2025-2026学年高一寒假精英物理讲义：第5讲 功与功率

第5讲 功与功率 【体系构建】 1. 功的概念和功的计算 2. 功率的概念和功率的分析和计算 3. 机车启动的两类问题 【情境引入】 手动挡的摩托车上陡坡的时候为什么要降到2-3档而不是高档位高速上坡呢？其中有什么物理知识？ 【必备知识】 知识点一 功的概念和功的计算 1.定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 2.公式：W＝Flcos__α。 (1)α是力与位移之间的夹角，l为物体对地的位移。 (2)该公式只适用于恒力做功。 (3)功是标量，没有方向，但有正负。 3.单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是 J。1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。 4.做功的两个条件：力和物体在力的方向上发生位移。 5.功的正负：由W＝Flcos α可知 (1)当α＝时，cos α＝0，W＝0，力对物体不做功。 (2)当0≤α<时，cos α>0，W>0，力对物体做正功。 (3)当<α≤π时，cos α<0，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功。 说明：功的正、负不表示功的大小，只表示力的性质，即正功表示该力是动力，负功表示该力是阻力。 1．关于力对物体做功的下列说法中，正确的是（　　） A．一对平衡力在相同的时间内对物体做功的代数和一定为零 B．作用力与反作用力在相同的时间内所做的功一定大小相等，一正一负 C．合外力对物体不做功，物体必定做匀速直线运动 D．滑动摩擦力对物体一定做负功 【答案】A 【详解】A．一对平衡力作用在同一物体上，大小相等、方向相反，由于这对平衡力的合力为零，根据总功的计算方法，它们对物体所做功的代数和（即合力的功）也一定为零，故A正确； B．作用力与反作用力大小相等、方向相反，但作用在不同物体上，两物体的位移可能不同，因此做功不一定大小相等，可能一正一负、也能两个都为正、可能两个都为负，还可能一个做功另一个不做功，故B错误； C．合外力对物体不做功时，物体动能不变，但速度方向可能改变（例如匀速圆周运动中，向心力不做功，但物体做曲线运动），故C错误； D．滑动摩擦力对物体做功的正负取决于摩擦力方向与物体位移方向的夹角：当摩擦力方向与位移方向相同时做正功，故D错误。 故选A。 2．如图所示，一个质量为的物体，受到与水平方向成角斜向下方的推力作用，在水平地面上移动了距离后撤去推力，此后物体又移动了的距离后停止运动。设物体与地面间的动摩擦因数为，，求： (1)推力对物体做的功； (2)全过程中摩擦力对物体所做的功； (3)有推力作用时合外力对物体所做的总功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）推力对物体做功为 （2）前2m内，摩擦力 摩擦做功为 后内，摩擦力 摩擦做功为 所以全过程中摩擦力对物体所做的功 （3）有推力作用时，合外力对物体做的总功为 知识点二 功率的概念和功率的分析和计算 1.定义：功W与完成这些功所用时间t之比。 2.公式：P＝。单位：瓦特，简称瓦，符号是W。 3.意义：功率是表示力做功快慢的物理量。 4.功率是标量。 5.功率与速度 (1)功率与速度关系式：P＝Fv(F与v方向相同)。 (2)若v是平均速度，则P＝Fv表示平均功率；若v是瞬时速度，则P＝Fv表示瞬时功率。 6.公式P＝Fv中三个量的制约关系 定值 各量间的关系 应用 P一定 F与v成反比 汽车上坡时，需增大牵引力，应换低速挡减小速度 v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力 F一定 v与P成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度 7.平均功率与瞬时功率 项目 平均功率 瞬时功率 公式 P＝或P＝Fcos α P＝Fvcos α，式中v表示某一时刻的瞬时速度 物理意义 只能粗略地描述物体做功的快慢 能精确地描述物体做功的快慢 注意 ①求解功率时，一定要分析清楚所求功率是瞬时功率还是平均功率 ②应用P＝Fcos α计算平均功率时，力F是恒力，为对应时间t内的平均速度 ③求平均功率时一定要说明是哪个力在哪段时间内的平均功率 3．“套圈”是很多人喜欢的游戏项目。如图所示，某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出，分别套中Ⅰ、Ⅱ号物品。不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．套中Ⅰ号物品，套环在空中运动的时间短 B．套中Ⅰ号物品，套环在空中速度变化得慢 C．套中Ⅱ号物品，套环落地时的重力瞬时功率较大 D．套中物品过程中两套环重力的平均功率相同 【答案】D 【详解】A．根据平抛运动规律，竖直方向的位移公式为 可知套中物品的时间与高度有关，前后两次高度相同，则两次时间相同，故A错误； B．两次套环都做平抛运动，加速度恒定，根据 可知，套环在空中速度变化快慢相同，故B错误； C．根据平抛运动规律，两次套环运动时间相同，根据 可知两环落地时重力瞬时功率相同，故C错误； D．套中物品过程中，下落高度相同，时间相同，根据 可知，套环重力的平均功率相同，故D正确。 故选D。 4．如图（a）所示，摩托车与小汽车前后停在同一平直的道路上等候交通灯。摩托车刚好在前面的停车线处，小汽车与停车线相距L=10m。当红灯熄灭绿灯亮起时，小汽车开始以的加速度启动，当运动到停车线处即改做匀速运动；摩托车看到绿灯亮起立即以的加速度启动做匀加速运动。已知两车在运动过程中可视为质点，所受阻力恒定，在运动时间t内摩托车牵引力的功为W，其图像如图（b）所示。求： （1）两车在运动过程中的最小距离； （2）摩托车运动的第2s末牵引力的功率P。 【答案】（1）7.5m；（2）6000W 【详解】（1）两车速度相等时间距最小。汽车运动至停车线的过程中，有 得 两车共速时 得 两车最小间距为 （2）摩托车做匀加速直线运动，牵引力做功为 得 图线斜率为 得摩托车牵引力为 则摩托车运动的第2s末牵引力的功率为 5．小明做引体向上运动，在30s内刚好连续做了10个完整的引体向上。若每次完整的引体向上分为身体“上引”（身体由静止开始从最低点升到最高点）和“下放”（身体从最高点回到最低点的初始状态）两个过程，单杠在整个过程中相对地面静止不动。如图所示，在单杠和地面之间安装力传感器，图中呈现的是一段时间内力传感器的示数随时间的变化情况。已知小明身高1.75 m，体重约60 kg，“上引”过程重心上升约0.5 m，“上引”和“下放”的时间相同，重力加速度取。下列说法正确的是（    ） A．从到，小明先“下放”后“上引” B．从到，可能显示某“上引”过程力的变化情况 C．小明在某次“上引”过程克服重力做功的平均功率约为200W D．上升阶段，单杠对小明做正功 【答案】C 【详解】AB．根据传感器的示数随时间的变化可知，从到，小明先处于失重状态后处于超重状态，可知小明先向下加速，后向下减速，显示了某“下放”过程力的变化情况，故AB错误； C．小明在30s内刚好连续做了10个完整的引体向上，“上引”和“下放”的时间相同，可知均为1.5s，每做一次完整的引体向上所做的功约为 在某次“上引”过程克服重力做功的平均功率约，故C正确； D．在做引体向上运动时，单杠对小明不做功，人的手臂对躯体做功消耗了人体的化学能并转化为机械能，故D错误。 故选C。 知识点三 机车启动的两类问题 1.恒定功率启动 汽车启动的动态过程如下。 这一过程的速度、功率、牵引力随时间变化的图像分别如图所示。 2. 恒定加速度启动 a不变，F阻不变，由F－F阻＝ma知，F也不变，由P＝Fv知，此过程汽车的实际功率P增大。 汽车刚达到额定功率时，F>F阻，即合力方向仍与运动方向相同，故汽车继续做加速直线运动。由F－F阻＝ma和P额＝Fv1 得v1＝ 此后汽车功率不变，速度继续增大，此时汽车的速度不是最大速度。 汽车启动的动态过程如下。 这一过程的速度、功率、牵引力随时间变化的图像分别如图所示。 汽车的最大速度vmax＝。 7．某人骑着电动车以速度v0在t=0时刻冲上一倾角为θ的斜坡。保持电动车牵引力功率不变，t=t1时刻速度达到稳定。t=t2时刻将功率调到最大且保持不变，t=t3时车速又达到稳定。电动车的速度v随时间t的变化关系如图所示。已知电动车的质量为M，车主的质量为m，电动车及车主整体受到的阻力大小f恒定，重力加速度为g，则（　　） A．电动车牵引力的功率为 B．电动车在和两个过程中牵引力的功率之比2：3 C．时间内，电动车运动的距离小于 D．时间内（不含）电动车的加速度大小一定大于 【答案】BC 【详解】A．在时间内，整体匀速向上，对整体受力分析可知，整体受到的牵引力 则功率，故A错误； B．时刻将功率调到最大且保持不变，时刻之后，车速又达到稳定匀速向上，对整体受力分析可知，整体受到的牵引力 则功率 则和两个过程中牵引力的功率之比，故B正确； C．假设整体做匀变速直线运动，则时间内的位移 由图可知，电动车间内的位移小于，故C正确； D．时刻，对整体受力分析，由牛顿第二定律可得 时刻，牵引力 解得 故无法判断大小，故D错误。 故选BC。 8．质量为2t的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度图像如图所示，从时刻起牵引力的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为2000N，图中，，，则（　　） A．时间内，汽车牵引力为6000N B．时间内，汽车功率为60kW C．汽车运动的最大速度为20m/s D．时间内，汽车位移为1125m 【答案】ABD 【详解】A．汽车在时间内的加速度为 根据牛顿第二定律 得时间内，汽车牵引力为，A正确； B．在时间汽车的功率保持不变，可得汽车的额定功率为，B正确； C．当牵引力等于阻力时，汽车的速度达到最大，则汽车运动的最大速度为，C错误； D．时间内，汽车运动的位移为 在时间由动能定理 代入数据解得汽车的位移为 所以运动的总位移为，D正确。 故选ABD。 知识点四 变力做功 方法 常见情景 方法概述 微元法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题 平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，然后用公式W＝Flcos α求解 图像法 在F－x和P－t图像中，图线与x轴或t轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移或这段时间内所做的功，且位于横轴上方的“面积”为正，位于横轴下方的“面积”为负。图甲中，力F做功W＝x0，图乙中，在0～t0时间内力做功W＝t0 化变力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中 用W＝Pt计算 用W＝Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定”的这一条件 9．人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 【答案】732J 【详解】人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，设人手到定滑轮的竖直距离为h，物体上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即 又 所以人对绳的拉力做的功 10．如图所示，可视为质点、质量为的遥控动力玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定的速率做完整的圆周运动，A、B为圆轨道上某一竖直方向上的两点，点与圆心的连线与竖直方向的夹角为。已知圆轨道的半径为，玩具车与轨道间的摩擦力与轨道对车的支持力成正比，且比例系数为，重力加速度为，不计空气阻力。玩具车在一次完整的圆周运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．玩具车在点对轨道的压力方向沿半径指向圆心 B．玩具车在点所受轨道支持力的大小为 C．玩具车通过、两点时对轨道的压力大小之和为 D．玩具车由最低点到最高点克服摩擦力做功为 【答案】BD 【详解】A．在A、B两点的受力如图所示 玩具车在A点受轨道所给支持力沿半径指向圆心，由牛顿第三定律可得，玩具车在A点对轨道的压力沿半径背离圆心，故A错误； B．在B点，由向心力公式有 解得，故B正确； C．在A点，由向心力公式有 两式相加可得 根据牛顿第三定律，玩具车通过A、B两点时对轨道的压力大小之和为，故C错误； D．将圆轨道分成N段，每段的长度为 因玩具车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，在轨道上下关于水平直径对称的位置上取两小段P、Q，根据C选项可知在P、Q两小段的压力之和为定值，可得克服摩擦力做功之和为 解得 所以玩具车从最低点到最高点克服摩擦力做功为，故D正确。 故选BD。 11．下列四种物理过程分别用四个图描述。 甲：绳拉力F大小不变，物块从A处被拉到B处，物块和光滑轮O可视为质点； 乙：物体沿x轴运动，受到一个与x轴方向平行的力F，F的大小与位置的关系可用图乙描述（力沿+x轴时取正值），物体从x=0移动到x=12米的过程； 丙：绳长为R，小球（视为质点）沿竖直面从与圆心等高的A点运动至圆心正下方的B点，此过程空气阻力为大小不变的f； 丁：悬挂的小球（视为质点）在水平力F作用下，被缓慢拉到悬线与竖直方向成θ角的位置（从P拉到Q），悬线长为l。 这四种情形的运动过程中，关于力F或f做功的说法正确的有（　　） A．甲：F做功 B．乙：F做功等于63J C．丙：克服空气阻力f做的功 D．丁：F做功可以用求解，其中 【答案】AC 【详解】A．以力的作用点为对象，物块从A到拉到B过程中，作用点发生的位移大小为 则力做功围殴，故A正确； B．由图可知，先做正功，后做负功，全过程中做的总功为，故B错误； C．小球从A沿圆弧运动到B过程中空气阻力做负功，且空气阻力为大小不变，故克服空气阻力f做的功，故C正确； D．小球在水平力作用下，被缓慢从P拉到Q，根据受力平衡可得 由于逐渐增大，所以逐渐增大，即为变力，所以做功不可以用求解，故D错误。 故选AC。 课时精炼 【基础强化】 12．如图所示，一位绿化工人推动割草机以速度v在水平草地上匀速前进，工人对割草机的推力大小为F，方向与水平方向的夹角为45°。已知割草机的质量为m，割草机轮子没有动力，下列说法正确的是（　　） A．工人的推力在时间t内做功为Fvt B．工人对地面的压力小于工人的重力 C．由于工人对割草机有向下的压力，所以割草机处于超重状态 D．工人撤去推力后，割草机慢慢停下来，说明力是维持物体运动的原因 【答案】B 【详解】A．工人的推力在时间t内做的功为，A错误； B．地面对工人的支持力、竖直方向有，解得，工人对地面的压力（大小等于支持力）小于工人的重力，B正确； C．割草机匀速运动，加速度为零，因此既不处于超重状态也不处于失重状态，C错误； D．撤去推力后，割草机由于摩擦力而减速停下，这并不能说明推力是维持运动的原因，而是说明了力是物体运动状态发生改变的原因，D错误。 故选B。 13．如图所示，在水平面上细线一端固定，另一端系一个物体A，现给物体A垂直于线的速度，经过B点后正好停止于C点。在此过程中（　　） A．物体的加速度始终指向O点 B．物体受到3个力作用 C．细线拉力在减小 D．细线拉力做功等于动能的减少 【答案】C 【详解】A．物体做变速圆周运动，沿切线方向加速度与运动方向相反，向心加速度指向圆心，物体的加速度为两方向加速度的矢量和，不指向圆心，故A错误； B．物体受到重力、支持力、拉力和摩擦力4个力的作用，故B错误； C．细线拉力提供物体做圆周运动的向心力，由知速度减小则拉力减小，故C正确； D．细线拉力始终与运动方向垂直，不做功，故D错误。 故选C。 14．比亚迪E-SEED概念车是基于人类未来发展而倾力打造的一款全新型纯电动汽车，其中“E-SEED”五个英文字母分别代表：电动、运动、体验、环保和装置，蕴含着比亚迪绿色环保的设计理念。为了获取该款车的有关数据，某次试车过程中，试车员驾驶汽车由静止沿光滑平直公路启动，并控制汽车功率按图示规律变化。已知汽车的质量为m，额定功率为，汽车在行驶过程中所受阻力恒为车重的K倍，在时刻汽车刚好获得最大速度。则下列说法正确的是（　　） A．在t1~t2时间内汽车做匀速直线运动 B．在0~t1时间内汽车平均功率为 C．在0~t2时间内汽车发动机所做的功为 D．在t2时刻汽车的运动速度为 【答案】BD 【分析】根据图象确定汽车做加速度减小的变加速直线运动，当功率达到额定功率将保持不变，最后当牵引力等于阻力时，速度达到最大。 【详解】A．由题意并结合图象可知，在时间内汽车做加速度减小的变加速直线运动，选项A错误； B．在时间内 ， 所以汽车的平均功率为 ， 选项B正确； C．在时间内，汽车发动机所做的功为 ， 选项C错误； D．在时刻，汽车达到最大速度，则有汽车的牵引力 ， 则 ， 选项D正确； 故选BD。 【点睛】考查机车启动问题。 15．如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，此时浮力大小为 解得 木块上表面刚浸没时，浮力大小为 则此过程中木块克服浮力做功为 解得 故选C。 16．质量为2kg的物体在合力的作用下从坐标原点处由静止开始运动，物体由运动至的过程中，力对物体做的功是多少？（　　） A．20J B．40J C．60J D．80J 【答案】C 【详解】做出F-x图像 图像中的面积就表示功，且x=4m时，F=27N 故此过程中，力对物体做的功为直角梯形的面积，ABD错误，C正确； 故选C。 17．早在两千多年前，我国就发明了汉石磨盘，如图甲所示，它是一种可使谷物脱壳、粉碎的加工工具，凝聚着人类的高度智慧.后来人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，示意图如图乙所示，假设驴拉磨可以看作匀速圆周运动，驴对磨杆末端的平均拉力F=800N，拉力沿圆周切线方向，磨杆半径r=0.7m，驴拉磨转动一周的时间为7s，π≈3，则（　　） A．驴转动一周拉力所做的功为3360J B．驴转动一周拉力所做的功为0 C．驴转动一周拉力的平均功率为480W D．磨杆末端的线速度大小为 【答案】AC 【详解】AB．驴转动一周拉力所做的功为 故A正确，B错误； C．驴转动一周拉力的平均功率为 故C正确； D．磨杆末端的线速度大小为 故D错误。 故选AC。 【素养提升】 18．福建舰是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，电磁弹射系统是福建舰的核心装备之一，在测试电磁弹射系统时，配重小车自甲板前端水平射出，落至海面上。简化模型如图所示，两辆质量相同的配重小车1和小车2先后进行弹射测试，轨迹分别为曲线1和曲线2，A、B为两次弹射的落水点。忽略空气阻力，配重小车可视为质点。则关于配重小车1和小车2说法正确的是（    ） A．小车2的水平初速度小于小车1的水平初速度 B．落水瞬间重力的瞬时功率 C．在空中运动过程中速度变化量 D．在空中运动过程中重力的平均功率 【答案】C 【详解】A．配重小车做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，运动时间由下落高度决定，由题意可知两车的下落高度相同，则下落时间相同，即 水平方向为匀速直线运动，又由题意可知水平位移满足 即 可得，故A错误； C．平抛运动中，加速度为重力加速度g，速度变化量 由 则，故C正确； B．重力的瞬时功率公式 其中为竖直分速度满足 则，故B错误； D．重力的平均功率公式 由题意可知两过程的高度和时间均相同，则，故D错误。 故选C。 19．某新型轿车有一种特制的气流通道，当车速不太高时，此气流通道关闭，行驶状态和普通汽车一样；当该轿车高速行驶时，气流通道会自动打开，使轿车对地面的压力增加，从而达到低速省油，高速平稳的目的。已知增加的压力与速度v的关系式为（比例系数k为定值）。下图是该轿车在某水平路面上做匀加速直线运动时，车速与发动机实际功率的关系图像。已知车与地面间阻力（是轿车对地面的压力大小），轿车质量为1×103kg，不计空气阻力，取，求： (1)该轿车做匀加速直线运动的加速度大小a； (2)比例系数k的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题图可知，当汽车速度时，对应功率 此时气流通道未开启，汽车仅受地面滑动摩擦力作用。牵引力表达式为 摩擦阻力表达式为 根据牛顿第二定律可得 代入数据解得 （2）当汽车速度时，对应功率 此时气流通道开启，产生附加压力 牵引力表达式为 摩擦阻力为 根据牛顿第二定律可得 代入数据解得 20．如图所示，汽车先在水平路面上匀速行驶，再驶上一段平直斜坡，水平路面与上坡路面对汽车的阻力大小相等，且维持汽车的输出功率不变，车到达坡顶前已达到稳定状态。在上坡过程中，汽车的速度v、牵引力F、牵引力做的功W、克服路面阻力做的功与时间t的关系图像中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．汽车在水平面上匀速运动时，由 当到达斜面上时，由于刚到达斜面上，此时的牵引力不变还是F，根据牛顿第二定律可知 故汽车从刚到达斜面时，开始做加速度减小的减速运动，根据 可知，速度减小牵引力增大，当牵引力等于阻力和重力沿斜面的分力时，牵引力不变，速度减到最小，此后做匀速运动，故A正确，B错误； C．汽车始终在额定功率下运动，故牵引力所做的功为 与时间成正比，故C错误； D．汽车开始做减速运动，然后做匀速运动，在减速运动阶段，位移不与和时间成正比，克服阻力做功为 克服阻力做功与时间不成正比，故D错误。 故选A。 21．质量的某国产汽车在水平路面上进行整车道路性能试验时，由静止启动，试验过程中汽车牵引力的倒数和速度v的关系如图所示，汽车速度能达到的最大值，整个过程中汽车受到的阻力大小恒定。下列说法正确的是（　　） A．汽车的额定功率为200kW B．汽车从静止开始一直做匀加速运动直至达到最大速度 C．汽车做匀加速运动的加速度大小为 D．汽车做匀加速运动的时间为10s 【答案】C 【详解】A．汽车的速度最大时牵引力大小为 汽车的额定功率为，故A错误； B．汽车的速度最大时牵引力与阻力大小相等 汽车速度在内汽车的牵引力大小与速度大小成反比，说明汽车的功率不变，即汽车的在30m/s时达到额定功率；汽车的速度为时，牵引力大小为 汽车速度在内汽车的牵引力不变，汽车做匀加速直线运动，内牵引力减小，加速度逐渐减小，故B错误； C．由，解得汽车做匀加速运动的加速度大小为，故C正确； D．汽车做匀加速运动的时间为，故D错误。 故选C。 22．如图所示为某款游戏的示意图，质量为的小球（视为质点）从高度为处以的速度水平向右抛出，与地面碰撞前后瞬间水平速度不变，反弹后，小球刚好沿水平方向滑上距地面高度为的长方体平台的最左端。重力加速度g大小取，小球和地面碰撞时间极短，求： (1)小球落地前瞬间，重力的瞬时功率； (2)小球抛出点和平台最左端之间的水平距离L。 【答案】(1)6W (2)3m 【详解】（1）小球落地前一瞬间竖直方向分速度大小              小球落地前瞬间，重力的瞬时功率                  解得 （2）设小球抛出后经时间落到地面，反弹后，经时间滑上平台 则， ，                  解得 知识清单 1. 功的正负有什么物理意义？ 2.汽车（手动挡）上坡时应该换高档还是低挡？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲 功与功率 【体系构建】 1．功的概念和功的计算。 2．功率的概念和功率的分析和计算。 3．机车启动的两类问题。 【情境引入】 手动挡的摩托车上陡坡的时候为什么要降到2 - 3档而不是高档位高速上坡呢？其中有什么物理知识？ 【必备知识】 知识点一 功的概念和功的计算 1．定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、______________ __________这三者的乘积。 2．公式：W = __________。 （1）α是力与_______之间的夹角，l为物体对地的位移。 （2）该公式只适用于_______做功。 （3）功是_______量，没有方向，但有正负。 3．单位：在国际单位制中，功的单位是_______，简称焦，符号是_______。1 J = 1 N×1 m = 1 N·m。 4．做功的两个条件：_______和物体在力的方向上发生_______。 5．功的正负：由W = Flcos α可知 （1）当α = 时，cos α = 0，W =___，力对物体_________。 （2）当0≤α＜时，cos α＞0，W___0，力对物体做_______。 （3）当＜α≤π时，cos α＜0，W___0，力对物体做_______，或称物体______这个力做功。 说明：功的正、负不表示功的大小，只表示力的性质，即正功表示该力是______，负功表示该力是______。 例1．关于力对物体做功的下列说法中，正确的是（ ） A．一对平衡力在相同的时间内对物体做功的代数和一定为零 B．作用力与反作用力在相同的时间内所做的功一定大小相等，一正一负 C．合外力对物体不做功，物体必定做匀速直线运动 D．滑动摩擦力对物体一定做负功 例2．如图所示，一个质量为的物体，受到与水平方向成角斜向下方的推力作用，在水平地面上移动了距离后撤去推力，此后物体又移动了的距离后停止运动。设物体与地面间的动摩擦因数为，，求： （1）推力对物体做的功； （2）全过程中摩擦力对物体所做的功； （3）有推力作用时合外力对物体所做的总功。 知识点二 功率的概念和功率的分析和计算 1．定义：功W与完成这些功所用_________之比。 2．公式：P =____。单位：_______，简称____，符号是____。 3．意义：功率是表示力_____________的物理量。 4．功率是________。 5．功率与速度 （1）功率与速度关系式：P =________（F与v方向相同）。 （2）若v是平均速度，则P = Fv表示平均功率；若v是瞬时速度，则P = Fv表示瞬时功率。 6．公式P = Fv中三个量的制约关系 定值 各量间的关系 应用 P一定 F与v成反比 汽车上坡时，需增大牵引力，应换低速挡减小速度 v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力 F一定 v与P成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度 7．平均功率与瞬时功率 项目 平均功率 瞬时功率 公式 P = 或P = P = Fvcos α，式中v表示某一时刻的瞬时速度 物理意义 只能粗略地描述物体做功的快慢 能精确地描述物体做功的快慢 注意 ①求解功率时，一定要分析清楚所求功率是瞬时功率还是平均功率 ②应用P =计算平均功率时，力F是恒力，为对应时间t内的平均速度 ③求平均功率时一定要说明是哪个力在哪段时间内的平均功率 例3．“套圈”是很多人喜欢的游戏项目。如图所示，某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出，分别套中Ⅰ、Ⅱ号物品。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．套中Ⅰ号物品，套环在空中运动的时间短 B．套中Ⅰ号物品，套环在空中速度变化得慢 C．套中Ⅱ号物品，套环落地时的重力瞬时功率较大 D．套中物品过程中两套环重力的平均功率相同 例4．如图(a)所示，摩托车与小汽车前后停在同一平直的道路上等候交通灯。摩托车刚好在前面的停车线处，小汽车与停车线相距L = 10 m。当红灯熄灭绿灯亮起时，小汽车开始以的加速度启动，当运动到停车线处即改做匀速运动；摩托车看到绿灯亮起立即以的加速度启动做匀加速运动。已知两车在运动过程中可视为质点，所受阻力恒定，在运动时间t内 摩托车牵引力的功为W，其图像如图(b)所示。求： （1）两车在运动过程中的最小距离； （2）摩托车运动的第2 s末牵引力的功率P。 例5．小明做引体向上运动，在30 s内刚好连续做了10个完整的引体向上。若每次完整的引体向上分为身体“上引”（身体由静止开始从最低点升到最高点）和“下放”（身体从最高点回到最低点的初始状态）两个过程，单杠在整个过程中相对地面静止不动。如图所示，在单杠和地面之间安装力传感器，图中呈现的是一段时间内力传感器的示数随时间的变化情况。已知小明身高1.75 m，体重约60 kg，“上引”过程重心上升约0.5 m，“上引”和“下放”的时间相同，重力加速度取。下列说法正确的是（ ） A．从到，小明先“下放”后“上引” B．从到，可能显示某“上引”过程力的变化情况 C．小明在某次“上引”过程克服重力做功的平均功率约为200 W D．上升阶段，单杠对小明做正功 知识点三 机车启动的两类问题 1．恒定功率启动 汽车启动的动态过程如下。 这一过程的速度、功率、牵引力随时间变化的图像分别如图所示。 2．恒定加速度启动 a不变，F阻不变，由F - F阻 = ma知，F也不变，由P = Fv知，此过程汽车的实际功率P增大。 汽车刚达到额定功率时，F＞F阻，即合力方向仍与运动方向相同，故汽车继续做加速直线运动。由F - F阻 = ma和P额 = Fv1，得v1 =。 此后汽车功率不变，速度继续增大，此时汽车的速度不是最大速度。 汽车启动的动态过程如下。 这一过程的速度、功率、牵引力随时间变化的图像分别如图所示。 汽车的最大速度vmax =。 例6．某人骑着电动车以速度v0在t = 0时刻冲上一倾角为θ的斜坡。保持电动车牵引力功率不变，t = t1时刻速度达到稳定。t = t2时刻将功率调到最大且保持不变，t = t3时车速又达到稳定。电动车的速度v随时间t的变化关系如图所示。已知电动车的质量为M，车主的质量为m，电动车及车主整体受到的阻力大小f恒定，重力加速度为g，则（ ） A．电动车牵引力的功率为 B．电动车在和两个过程中牵引力的功率之比2:3 C．时间内，电动车运动的距离小于 D．时间内（不含）电动车的加速度大小一定大于 例7．质量为2 t的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度图像如图所示，从时刻起牵引力的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为2000 N，图中，，，则（ ） A．时间内，汽车牵引力为6000 N B．时间内，汽车功率为60 kW C．汽车运动的最大速度为20 m/s D．时间内，汽车位移为1125 m 知识点四 变力做功 方法 常见情景 方法概述 微元法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题 平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F = 的恒力作用，然后用公式W = Flcos α求解 图像法 在F－x和P－t图像中，图线与x轴或t轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移或这段时间内所做的功，且位于横轴上方的“面积”为正，位于横轴下方的“面积”为负。图甲中，力F做功W =，图乙中，在0～t0时间内力做功W = t0 化变力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W = Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中 用W = Pt计算 用W = Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定”的这一条件 例8．人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 例9．如图所示，可视为质点、质量为的遥控动力玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定的速率做完整的圆周运动，A、B为圆轨道上某一竖直方向上的两点，点与圆心的连线与竖直方向的夹角为。已知圆轨道的半径为，玩具车与轨道间的摩擦力与轨道对车的支持力成正比，且比例系数为，重力加速度为，不计空气阻力。玩具车在一次完整的圆周运动过程中，下列说法正确的是（ ） A．玩具车在点对轨道的压力方向沿半径指向圆心 B．玩具车在点所受轨道支持力的大小为 C．玩具车通过、两点时对轨道的压力大小之和为 D．玩具车由最低点到最高点克服摩擦力做功为 11．下列四种物理过程分别用四个图描述。 甲：绳拉力F大小不变，物块从A处被拉到B处，物块和光滑轮O可视为质点； 乙：物体沿x轴运动，受到一个与x轴方向平行的力F，F的大小与位置的关系可用图乙描述（力沿 +x轴时取正值），物体从x = 0移动到x = 12米的过程； 丙：绳长为R，小球（视为质点）沿竖直面从与圆心等高的A点运动至圆心正下方的B点，此过程空气阻力为大小不变的f； 丁：悬挂的小球（视为质点）在水平力F作用下，被缓慢拉到悬线与竖直方向成θ角的位置（从P拉到Q），悬线长为l。 这四种情形的运动过程中，关于力F或f做功的说法正确的有（ ） A．甲：F做功 B．乙：F做功等于63 J C．丙：克服空气阻力f做的功 D．丁：F做功可以用求解，其中 课时精炼 【基础强化】 1．如图所示，一位绿化工人推动割草机以速度v在水平草地上匀速前进，工人对割草机的推力大小为F，方向与水平方向的夹角为45°。已知割草机的质量为m，割草机轮子没有动力，下列说法正确的是（ ） A．工人的推力在时间t内做功为Fvt B．工人对地面的压力小于工人的重力 C．由于工人对割草机有向下的压力，所以割草机处于超重状态 D．工人撤去推力后，割草机慢慢停下来，说明力是维持物体运动的原因 2．如图所示，在水平面上细线一端固定，另一端系一个物体A，现给物体A垂直于线的速度，经过B点后正好停止于C点。在此过程中（ ） A．物体的加速度始终指向O点 B．物体受到3个力作用 C．细线拉力在减小 D．细线拉力做功等于动能的减少 3．比亚迪E－SEED概念车是基于人类未来发展而倾力打造的一款全新型纯电动汽车，其中“E－SEED”五个英文字母分别代表：电动、运动、体验、环保和装置，蕴含着比亚迪绿色环保的设计理念。为了获取该款车的有关数据，某次试车过程中，试车员驾驶汽车由静止沿光滑平直公路启动，并控制汽车功率按图示规律变化。已知汽车的质量为m，额定功率为，汽车在行驶过程中所受阻力恒为车重的K倍，在时刻汽车刚好获得最大速度。则下列说法正确的是（ ） A．在t1～t2时间内汽车做匀速直线运动 B．在0～t1时间内汽车平均功率为 C．在0～t2时间内汽车发动机所做的功为 D．在t2时刻汽车的运动速度为 4．如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（ ） A． B． C． D． 5．质量为2 kg的物体在合力的作用下从坐标原点处由静止开始运动，物体由运动至的过程中，力对物体做的功是多少？（ ） A．20 J B．40 J C．60 J D．80 J 6．早在两千多年前，我国就发明了汉石磨盘，如图甲所示，它是一种可使谷物脱壳、粉碎的加工工具，凝聚着人类的高度智慧。后来人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，示意图如图乙所示，假设驴拉磨可以看作匀速圆周运动，驴对磨杆末端的平均拉力F = 800 N，拉力沿圆周切线方向，磨杆半径r = 0.7 m，驴拉磨转动一周的时间为7 s，π≈3，则（ ） A．驴转动一周拉力所做的功为3360 J B．驴转动一周拉力所做的功为0 C．驴转动一周拉力的平均功率为480 W D．磨杆末端的线速度大小为 【素养提升】 7．福建舰是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，电磁弹射系统是福建舰的核心装备之一，在测试电磁弹射系统时，配重小车自甲板前端水平射出，落至海面上。简化模型如图所示，两辆质量相同的配重小车1和小车2先后进行弹射测试，轨迹分别为曲线1和曲线2，A、B为两次弹射的落水点。忽略空气阻力，配重小车可视为质点。则关于配重小车1和小车2说法正确的是（ ） A．小车2的水平初速度小于小车1的水平初速度 B．落水瞬间重力的瞬时功率 C．在空中运动过程中速度变化量 D．在空中运动过程中重力的平均功率 8．某新型轿车有一种特制的气流通道，当车速不太高时，此气流通道关闭，行驶状态和普通汽车一样；当该轿车高速行驶时，气流通道会自动打开，使轿车对地面的压力增加，从而达到低速省油，高速平稳的目的。已知增加的压力与速度v的关系式为（比例系数k为定值）。下图是该轿车在某水平路面上做匀加速直线运动时，车速与发动机实际功率的关系图像。已知车与地面间阻力（是轿车对地面的压力大小），轿车质量为1×103 kg，不计空气阻力，取，求： （1）该轿车做匀加速直线运动的加速度大小a； （2）比例系数k的大小。 9．如图所示，汽车先在水平路面上匀速行驶，再驶上一段平直斜坡，水平路面与上坡路面对汽车的阻力大小相等，且维持汽车的输出功率不变，车到达坡顶前已达到稳定状态。在上坡过程中，汽车的速度v、牵引力F、牵引力做的功W、克服路面阻力做的功与时间t的关系图像中，正确的是（ ） A． B． C． D． 10．质量的某国产汽车在水平路面上进行整车道路性能试验时，由静止启动，试验过程中汽车牵引力的倒数和速度v的关系如图所示，汽车速度能达到的最大值，整个过程中汽车受到的阻力大小恒定。下列说法正确的是（ ） A．汽车的额定功率为200 kW B．汽车从静止开始一直做匀加速运动直至达到最大速度 C．汽车做匀加速运动的加速度大小为 D．汽车做匀加速运动的时间为10 s 11．如图所示为某款游戏的示意图，质量为的小球（视为质点）从高度为处以的速度水平向右抛出，与地面碰撞前后瞬间水平速度不变，反弹后，小球刚好沿水平方向滑上距地面高度为的长方体平台的最左端。重力加速度g大小取，小球和地面碰撞时间极短，求： （1）小球落地前瞬间，重力的瞬时功率； （2）小球抛出点和平台最左端之间的水平距离L。 知识清单 1、功的正负有什么物理意义？ 2、汽车（手动挡）上坡时应该换高档还是低挡？ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $