19.1(第1课时)二次根式的概念（大单元教学课件）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义条件及双重非负性，通过“欲穷千里目”诗句及观测距离问题情境导入，复习平方根、算术平方根旧知，搭建新旧知识桥梁，引导学生从实际问题抽象出二次根式，形成学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，情境引入体现数学眼光（从现实问题抽象数量关系），典例精析中双重非负性应用（如等腰三角形边长问题）培养推理意识（数学思维），当堂练习结合《九章算术》秦九韶公式，用数学语言表达实际问题。采用分层例题和生活实例，帮助学生提升抽象能力与应用意识，教师可直接使用结构化内容提升教学效率。

人教版（新教材） 八年级下册 19.1(第1课时) 第十九章 二次根式 二次根式的概念 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则，其中R是地球半径，约为6400km． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度h为800m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值； (2)已知一座山的海拔为320m，这座山到海边的最短距离为60km，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 什么叫做算术平方根? ±4 S 若正方形的面积为S，则正方形的边长为_____． 若x2＝16，则x＝_______；若y 2＝3，则y＝_____． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)一张海报为长方形，若长是宽的3倍，面积为9 m2，则它的宽为_____m． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_______． (2)一个圆柱的体积为V，高为H，则底面半径为R=__ ___． 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， , 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， , ． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 这些式子有什么共同特征？ 问题1： 问题2： 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； 2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在式子①中， 是二次根式的有 (填写序号). 解： ① 是立方根，不是二次根式； 是二次根式. 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 当x=5时，二次根式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：当x=5时，===2． 故选：B． 本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键． 将x=5代入计算即可． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间ts和高度hm近似满足公式t=（不考虑阻力的影响）．求物体从60m的高空落到地面的时间. 解：∵h=60， ∴t====×=2， 故物体从60m的高空落到地面的时间为2s． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 当 a 或者x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：（1）由 x－1≥0， 得 x≥1． 所以当 x≥1 时， 在实数范围内有意义． （2）由≥0 且 3－a≠0 ，得 a＜3． 所以当 a＜3 时，在实数范围内有意义． （1） ;（2） ;（3） ; (4) ; （5） ． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 当 a 或者x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ;（2） ;（3） ; (4) ; （5） ． 解：(3)，解得 所以时，在实数范围内都有意义． (4)因为不论 a 为何值，≥0 恒成立， 所以 a 取任意实数，在实数范围内都有意义． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 当 a 或者x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ;（2） ;（3） ; (4) ; （5） ． （5）由 x－4≥0，得 x≥4．由 x－6≠0，得 x≠6． 当 x≥4 且 x≠6 时， 在实数范围内有意义． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 　　求使式子有意义的字母取值范围： 　　（2）分式型： 　　（3）零指数幂型：a0＝1 　　（1）二次根式型： 被开方数≥0 分母≠0 底数≠0 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)当 x 时， 在实数范围内有意义. (1)当 x 时， 在实数范围内有意义. 当 x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 为任意实数 为非负数 二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 当a ＞0时， 表示a的算术平方根，因此＞0； 当a =0时， 表示0的算术平方根，因此=0. 这就是说，当a ≥0时，≥0. 我们把这个性质叫做二次根式的双重非负性. 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的 被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 二次根式的双重非负性 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 求使式子有意义的实数x的取值范围． 本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 解：由题意可得：， 解得：0≤x<． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知 +2 +6,求 的值. 解：由题意可得：， 解得：x=5, +2 +6=6 ， =1． 解题技巧 当出现多个根号里面互为相反式时，根据二次根式的性质，必须每个二次根式的被开方数（式）都为零. 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知y= ,求8x+5y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴8x+5y=64. ∵64的算术平方根为8， ∴8x+5y的算术平方根为8． 出现 的形式， 根据二次根数的双重非负性， 可得a=0. 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 a，b是等腰△ABC的两边，且满足 +5． (1)求6a+2b的算术平方根； 解：由题意得 ∴b=3，∴ +5 =5 ∴6a+2b=36, ∵36的算术平方根为6， ∴6a+2b的算术平方根为6． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 a，b是等腰△ABC的两边，且满足 +5． (2)求等腰△ABC的周长． 解：当a为腰时，△ABC的三边分别为5,5,3， ∵由题意得 5+3>5，∴能构成三角形，此时△ABC的周长为5+5+3=13； 当b为腰时，△ABC的三边分别为5,3,3， ∵由题意得 3+3>5，∴能构成三角形，此时△ABC的周长为3+5+3=13； ∴△ABC的周长为13或11. 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 先观察下列等式，再回答问题． (1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子； 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 先观察下列等式，再回答问题． (2)你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律． 解：(2). 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系： ，其中重力加速度常数 若已知地球半径R≈6400km，则第一宇宙速度v是多少？ 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h， 观测者视线能达到的最远距离为d，则，其中R是地球半径，约为6400km． (2)已知一座山的海拔为320m，这座山到海边的最短距离为60km，天气晴朗时站在 山巅能否看到大海？请说明理由． ∵h=0.32km,R=6400km, ∴站在山巅能看到大海. 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 定义 有意义的条件 双重非负性 抓住被开方数必须为非负数， 从而建立不等式求出其解集. 二次根式中,a≥0且 ≥0 二次根式 带有二次根号 被开方数为非负数 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习01 · 详解 下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 解： A．当a<0时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵−2<0，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习02 ·· 详解 小红说：“因为=3，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 解：根据二次根式的定义，形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 中被开方数为9，满足a≥0，且含有根号，因此是二次根式， 不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习03 ··· 详解 《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“S三角形=×底×高”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在△ABC中，AB=,AC=,BC=，则△ABC的面积为 ． 解：∵AB=,AC=,BC= ， ∴c=,b=,a= ， ∴，故答案为：． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习04 ···· 详解 当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1)(2)(3) （1）解：要使有意义，则x−3≥0，解得x≥3， 即当x≥3时，有意义； （2）解：要使有意义，分母2x+1≠0，且被开方数≥0， ∴2x+1>0，解得x>． 即当x>−12时，有意义； 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习04 ···· 详解 当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1)(2)(3) （3）解：因为≥0，所以≥1>0， 即无论x取何实数，都大于0， 所以对任意实数x都有意义． 即当x为任意实数时，有意义． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习05 ····· 详解 化简：= ． 解:∵有意义， ∴2026−x≥0， ∴x≤2026， ∴x−2027<0， ∴=2026−x−(−x+2027)=2026−x+x−2027=−1． 故答案为：−1． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习06 ······ 详解 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=3++， 求此三角形的周长． 解：∵b=3+ + ，根据二次根式有意义的条件得到， 4−a≥0且a−4≥0， ∴a=4 ∴b=3 若腰长为3，三边为3,3,4，∵3+3>4，∴能构成三角形，则周长为3+3+4=10， 若腰长为4，三边为3,4,4，∵4+4>3，∴能构成三角形，则周长为3+4+4=11， ∴三角形的周长为10或11． 19.1-1 二次根式的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习07 ······· 详解 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求4x+6y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴4x+6y=4+2×6=16， ∴4x+6y的平方根为±4. 19.1-1 二次根式的概念 ± ＝2， ＝3， ＝4，… 解：(1)＝5，＝6； ＝2， ＝3， ＝4，… $