精品解析：安徽芜湖市2025-2026学年度第一学期教学质量监控高三数学试卷

2025-2026学年度第一学期芜湖市高中教学质量监控 高三年级数学试题卷 本试题卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集的概念计算求解即可. 【详解】因为集合， 所以， 故选：D 2. 设命题，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称量词命题的否定为特称量词命题，则原命题的否定为. 故选：A 3. 已知实数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法判断AD，利用函数的单调性判断BC即可. 【详解】选项A：因为 ，， 当 时，，即，当 时，，即，A说法错误； 选项B：因为在 上单调递增，所以由 可得，B说法正确； 选项C：由 的图象和性质，无法由 判断的关系， 例如当，，此时，C说法错误； 选项D：因为 ，， 所以当时，即， 当时，即，D说法错误； 故选：B 4. 等差数列的前项和为，满足，则公差 （ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，满足， 所以，解得， 所以由，即，解得， 故选：C 5. 已知的定义域为 ，满足，则 （ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由 上的函数满足，得， 即函数是以6为周期的周期函数，而， 所以. 故选：D 6. 若函数（且 ）的值域是，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出时的值域，可知要使的值域是，则当 时的值域为的子集，求解即可. 【详解】当时，单调递减，此时， 要使的值域是，则当 时，的值域为的子集， 所以，解得 ， 即实数a的取值范围为， 故选：A 7. 正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，利用求出进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知 即为异面直线与所成角的平面角，在 中利用余弦定理求解即可. 【详解】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径， 因为底面边长为4，所以， 易知球心在线段上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为 ，所以 即为异面直线与所成角的平面角， 在 中，由余弦定理可得，解得， 当时，又，解得， 因为 ，所以 即为异面直线与所成角的平面角， 在 中，由余弦定理可得，解得， 故选：A 8. 已知椭圆，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点记为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，与椭圆方程联立解出点坐标，代入渐近线方程结合离心率公式即可得解. 【详解】设，由可得， 因为在椭圆上， 联立，两式相减得，解得， 所以， 双曲线经过第一象限的渐近线方程为， 将代入得，解得， 所以双曲线的离心率， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）若复数，则下列说法正确的有（ ） A. 实部为 B. 虚部为 C. D. 复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可得， 所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限， 故选：AD 10. 已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为2 B. 当直线过点时，的最小值为 C. 当时，中点的轨迹方程为 D. 当原点到直线的距离为时，的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意圆，圆心为原点，半径为1，利用圆的性质判断A、B、C，根据原点到直线的距离为，得到并设，利用向量法及、确定 纵坐标的表示，再由三角恒等变换、正弦函数的性质求最大值判断D. 【详解】由题设，圆，圆心为原点，半径为1， 所以，当直线过原点时所得最大，为2，A对， 显然点在圆内，若直线过该点， 则该点与点所在直线与直线垂直时，最小，为，B对， 由，则其中点与圆心的距离， 所以中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则方程为，C错， 若原点到直线的距离为，即中点在圆上，且， 设，则，与垂直的一个单位向量为， 而，则，又， 所以，而 关于对称，则， 所以，，则且， 所以时，最大值为，D对. 故选：ABD 11. 已知函数且为常数，是函数大于0的零点，其构成数列，下列说法正确的有（ ） A. 函数有且只有一个零点 B. 若函数在区间内均存在零点，则 C. 若，则数列为递增数列 D. 存在实数，使得数列为常数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性即可说明A，由单调性可得，即可求出的范围判断B，当时可得，推导出，再利用函数的单调性判断C，设（常数），则对任意，恒成立，解出即可判断D. 【详解】选项A：因为，所以恒成立， 所以在 上单调递增， 又 时， 时， 所以函数有且只有一个零点，A说法正确； 选项B：当 时，恒成立，所以在上单调递增， 又， 所以若函数在区间内均存在零点，只需满足即可， 所以对任意成立即可， 易知函数在 上单调递减，所以， 所以，B说法错误； 选项C：当时，因为在上单调递增，，， 所以， 当时， 由于是函数在的零点，所以， 所以，则，数列为递增数列，C说法正确； 选项D：若存在实数，使得数列为常数列，设（常数）， 则对任意，恒成立，解得 或， 当时，代入得解得， 当时，代入得，因 故舍去， 所以当时，数列为常数列，，D说法正确； 故选：ACD 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则实数_______________. 【答案】6 【解析】 【分析】由以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】若，则，则， 故答案为：. 13. 的展开式中的常数项为____________（用数字作答）． 【答案】15 【解析】 【分析】由二项式定理得，要使为常数项有，即可求项系数. 【详解】由二项式知：， ∴当时为常数项，即. 故答案为：15. 14. 已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】问题化为上有4个不同实根，且有2个不同实根，结合正弦函数的图象得，即可得. 【详解】共有6个不同的实根， 由，则有4个不同实根，且有2个不同实根， 根据正弦函数的图象知，可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）若，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得，即可求； （2）由余弦定理及已知得，进而即得. 【小问1详解】 由及正弦边角关系得， 而 ，整理得， 因为 ，所以； 【小问2详解】 由余弦定理 ，得， 进而得，得， 所以的周长为. 16. 已知曲线在处的切线为. （1）求切线的方程； （2）求证：切线在曲线的下方（切点除外）. 【答案】（1） ； （2）结合（1），令 ，则 ， 令 ，则， 令 ，得 ，所以 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递增， 注意到 ，所以 有唯一根， 时， 在 上单调递减， 时，在上单调递增， 所以函数 ，则 ，当且仅当时取等号， 所以切线在曲线 的下方（切点除外），得证. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明 ，令 ，利用导数证明恒成立，即可. 【小问1详解】 由，得，所以 ， 又，所以切线方程为 ，即 ； 【小问2详解】 略 17. 一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球. （1）求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率； （2）假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望； （3）假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率. 【答案】（1）； （2） 0 1 2 3 ； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率即可； （2）根据已知有，应用独立事件的概率求法求出分布列，进而求期望； （3）根据已知有 ，当时，从而得到为等比数列，即可得. 【小问1详解】 在一次摸球后有种等可能的结果， 其中“两球编号之和为3”有1种结果，“两球编号之和为6”有2种结果，“两球编号之和为9”有2种结果， 故“两球编号之和是3的倍数”的概率为. 【小问2详解】 由题意，设事件 分别表示甲乙摸到3的倍数(以下连写表示顺次摸出情况)， 事件为的概率， 事件为的概率， 事件为的概率， 事件为的概率， 0 1 2 3 ； 【小问3详解】 由 ，当时，， 整理可得，又， 所以，即是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. 18. 已知点，直线，是直线上任意一点，过作直线的垂线交线段 的中垂线于点，记为坐标原点. （1）求点的轨迹的方程； （2）点异于点，连接交直线于点，求证：； （3）若 与交于 两点， 与交于两点，设线段 的中点分别为 ，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 设点，则点，直线方程为， 令 可得点， 所以，， 所以，即. （3）4 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）设点，根据题意分别求出坐标，再根据斜率公式求解即可； （3）设直线的斜率为，直线的斜率为，根据题意求出 点坐标，再根据三角形的面积公式和基本不等式求最小值即可. 【小问1详解】 因为点在 的垂直平分线上，所以点到的距离与到直线的距离相等， 则点的轨迹是以为焦点的抛物线， 所以轨迹的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可得直线的斜率存在且不为0，设的斜率为，则直线的斜率为， 则，， 设， 则， 所以，得，同理用代替得， 则， 又由（2）得， 所以， 当且仅当时取等号， 是的最小值为4. 19. 如图，空间六面体中四边形与四边形为共腰的梯形. （1）求证：四边形与四边形中至少有一个是梯形； （2）在空间直角坐标系中，分别与同向共线. ①若该六面体为正四棱台且，求平面与平面的夹角； ②若四个侧面均为腰长为2的等腰梯形，，求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为四边形与四边形为共腰的梯形，所以， 由于平面， 平面，所以平面， 同理可得平面， 又因为， 平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面 平面， 所以，同理得， 下面使用反证法： 如果四边形与四边形均不是梯形，那必都是平行四边形， 则， 因为 平面 ，平面 ，所以平面 ， 又平面 平面，所以， 这与四边形为梯形矛盾， 所以原命题成立，即四边形与四边形中至少有一个是梯形. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用线面平行和面面平行的性质可得，，假设四边形与四边形均不是梯形可得出平面 ，进而得，与条件矛盾，即可证明； （2）①求出平面与平面的法向量，利用面面角的坐标公式求解即可；②延长直线交于点，过点作交，于，交于，可得正四棱锥，求出点到下底面的距离等体积法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ①当该六面体为正四棱台时， ，，由解得 ， 当 时，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， ，解得平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面的夹角为， 同理可得：当 时，所以平面与平面的夹角为， 综上：平面与平面的夹角为. （另法：因为，， ， 所以平面与平面的夹角为） ②设， ， 则， ，则， 由四边形是等腰梯形知，同理，所以， 同理， 又因为，因此四边形为矩形， 延长直线交于点， 过点作交，于，交于， 由，得，，所以， 如下图，可得到正四棱锥， 又由，所以，又，， 所以，， 点到底面的距离为，点到下底面的距离为. 设点到平面的距离为 因为，,， 即，解得， 点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期芜湖市高中教学质量监控 高三年级数学试题卷 本试题卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的前 项和为，满足，则公差 （ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知的定义域为，满足，则 （ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 6. 若函数（且 ）的值域是，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱锥 的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知椭圆，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点记为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）若复数，则下列说法正确的有（ ） A. 实部为 B. 虚部为 C. D. 复数对应的点在第一象限 10. 已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为2 B. 当直线过点时，的最小值为 C. 当时，中点的轨迹方程为 D. 当原点到直线的距离为时，的最大值为 11. 已知函数且为常数，是函数大于0的零点，其构成数列，下列说法正确的有（ ） A. 函数有且只有一个零点 B. 若函数在区间内均存在零点，则 C. 若，则数列为递增数列 D. 存在实数，使得数列为常数列 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则实数_______________. 13. 的展开式中的常数项为____________（用数字作答）． 14. 已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）若，求的周长. 16. 已知曲线在处的切线为. （1）求切线的方程； （2）求证：切线在曲线的下方（切点除外）. 17. 一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球. （1）求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率； （2）假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望； （3）假设第一次是乙摸球，求第 次是乙摸球的概率. 18. 已知点，直线，是直线上任意一点，过作直线的垂线交线段 的中垂线于点，记为坐标原点. （1）求点的轨迹的方程； （2）点异于点，连接交直线于点，求证：； （3）若 与交于 两点， 与交于两点，设线段 的中点分别为 ，求面积的最小值. 19. 如图，空间六面体中四边形与四边形为共腰的梯形. （1）求证：四边形与四边形中至少有一个是梯形； （2）在空间直角坐标系中，分别与同向共线. ①若该六面体为正四棱台且，求平面与平面的夹角； ②若四个侧面均为腰长为2的等腰梯形，，求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $