜面间的动摩擦因数，Q与传送带间的动摩擦因数，取，斜面体足够长且始终静止。已知求： （1）向上滑动时，P受到摩擦力的大小； （2）向上滑动时，细绳拉力大小； （3）在斜面体上运动的时间保留三位有效数字。 8．某游乐园设计了一款游乐设施，其简化图如图所示。在下滑区有一个高的斜面AB，倾斜角，一轻质的载人滑板能从A点静止开始下滑，滑板与AB间的动摩擦因数，载人滑板过B点后平滑的冲上水平缓冲区CD上的缓冲板，缓冲板质量为，缓冲区CD的长度为18 m，缓冲板的上表面与滑板的动摩擦因数，下表面与CD间的动摩擦因数，CD段右侧为水平接收区EF，缓冲板上表面与B、E等高，且与DE碰撞后即被锁定。已知：重力加速度，求： （1）游客在滑板上经过B时的速度大小； （2）若游客的质量时，恰好均能在CD段不从缓冲板上滑落，则缓冲板的长度L； （3）在满足（2）的情况下，游客相对缓冲板静止时，缓冲板右侧与DE的距离范围。 9．某生产车间将货物从二楼运往一楼储物间，具体过程可简化为：将质量为m的货物无初速度轻放在水平传送带A端，货物到达传送带B端后水平飞出，恰好无碰撞地从斜面体的顶端C滑入粗糙斜面，之后沿斜面下滑，货物滑至斜面底端D后沿水平地面向右滑行，运动到储物间E位置时刚好停止运动。已知传送带长为L = 8 m，以 = 6 m/s速度顺时针转动，货物与传送带间动摩擦因数μ = 0.1，BC竖直高度为h，斜面固定且长为L = 14 m，与货物间动摩擦因数 = 0.5，斜面倾角θ = 37°，水平地面与货物间动摩擦因数 = 0.4，重力加速度g取10 m/s2，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，CD与DE平滑连接，空气阻力忽略不计，货物可视为质点。求： （1）货物离开传送带B端时的速度大小； （2）BC竖直高度； （3）货物从D运动到E的时间t。 10．如图所示，一水平传送带以的速度顺时针转动，左右两端A、B间距离，右端B点与水平台面平滑对接，水平台面上有一个倾角为45°、高度的固定斜面（水平台面与斜面由平滑圆弧连接），斜面的右侧有一固定的水平桌面，桌面左侧放有一木板（厚度不计），右侧固定一弹性竖直挡板，木板与挡板碰撞后会原速率返回。现有一可视为质点的物块以水平初速度从A点滑上传送带，到达B点时的速度大小为，物块离开斜面后恰好在它运动的最高点滑上木板。已知物块质量和木板质量均为0.1 kg，物块与传送带之间的动摩擦因数和物块与木板之间的动摩擦因数均为0.2，其它接触面间的摩擦均不计，g取。求： （1）物块初速度的大小； （2）桌面与台面之间的高度H； （3）若物块始终不滑离木板，木板与挡板仅能发生一次碰撞且木板左端不会离开桌面，求木板的最短长度s和最初木板右端与挡板距离x的范围。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $