精品解析：重庆潼南区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025—2026学年度第一学期期末检测 八年级数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面是第33届夏季奥林匹克运动会的一些项目图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有如下长度的4根木条，能与长度为和的两根木条组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 同学们都知道，蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料．那你知道蜂房蜂巢的厚度吗？事实上，蜂房的蜂巢厚度仅仅约为．此数据用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如果把分式中的都变为原来的6倍，那么分式的值（ ） A. 变为原来的 B. 不变 C. 变为原来的6倍 D. 变为原来的12倍 7. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 8. 某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为，因道路维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为，大巴车的平均速度降低为原计划的，最终行程用时比原计划多了．设大巴车原计划的平均速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值8时，的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 10. 如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：；；，其中，正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若分式的值为正，则的取值范围是_____． 12. 若是一个完全平方式，则_____． 13. 如图，为的中线，若的面积为，则的面积为_____． 14. 如图所示，一条船在处观测到岛礁在北偏东方向，该船以的速度向正东方向航行到处，观测岛礁在北偏东方向，处恰与岛礁相距，继续以相同的速度向正东方向航行到处时，再观测到岛礁在北偏西方向，该船从处到达处所用的时间为_____． 15. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． 16. 若一个四位正整数的千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大2，则称这个数是“三心二意数”，将“三心二意数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到，规定．例如7431，∵，，∴7431是“三心二意数”，则，则_____；若“三心二意数”（，，，均为整数），且为整数，，则满足以上条件的“三心二意数”是_____． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，平分，垂足为． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）； （2）求证：． 证明：， ， 又平分， __________ 在和中， （_______________）， _______________ 又_________， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列分式方程： （1） （2）． 20. 先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，网格中每个小正方形的边长都是个单位长度． （1）作出关于轴对称的，其中，，的对称点分别为，，，并写出，的坐标； （2）作出关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称的，其中的对称点分别为，并写出，的坐标． 22. 某学校计划利用暑假时间（共58天）对全校教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍，甲、乙两队合作完成工程需要24天，甲队每天的工作费用为1500元，乙队每天的工作费用为950元． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）现有三种方案可选：甲队单独完成工程，乙队单独完成工程，甲、乙两队合作完成工程．请你选择其中一种方案，既能在暑假时间完工，又能使工程费用最少，并计算出最少工程费用． 23. 如图，是等边三角形，是中线，，垂足为，延长至，使． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的周长为，求的长． 24. 已知关于的方程的两个解是，关于的方程的两个解是．小红认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于的方程的两个解是，并在老师的帮助下完成了严谨的证明． 请利用小红的这个结论解决以下几个问题： （1）求解关于的方程； （2）关于的方程的两个解分别为，求的值； （3）关于的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数的值． 25. 如图，在等腰三角形中，，点为底边上一动点，连接，在左侧作等腰三角形，使，，连接． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若，，当点由点运动到点时： 的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； 求出点运动的路径长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末检测 八年级数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面是第33届夏季奥林匹克运动会的一些项目图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 有如下长度的4根木条，能与长度为和的两根木条组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的性质，解题的关键是熟知三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故不正确； B、，不能构成三角形，故不正确； C、，能构成三角形，故正确； D、，不能构成三角形，故不正确； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项等知识点．运用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 同学们都知道，蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料．那你知道蜂房蜂巢的厚度吗？事实上，蜂房的蜂巢厚度仅仅约为．此数据用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，根据科学计算法的要求，正确确定出a和n的值是解答本题的关键． 对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解： 故选B． 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，由，得，由三角形的外角性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 6. 如果把分式中的都变为原来的6倍，那么分式的值（ ） A. 变为原来的 B. 不变 C. 变为原来的6倍 D. 变为原来的12倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质，关键是熟悉分式的运算法则． 先将都变为原来的6倍，然后根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解：设原分式 ，变化后分式 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 分式的值不变， 故选：B． 7. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 8. 某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为，因道路维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为，大巴车的平均速度降低为原计划的，最终行程用时比原计划多了．设大巴车原计划的平均速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用；设原计划平均速度为，则实际速度为，列分式方程即可． 【详解】解：设原计划平均速度为，则实际速度为， 根据题意得：， 故选：D． 9. 如图，中，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值8时，的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质等知识点．如图：连接，由于是等腰三角形，点为的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，求出的长，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴C关于直线的对称点为点A，， ∴的长为的最小值， ∵周长的最小值， ， ∴． 故选：B． 10. 如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：；；，其中，正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，全等三角形的判定和性质，由三角形的高可得，进而由三角形角平分线的定义可得，即可判定①；证明，得到，，进而可证明，即可判定②；由，，可得，可判定③，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，正确的有1个． 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若分式的值为正，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 12. 若是一个完全平方式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，为的中线，若的面积为，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键； 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分可得，，进而可得，由的面积为代入上式即可得解． 【详解】解：∵为的中线， ∴，为的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 故答案为：． 14. 如图所示，一条船在处观测到岛礁在北偏东方向，该船以的速度向正东方向航行到处，观测岛礁在北偏东方向，处恰与岛礁相距，继续以相同的速度向正东方向航行到处时，再观测到岛礁在北偏西方向，该船从处到达处所用的时间为_____． 【答案】1.6 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、外角的性质、余角的性质等知识点．根据题意推出，推出，然后根据船航行的速度，即可推出从点到点用了多长时间，即可推出到达点的具体时间，根据点观测海岛在北偏西方向，即可推出为等边三角形，即，即可推出点到达点船所用的时间． 【详解】解：∵在处观测海岛在北偏东方向， ∴， ∵点观测海岛在北偏东方向， ∴， ∴， ∴ ∵点观测海岛在北偏西方向， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∵船以每小时的速度从点航行到处，又以同样的速度继续航行到处， ∴船从点到达点所用的时间为：， 故答案为：． 15. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解条件求出m的取值范围；再解分式方程，根据解为非负数且分母不为零求出m的取值范围，最后求公共范围内所有整数的和． 【详解】解：解不等式组： 由 得：， 由 得 ， ∵不等式组无解， ∴，即； 解分式方程， 去分母得：， 整理得：． 解得：． ∵解为非负数且， ∴且， 解得：且． ∴的取值范围为： 且 ， ∴满足条件的所有整数为 ，，，，， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为： 16. 若一个四位正整数的千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大2，则称这个数是“三心二意数”，将“三心二意数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到，规定．例如7431，∵，，∴7431是“三心二意数”，则，则_____；若“三心二意数”（，，，均为整数），且为整数，，则满足以上条件的“三心二意数”是_____． 【答案】 ①. ②. 7453 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，代数式的表示与整除性的分析，解决本题的关键是理解“三心二意数”的概念，并结合整除对字母的取值进行分析与验证． 首先判断5297是否为“三心二意数”，再通过对调得到，再计算即可； 先表示出，再根据“三心二意数”的定义表示出，计算，表示出，再根据为整数，由整除性求解即可． 【详解】解：∵5297千位数字5比百位数字2大3，十位数字9比个位数字7大2， ∴5297是“三心二意数”， ∴， ∴； ∵“三心二意数”（，，，均为整数）， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，，均为整数， ∴时，；时，；时，， ∵，， ∴ ， 验证为整数： ，时，不为整数； ，时，为整数； ，时，不为整数。 ∴，，则，， ∴． 故答案为：；7453． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、单项式乘以单项式、利用平方差公式计算等知识，熟练掌握运算法则和平方差公式是解题关键． （1）先将负整数指数幂进行转化，再计算单项式除以单项式，然后将除法转化为乘法，计算单项式乘以单项式即可得； （2）先将式子转化为，再利用平方差公式计算即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，平分，垂足为． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）； （2）求证：． 证明：， ， 又平分， __________ 在和中， （_______________）， _______________ 又_________， ． 【答案】（1） 作图如下： （2），，， 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作已知线段的垂线，全等三角形的证明及性质； （1）以为圆心，为半径画弧与交于点，然后分别以为圆心，大于长为半径画弧，连接弧的交点与点，与交于点，即为所求； （2）按照步骤作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列分式方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，利用等式性质去分母是解题的关键． （1）方程两边同乘最简公分母化为整式方程，解出并检验后，即可确定其为原方程的解； （2）先对原方程分母因式分解，再两边同乘最简公分母化为整式方程，解出并检验后，即可确定其为原方程的解． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 分母因式分解，得， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 20. 先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 【答案】（1），1 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了代数式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式化简，再代入求值即可； （2）先计算括号内的，再除法化乘法约分化简，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， 当，时， 原式； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，网格中每个小正方形的边长都是个单位长度． （1）作出关于轴对称的，其中，，的对称点分别为，，，并写出，的坐标； （2）作出关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称的，其中的对称点分别为，并写出，的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求，，； （2）如图，即为所求，，． 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （）依据轴对称的性质，即可得到关于轴对称的，进而得出，的坐标； （）依据轴对称的性质，即可得到关于直线对称的，进而得出，的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某学校计划利用暑假时间（共58天）对全校教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍，甲、乙两队合作完成工程需要24天，甲队每天的工作费用为1500元，乙队每天的工作费用为950元． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）现有三种方案可选：甲队单独完成工程，乙队单独完成工程，甲、乙两队合作完成工程．请你选择其中一种方案，既能在暑假时间完工，又能使工程费用最少，并计算出最少工程费用． 【答案】（1）甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天 （2）甲、乙两队合作既能在暑假时间完成工程，同时费用最少，最少费用为5.88万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需天，再根据“甲、乙两队合作完成工程需要24天”，列出分式方程，解方程即可； （2）根据（1）中的结果求出甲单独完成，和甲、乙两队合作完成的费用比较，即可解答． 【小问1详解】 解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需天， 由题意得：， 即：， 即： 解得：， 经检验：是原方程的解， 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天； 【小问2详解】 解：由（1）知甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天， ∵， ∴甲能在暑假时间完成，乙不能在暑假时间完成， 又∵甲单独完成的费用为：（元）， 甲、乙两队合作完成的费用为：（元）， 且， ∴综上：甲、乙两队合作既能在暑假时间完成工程，同时费用最少，最少费用为5.88万元． 23. 如图，是等边三角形，是中线，，垂足为，延长至，使． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的周长为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形性质，含直角三角形性质等知识，熟记等边三角形的性质，直角三角形性质是解题的关键． （）由是等边三角形，则，又是的中线，则，因为，所以，然后证明，从而可得； （）因为是等边三角形且周长为，所以，得，然后通过含直角三角形性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形且周长为， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半， ∴． 24. 已知关于的方程的两个解是，关于的方程的两个解是．小红认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于的方程的两个解是，并在老师的帮助下完成了严谨的证明． 请利用小红的这个结论解决以下几个问题： （1）求解关于的方程； （2）关于的方程的两个解分别为，求的值； （3）关于的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，完全平方公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题干方法求方程的解即可； （）由题意可知，利用完全平方公式变形计算即可； （）由，变形为，所以，，则，，得，从而求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴关于的方程的解为； 【小问2详解】 解：由题意可知：， ∴； 【小问3详解】 解：， ， ∵关于的方程的两个解是， ∴，， ∴，， ∴， ∵是正整数， ∴或． 25. 如图，在等腰三角形中，，点为底边上一动点，连接，在左侧作等腰三角形，使，，连接． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若，，当点由点运动到点时： 的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； 求出点运动的路径长度． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴是等边三角形， 同理得也是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）的大小会发生变化， 的大小会发生变化， 如下图所示，过点作，交于，则是的中点， 当点在上运动时，， 理由如下： 过点作于， ∵，， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点与中点重合时，； 当点在上运动时，， 理由如下： 如下图所示，过点作，交的延长线于点，    同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴；      点P运动的路径长度为． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可证和是等边三角形，根据等边三角形的性质可证，利用“”可证结论成立； （）如下图所示，过点作，交于，则是的中点，当点在上运动时，当点与中点重合时，；当点在上运动时，， 如下图所示，点运动的路径是从点到点，由与都是等腰直角三角形，得，当点运动到点时，点在点处，又，则，从而可得，，在同一直线上，由题意得是等腰直角三角形，然后通过即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 略 如下图所示，点运动的路径是从点到点， 当点在点时， 设交于， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， 当点运动到点时，点在点处， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，在同一直线上， 由题意得是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点运动的路径长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $