2025-2026学年高一寒假精英物理讲义：第4讲 天体运动的特殊问题

第四讲 天体运动的特殊问题 【体系构建】 1．人造卫星的变轨和对接问题。 2．天体的追及问题。 3．双星、多星系统。 4．黑洞和星球解体问题。 【情景引入】 我国的人造卫星技术在全世界名列前茅，你知道人造卫星的发射速度和轨道的关系吗？卫星是如何变轨和对接的呢？ 【必备知识】 知识点一 人造卫星的变轨和对接问题 1．变轨原理 （1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图 所示。 （2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 （3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．变轨过程各物理量比较 速度关系 （向心）加速度关系 周期关系 机械能 例1．（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（ ） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 例2．（多选）如图所示为发射航天器至运行轨道的过程示意图。航天器先进入近地轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P点、Q点。已知近地卫星运动周期为T，万有引力常量G、地球半径R，下列说法正确的是（ ） A．地球的平均密度为 B．航天器在轨道2上的运行周期小于其在轨道3上的运行周期 C．航天器在轨道1上运行时的机械能大于其在轨道3上运行时的机械能 D．航天器在轨道2上Q点的速度大于其在轨道3上Q点的速度 例3．2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，在对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是（ ） 知识点二 天体的追及问题 天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例（“行星冲日”），某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同（图甲），根据 = mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题。 甲　　　　　　　　乙 1．角度关系 2．圈数关系 例4．当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确的是（ ） A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年 B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年 C．木星运行的加速度比地球的大 D．木星运行的周期比地球的小 例5．我国农历一个月用月亮的朔望月周期来划分，即从一次满月到下一次满月的时间间隔。如图所示为满月时月球、地球和太阳之间的位置，它们的中心位于同一直线上，设月球绕地球做圆周运动的周期为，地球绕太阳做圆周运动的周期为，月球绕地球做圆周运动平面与地球绕太阳做圆周运动的平面共面，地球围绕太阳公转和月球围绕地球公转的方向相同，我国农历一个月的时间是（ ） A． B． C． D． 例6．（多选）如图甲，卫星和地心连线与地面的交点称为星下点，随着卫星绕地球运动以及地球自转，星下点会在地球表面不断移动，形成星下点轨迹。地球半径为，自转周期小时。卫星A、B绕行方向与地球自转方向一致（图中未画），其星下点部分轨迹分别如题图乙、丙。已知地球同步卫星的轨道半径，，卫星运动均视为匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ） A．卫星A、B的周期之比 B．卫星A、B运行的线速度之比为 C．卫星B绕地球运行的轨道半径为 D．某时刻卫星A、B相距最近，之后在A运动的20圈时间内，卫星A、B有5次相距最近 知识点三 双星和多星模型 1．双星模型 （1）定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图4所示。 图4 （2）特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供， 即= m1r1，= m2r2。 ②两颗星的周期、角速度相同，即T1 = T2，ω1 = ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1 + r2 = L。 ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即=。 ⑤双星的运动周期T = 2π。 ⑥双星的总质量m1 + m2 = 。 2．多星模型 （1）定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 （2）常见的三星模型 ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图甲所示）。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）。 （3）常见的四星模型 ①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）。 ②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动（如图丁所示）。 例7．如图所示，在某些恒星系统中，双星、快速绕点做匀速圆周运动，其他天体距离它们较远，已知、的质量分别为，运转周期为，引力常量为，若不考虑其他天体对双星A、B的作用，则下列说法正确的是（ ） A． 双星A、B运动的轨道半径之比为 B． 双星A、B的速度大小之比为 C． 双星A、B的向心加速度大小之比为 D． 双星之间的距离为 例8．如图所示的“三星”系统，三星A、B、C质量均为m，位置连线构成等边三角形，三角形边长为L，三星绕共同圆心O做匀速圆周运动，不考虑其他星体影响，万有引力常量为G，则（ ） A．每颗星的向心加速度相同 B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 C．每颗星的角速度为 D．每颗星的线速度大小为 例9．（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m(m << M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（ ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 知识点四 黑洞和星球瓦解问题 1．星球的瓦解问题：当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即 = mω2R，得ω =。当ω＞时，星球瓦解，当ω＜时，星球稳定运行。 2．黑洞：黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的倍）超过光速时，该天体就是黑洞。 例10．（多选）黑洞是质量非常大的天体，由于质量很大，引起了其周围的时空弯曲，从地球上观察，我们看到漆黑一片，那么关于黑洞，你认为正确的是（ ） A．内部也是漆黑一片，没有任何光 B．内部的光由于引力的作用发生弯曲，不能从黑洞中射出 C．如果有一个小的星体经过黑洞，将会被吸引进去 D．人类还没有发现黑洞存在的证据 例11．（多选）2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布。在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是（ ） A．两者之间的万有引力变大 B．黑洞的角速度变大 C．恒星的线速度变大 D．黑洞的线速度变大 例12．史瓦西半径是任何有质量的物质都存在的一个临界半径，该半径的含义是：该物质被压缩到此半径时，就成为一个黑洞，即它的逃逸速度等于光速c、已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径R = 6400km，表面重力加速度g取10 m/s2，光速，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为（ ） A．6毫米 B．9毫米 C．6米 D．9米 课时精炼 【基础强化】 1．神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站。对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接。则神舟十二号飞船（ ） A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相等 B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中速度不断增大 C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T1 D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 2．（多选）“女娲星座”是中国首个自主研发的分布式多基线干涉雷达卫星星座。该星座由航天宏图信息技术股份有限公司主导建设和运营，旨在构建全球领先的空天地一体化遥感监测网络。如图所示，A为女娲星座中的雷达卫星，B为女娲星座中的光学卫星，两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，运行的周期分别为和。下列说法正确的是（ ） A．卫星B运行的周期可能为 B．卫星B运行的周期可能为 C．两卫星两次相距最近的最短时间间隔为 D．两卫星两次相距最近的最短时间间隔为 3．（多选）北京时间2021年9月中旬至10月下旬出现了“火星合日”现象，即当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，因此中国首辆火星车“祝融号”发生短暂失联。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为，地球公转周期为，“祝融号”在火星赤道表面做匀速圆周运动的周期为，“祝融号”的质量为，火星的半径为，万有引力常量为，则下列说法正确的是（ ） A．火星的第一宇宙速度大小为 B．太阳的质量为 C．火星的公转周期为大于地球公转周期 D．相邻两次“火星合日”的时间间隔为 4．（多选）天文望远镜观测发现，大量的恒星以“双星系统”的形式存在，一般的双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的测量，确定该系统中两星体质量之和为M，两者中心相距L。两星体绕连线上某点做匀速圆周运动，则（ ） A．双星系统做匀速圆周运动的角速度为 B．若两星的质量之比为，则两星的向心力大小之比为 C．若两星的质量之比为，则两星公转的半径之比为 D．若两星的质量之比为，则两星公转的线速度之比为 5．组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转。如果某质量分布均匀的星球自转周期为T，万有引力常量为G，为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是 A． B． C． D． 【能力培优】 6．（多选）（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r(r << R)，在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似] A． B． C． D． 知识回顾 一、变轨前后各运行物理参量的比较 （1）速度： （2）加速度： （3）周期： 二、追及相遇问题 1．相距最近： 2．相距最远： 三、双星系统 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ②两星的周期、角速度： ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系： ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量： ⑤双星的运动周期： ⑥双星的总质量： 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 天体运动的特殊问题 【体系构建】 1. 人造卫星的变轨和对接问题 2. 天体的追及问题 3. 双星、多星系统 4. 黑洞和星球解体问题 【情景引入】 我国的人造卫星技术在全世界名列前茅，你知道人造卫星的发射速度和轨道的关系吗？卫星是如何变轨和对接的呢？ 【必备知识】 知识点一人造卫星的变轨和对接问题 1.变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图 所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2.变轨过程各物理量比较 速度关系 在A点加速：vⅡA＞vⅠ， 在B点加速：vⅢ＞vⅡB， 即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB (向心)加速度关系 aⅢ＝aⅡB aⅡA＝aⅠ 周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ 机械能 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ （2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【答案】A 【详解】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由，解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 故选A。 （多选）如图所示为发射航天器至运行轨道的过程示意图。航天器先进入近地轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P点、Q点。已知近地卫星运动周期为T，万有引力常量G、地球半径R，下列说法正确的是（　　） A．地球的平均密度为 B．航天器在轨道2上的运行周期小于其在轨道3上的运行周期 C．航天器在轨道1上运行时的机械能大于其在轨道3上运行时的机械能 D．航天器在轨道2上Q点的速度大于其在轨道3上Q点的速度 【答案】AB 【详解】A．已知近地卫星运动周期为T，根据万有引力提供向心力可得 又 联立可得地球的平均密度为，故A正确； B．根据开普勒第三定律，由于轨道2的半长轴小于轨道3的半径，所以航天器在轨道2上的运行周期小于其在轨道3上的运行周期，故B正确； C．卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，变轨时机械能增加，所以航天器在轨道1上运行时的机械能小于其在轨道3上运行时的机械能，故C错误； D．卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，所以航天器在轨道2上Q点的速度小于其在轨道3上Q点的速度，故D错误。 故选AB。 2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，在对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是(　　) 【参考答案】　A 【名师解析】　要想使天舟五号在与空间站同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝m，知必须要增大向心力，即喷气时产生的推力有沿轨道向前的分量和指向地心的分量，而喷气产生的推力与喷气方向相反，故A正确。 知识点二 天体的追及问题 天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题。 　　 　甲　　 　　　　　　乙 1.角度关系 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3…) 2.圈数关系 －＝n(n＝1，2，3…) 解得t＝(n＝1，2，3…) 同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式 ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)或－＝(n＝1，2，3…)。 当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是(　　) A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年 B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年 C．木星运行的加速度比地球的大 D．木星运行的周期比地球的小 答案　B 解析　设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误；地球 公转周期T1＝1年，由T＝2π可知，木星公转周期T2＝T1≈11.2年．设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2023年，故A错误，B正确． 我国农历一个月用月亮的朔望月周期来划分，即从一次满月到下一次满月的时间间隔。如图所示为满月时月球、地球和太阳之间的位置，它们的中心位于同一直线上，设月球绕地球做圆周运动的周期为，地球绕太阳做圆周运动的周期为，月球绕地球做圆周运动平面与地球绕太阳做圆周运动的平面共面，地球围绕太阳公转和月球围绕地球公转的方向相同，我国农历一个月的时间是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，月球比地球多转2弧度，再次满月解得故选D。 （多选）如图甲，卫星和地心连线与地面的交点称为星下点，随着卫星绕地球运动以及地球自转，星下点会在地球表面不断移动，形成星下点轨迹。地球半径为，自转周期小时。卫星A、B绕行方向与地球自转方向一致（图中未画），其星下点部分轨迹分别如题图乙、丙。已知地球同步卫星的轨道半径，，卫星运动均视为匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．卫星A、B的周期之比 B．卫星A、B运行的线速度之比为 C．卫星B绕地球运行的轨道半径为 D．某时刻卫星A、B相距最近，之后在A运动的20圈时间内，卫星A、B有5次相距最近 【答案】BCD 【详解】A．根据图乙可知，A星下点在地球上由30°E转到180°E的过程中，A转了半圈，比地球自转多转了，可知地球转动了 则有 根据图丙可知，B星下点在地球上由60°E转到180°E的过程中，B转了一圈，比地球自转多转了，地球转动了 则有 结合上述解得A、B的周期之比为 故A错误； C．对同步卫星、A与B卫星根据开普勒第三定律有 结合上述解得， 故C正确； B．根据， 结合上述解得 故B正确； D．根据图乙与图丙可知，A、B轨道平面不在同一平面内，则有 结合上述解得 故D正确。 故选BCD。 知识点三 双星和多星模型 1.双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图4所示。 图4 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供， 即＝m1ωr1，＝m2ωr2。 ②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 2.多星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 (2)常见的三星模型 ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。 (3)常见的四星模型 ①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。 ②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。 例5.如图所示，在某些恒星系统中，双星、快速绕点做匀速圆周运动，其他天体距离它们较远，已知、的质量分别为，运转周期为，引力常量为，若不考虑其他天体对双星A、B的作用，则下列说法正确的是（　　） A． 双星A、B运动的轨道半径之比为 B． 双星A、B的速度大小之比为 C． 双星A、B的向心加速度大小之比为 D． 双星之间的距离为 【答案】D 【详解】AD．设双星A、B的轨道半径分别为，其间距为，则 根据万有引力提供向心力有 联立可得，故A错误，D正确； B．由 可得双星A、B的速度大小之比，故B错误； C．由 可得双星A、B的向心加速度大小之比，故C错误。 故选D。 例6.如图所示的“三星”系统，三星A、B、C质量均为m，位置连线构成等边三角形，三角形边长为L，三星绕共同圆心O做匀速圆周运动，不考虑其他星体影响，万有引力常量为G，则（　　） A．每颗星的向心加速度相同 B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 C．每颗星的角速度为 D．每颗星的线速度大小为 【答案】C 【详解】AB．三星A、B、C的向心加速度大小相等，但方向不同。每一颗星受另外两颗的引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 故加速度与它们的质量有关，故AB错误； C．以其中一颗星A为对象，根据牛顿第二定律可得 每颗恒星运动的轨道半径为 解得每颗恒星的角速度为，故C正确； D．以其中一颗星A为对象，根据牛顿第二定律可得 解得，故D错误。 故选C。 （2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 【答案】A 【详解】D．a、b、c三个天体角速度相同，由于m << M，则对a天体有 解得，故D错误； A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有 解得α = 30°，则c的轨道半径为 由v = ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确； B．由a = ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误； C．c在一个周期内运动的路程为，故C错误。故选A。 知识点四 黑洞和星球瓦解问题 1．星球的瓦解问题：当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行． 2．黑洞：黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞． 例7.（多选）黑洞是质量非常大的天体，由于质量很大，引起了其周围的时空弯曲，从地球上观察，我们看到漆黑一片，那么关于黑洞，你认为正确的是（　　） A．内部也是漆黑一片，没有任何光 B．内部的光由于引力的作用发生弯曲，不能从黑洞中射出 C．如果有一个小的星体经过黑洞，将会被吸引进去 D．人类还没有发现黑洞存在的证据 【答案】BC 【详解】AB．黑洞之所以黑是因为光不能从其中射出，而不是内部没有光线，由于引力的作用，其光线弯曲程度很大，不能射出，因此内部应有光，故A错误，B正确； C．当有一个小的星体经过黑洞时，由于黑洞质量很大，对小星体有很强大的万有引力，会把小星体吸引进去，故C正确； D．人类已经发现黑洞存在的证明，故D错误。 故选BC。 （多选）2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布。在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是（　　） A．两者之间的万有引力变大. B．黑洞的角速度变大. C．恒星的线速度变大. D．黑洞的线速度变大. 【答案】AC 【详解】A．假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且，两者之间的距离为L，则根据万有引力定律 恒星和黑洞的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，M、m的乘积变大，它们的万有引力变大，故A正确； B．双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引力提供向心力 其中 解得恒星的角速度 双星的质量之和不变，则角速度不变，故B错误； CD．根据，得 因为M减小，m增大，所以R增大，r减小由 可得变大，变小，故C正确，D错误。故选AC。 例9.史瓦西半径是任何有质量的物质都存在的一个临界半径，该半径的含义是：该物质被压缩到此半径时，就成为一个黑洞，即它的逃逸速度等于光速c、已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径R=6400km，表面重力加速度g取10m/s²，光速，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为（　　） A．6毫米 B．9毫米 C．6米 D．9米 【答案】B 【详解】对该星球，有 且由黄金代换公式，有 联立得史瓦西半径，即9毫米。 故选B 课时精炼 【基础强化】 1. 1．神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站．对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接．则神舟十二号飞船(　　) A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相等 B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中速度不断增大 C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T1 D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 答案　C 解析　飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以沿两轨道经过A点时速度大小不相等，故A错误；沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，万有引力做负功，速度不断减小，故B错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得T2＝T1，故C正确；物体绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝mr，解得T＝2π，由于飞船沿轨道Ⅰ运行的半径小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的半径，因此飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故D错误． 2．（多选）“女娲星座”是中国首个自主研发的分布式多基线干涉雷达卫星星座。该星座由航天宏图信息技术股份有限公司主导建设和运营，旨在构建全球领先的空天地一体化遥感监测网络。如图所示，A为女娲星座中的雷达卫星，B为女娲星座中的光学卫星，两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，运行的周期分别为和。下列说法正确的是（　　） A．卫星B运行的周期可能为 B．卫星B运行的周期可能为 C．两卫星两次相距最近的最短时间间隔为 D．两卫星两次相距最近的最短时间间隔为 【答案】BC 【详解】AB．因所有绕地球做圆周运动的卫星中，绕地球表面做圆周运动的卫星的线速度最大（第一宇宙速度），该卫星的周期最小，其最小周期为Tmin=83min；根据开普勒第三定律可知，轨道半径越大，则周期越大，则任何地球卫星的周期都不可能小于83min，卫星B运行的周期可能为，不可能为80min，可知A错误，B正确； CD．设至少经过时间t两卫星两次相距最近，则 解得 则C正确，D错误。 故选BC。 3．（多选）北京时间2021年9月中旬至10月下旬出现了“火星合日”现象，即当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，因此中国首辆火星车“祝融号”发生短暂失联。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为，地球公转周期为，“祝融号”在火星赤道表面做匀速圆周运动的周期为，“祝融号”的质量为，火星的半径为，万有引力常量为，则下列说法正确的是（　　） A．火星的第一宇宙速度大小为 B．太阳的质量为 C．火星的公转周期为大于地球公转周期 D．相邻两次“火星合日”的时间间隔为 【答案】ACD 【详解】A．“祝融号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，由，解得火星质量 由，解得火星的第一宇宙速度大小，故A正确； B．火星和地球的公转轨道半径未知，所以无法求出太阳的质量，故B错误； C．根据开普勒第三定律可知，火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星的公转周期更大，故C正确； D．相邻两次“火星合日”的时间间隔满足 解得，故D正确。 故选ACD。 4．（多选）天文望远镜观测发现，大量的恒星以“双星系统”的形式存在，一般的双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的测量，确定该系统中两星体质量之和为M，两者中心相距L。两星体绕连线上某点做匀速圆周运动，则（　　） A．双星系统做匀速圆周运动的角速度为 B．若两星的质量之比为，则两星的向心力大小之比为 C．若两星的质量之比为，则两星公转的半径之比为 D．若两星的质量之比为，则两星公转的线速度之比为 【答案】AD 【详解】A．由万有引力定律及牛顿第二定律得， 又双星的总质量 由双星之间的几何关系有 联立以上各式并代入可得双星系统做匀速圆周运动的角速度为，故A正确； BCD．两者之间的引力提供各自向心力，可以得到 由此可知，两星公转的半径之比 又由公式得，两星公转的线速度之比 又有公式得，两星公转的向心加速度之比 两星间的万有引力互为作用力与反作用力，大小相等，该引力分别提供两星做圆周运动的向心力，因此两星的向心力大小之比为 1 : 1，故BC错误，D正确。 故选AD。 6．组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转．如果某质量分布均匀的星球自转周期为T，万有引力常量为G，为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当星球即将瓦解时，物体对星球表面的压力最小为零，，此时万有引力充当向心力，即：，又，联立解得：，故选项B正确． 点睛：由题意可知当周期达到某一最小值时，物体对星球表面应刚好没有压力，即万有引力恰好充当星球表面的物体在星球表面做圆周运动的向心力，故由万有引力公式可求得最小密度． 【能力培优】 （多选）（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（   ）[可能用到的近似] A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．设太阳和地球绕O点做圆周运动的半径分别为、，则有 r1＋r2 = R 联立解得，故A错误、故B正确； CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有 再根据选项AB分析可知Mr1 = mr2，r1＋r2 = R， 联立解得，故C错误、故D正确。故选BD。 思维提升 一、变轨前后各运行物理参量的比较 （1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 （2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。 （3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 二、追及相遇问题 1．相距最近： 2．相距最远： 三、双星系统 各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两星的周期、角速度：T1＝T2，ω1＝ω2. ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系：r1＋r2＝L. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量：＝. ⑤双星的运动周期：T＝2π. ⑥双星的总质量：m1＋m2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $