7.1相交线(九大题型) 2025-2026学年人教版七年级数学下册

2025-2026下学年7.1相交线（9大题型） 1．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D． 2．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 3．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握并运用定义是解决本题的关键． 由对顶角的定义去进行逐一判断即可． 【详解】解： A、B、C三个选项中不符合“互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线”的定义，错误，不符合题意； 选项D中的符合对顶角的定义，正确，符合题意； 故选：D． 4．下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 5．（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 【答案】（1）①2  ②6  ③12  ④（2）（3）归纳结论：n条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【分析】（1）根据对顶角定义，认真观察图①②③，求出答案即可，根据①②③对顶角的个数进行探究即可； （2）依据规律可以推测出若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； （3）根据（1）（2）得到的结论，进行归纳即可． 【详解】解：（1）①图①中对顶角是与，与，共有对对顶角． ②图②中对顶角是与，与，与，与，与，与，共有对对顶角． ③图③中有条直线相交于点，共有对对顶角． ④根据以上总结，2条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）． 以此类推，条直线相交于一点，可形成的对顶角对数为 ． 故答案为：①；②；③；④． （2）若条直线两两相交于不同的点，则有（个）交点，有对对顶角； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，有对对顶角； ……； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，共有对对顶角． 故答案为：． （3）归纳结论：条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键． 6．如图，直线、相交于点，平分，，则 【答案】 【分析】本题考查角度换算，角平分线的定义，对顶角的性质．先根据角平分线的定义计算出，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故答案为：． 7．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8．如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】20° 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，掌握对顶角的性质是解题的关键． 由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：直线，相交于点， ∵， ∴由对顶角的性质得， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 10．如图，直线，相交于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，理解对顶角的性质是正确解答的关键．根据对顶角相等以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 11．如图，O是直线上一点，，由，可以推出，这里用到的几何依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查邻补角，等角的余角相等，掌握知识点是解题的关键． 先求出，得到，再根据等角的余角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）． 故选：B． 12．下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为． 【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意； B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意； C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意； D、与 的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，解题关键是抓住邻补角的两个核心特征：“相邻”（有公共边）和“互补”（和为 ，且另一边互为反向延长线）． 13．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 14．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 15．如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查角平分线、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据对顶角的性质及邻补角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义及邻补角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解： 与是对顶角， ， , 即：，； （2）解： 平分， ， ， 即：． 16．如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，则______（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识． （1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再利用即可求解； （2）同理（1）即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：同理（1），得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的运算.掌握角的和差关系是解题的关键. （1）结合，，，即可求得答案； （2）结合，，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 18．如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：∵， ∴ ∴ ∵点A，O，B在一条直线上 ∴ ． ∵平分 ∴ ∴ 【答案】，，，，，，， 【分析】本题考查了平角及角平分线的定义，角的和差关系，正确识图是解题的关键． 由可得，即得，再根据平角的定义可得，即可根据角平分线的定义得到，利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点A，O，B在一条直线上 ∴， ∵平分 ∴ ∴ 故答案为：，，，，，，，． 19．如图，点在直线上，平分，，． (1)与相等的角是_________，与互补的角是____________． (2)求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的性质，关键是利用平角和角平分线的性质求出相关角的度数，再结合补角的定义确定互补的角． （1）根据角平分线的定义，由平分可得与相等；根据补角的定义，结合平角为，找出与和为的角，即C． （2）先利用平角的定义，由求出的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，最后结合，利用平角的定义求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴； ∵点在直线上， ∴， ∴与互补的角是； 故答案为：；． （2）∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 20．如图，点是直线上一点，射线平分，射线平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的求解，邻补角的求解，根据角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角求出的度数，最后根据角平分线的定义求出最后．结果 【详解】解：射线平分，， ， ， 射线平分， ， 故答案为：． 21．如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 22．如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义，根据垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义逐一排除即可，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项错误，不符合题意； 故选：． 23．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【分析】利用对顶角、垂直的性质、角平分线的定义以及余角和补角的概念，逐一分析每个选项，结合已知条件计算相关角度来判断结论是否正确． 【详解】解：A、和是对顶角，根据对顶角相等，，符合题意； B、由得，平分，故，符合题意； C、，∴与互为补角，符合题意； D、的余角为，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角、垂直的性质、角平分线定义及余角补角的概念，解题关键是结合已知条件，利用相关性质准确计算角度，进而判断选项的正确性． 24．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 25．如图，直线，交于点，，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直，对顶角，根据角平分线的定义得出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案 【详解】 解：平分 ， 26．过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 27．按要求画图： 如图，点是同一平面内的四个点． (1)画直线和线段、射线； (2)取线段的中点D，连接； (3)过点A作直线于点E； (4)用刻度尺测量，点A到直线的距离约为______厘米（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)用刻度尺测量，点A到直线的距离约为厘米 【分析】本题考查了画直线，射线，线段，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直线、线段、射线的特征作图即可； （2）根据题意进行作图即可； （3）利用三角板的两条直角边作图即可； （4）用刻度尺测量，即可得出点A到直线的距离，即可作答． 【详解】（1）解：直线和线段、射线如图所示： （2）解：用刻度尺量出线段的中点，记为D，连接，如图所示； （3）解：过点A作直线于点E如图所示； （4）解：依题意，用刻度尺测量，点A到直线的距离约为厘米． 28．如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求； （2）取格点E，F，作直线即可； （3）取格点G，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 理由：，， ， ， ． 29．经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 【答案】经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条． 【分析】本题主要考查了画已知直线的垂线，熟练掌握同一平面内，过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线；量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线． 【详解】解：三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线，在同一平面内，过一点只能画一条直线的垂线； 量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线； 故经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条． 30．如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 【详解】解： 【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线的作图方法，掌握利用三角板的直角边辅助作垂线的操作方法是解题的关键． 31．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 32．如图，点A为直线外一点，且于点C，，点P是直线上的动点，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查点到直线距离，垂线段最短，利用垂线段最短得到是解题的关键． 【详解】解：∵点为直线外一点，且于点， ∴， ∴线段长不可能是2， 故选A． 33．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 34．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 35．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 36．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 【详解】解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 37．如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算． 38．已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（   ） A．等于1 B．小于1 C．大于1     D．不大于1 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的性质．掌握垂线段最短是解答本题的关键．根据垂线段最短的性质，点P到直线的距离不大于从P到上任意点的线段长度． 【详解】解：垂线段最短， ∴点P到直线的距离不大于、、． ，，， ． 点P到直线的距离不大于，即不大于1． 故选：D． 39．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 40．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 41．如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角，关键是掌握同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【详解】解：A、和是内错角，说法正确，不符合题意； B、和是同位角，说法正确，不符合题意； C、和互为邻补角，不是同旁内角，说法错误，符合题意； D、和是邻补角，说法正确，不符合题意； 故选：C． 42．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线八角，根据内错角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，的内错角是； 故选D． 43．下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握同位角的概念是解题的关键； 根据同位角的概念分析是否为同位角即可． 【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角； A、两角不在截线同侧，不是同位角，不符合题意； B、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； C、符合同位角定义，符合题意； D、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； 故选：C ． 44．如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 【答案】 和 和 和 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 根据内错角的定义，先确定每组被截直线和截线，再找出对应的内错角；最后分析的两边，确定所有能与构成内错角的角． 【详解】解：①直线与 BC 被直线 所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ②直线与被直线所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ③分析的两边： 当截线为时，被截直线为，与是内错角； 当截线为时，被截直线为 ，与是内错角． 即：和． 故答案为：和；和；和． 45．如图，与是（   ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 【答案】B 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 先确定与的边，找出截线和被截直线，再根据内错角的定义判断． 【详解】解：的两边为，的两边为，则： 截线：； 被截直线：； 这两个角在截线的两侧，且夹在与之间，符合内错角的定义， 因此，与是直线被直线所截形成的内错角． 故选：B． 46．如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 【答案】 AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 47．下列图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角； 根据同位角的定义对各个选项中和的位置进行分析即可得出答案．本题考查了同位角的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得： A．和是同位角，不符合题意； B．和是同位角，不符合题意； C．和是同位角，不符合题意； D．中的和不是同位角，符合题意； 故选：D． 48．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 49．如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1相交线（九大题型） 目录 课程目标要求 1 学业质量标准 1 相交线是初中几何的起点，掌握好这一章的知识，将为后续平行线、三角形、四边形等内容的学习奠定坚实基础。 3 题型一、对顶角的定义 3 题型二、对顶角的性质 4 题型三、邻补角的定义 5 题型四、邻补角的性质 6 题型五、垂线的定义 8 题型六、作图训练 9 题型七、垂线段最短 10 题型八、点到直线的距离 12 题型九、三线八角 13 课程目标要求 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，相交线部分的学习旨在帮助学生： 1.理解相交线的基本概念：掌握对顶角、邻补角、垂线等基本概念，理解它们的定义和性质。 2.发展几何直观能力：通过观察、操作、想象等活动，发展学生的空间观念和几何直观。 3.培养推理能力：经历从具体情境中抽象出几何图形、探索图形性质的过程，发展合情推理和初步的演绎推理能力。 4.形成应用意识：认识到相交线知识在现实生活中的应用，能够运用所学知识解决简单实际问题。 学业质量标准 水平等级 具体表现 评价示例 水平一 能识别相交线形成的对顶角、邻补角、垂线等基本图形；能在简单情境中应用对顶角相等、垂线段最短等性质。 能正确找出图形中的对顶角、邻补角 水平二 能理解"三线八角"模型，正确识别同位角、内错角、同旁内角；能运用相交线的性质解决稍复杂的几何问题。 能在复杂图形中识别同位角、内错角 水平三 能综合运用相交线的知识进行推理证明；能在实际问题中抽象出相交线模型并解决问题。 能证明与相交线相关的几何命题 知识梳理 夯基础 1. 邻补角与对顶角 邻补角： 定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 性质：邻补角互补，即 ∠1 + ∠2 = 180° 对顶角： 定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线 性质：对顶角相等，即 ∠1 = ∠3 重要结论：两条直线相交，形成2对对顶角，4对邻补角 2. 垂线及其性质 垂线核心性质： 存在性与唯一性：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 3. "三线八角"模型 角的类型 位置特征 图形特征 示例 同位角 在截线同侧，在被截线同旁 形如字母"F" ∠1与∠5，∠4与∠8 内错角 在两条被截线之间，在截线两侧 形如字母"Z"或"N" ∠3与∠5，∠4与∠6 同旁内角 在两条被截线之间，在截线同旁 形如字母"U"或"C" ∠3与∠6，∠4与∠5 快速识别口诀： 同位角："F"型，同侧同方肩并肩 内错角："Z"型（或"N"型），内部两侧面对面 同旁内角："U"型，内部同旁在里边重难突破 提能力 重点1：对顶角性质的理解与应用 重要性：对顶角相等是几何证明中最基础、最常用的定理之一，是后续学习平行线、三角形等知识的基础。 难点："三线八角"的准确识别 常见错误：学生在复杂图形中难以准确识别同位角、内错角、同旁内角。 突破策略： 三步识别法： 第一步：找出"三条线"（两条被截线和一条截线） 第二步：确定两个角的边，找出公共边（即截线） 第三步：根据两个角相对于三条线的位置关系判断类型 图形抽象法：将复杂图形中的基本图形分离出来，忽略无关线段 相交线是初中几何的起点，掌握好这一章的知识，将为后续平行线、三角形、四边形等内容的学习奠定坚实基础。实战演练 精评价 题型一、对顶角的定义 1．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 3．下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 4．下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 5．（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 题型二、对顶角的性质 6．如图，直线、相交于点，平分，，则 7．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 9．如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，直线，相交于点．若，，求的度数． 题型三、邻补角的定义 11．如图，O是直线上一点，，由，可以推出，这里用到的几何依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 12．下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 13．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 15．如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 题型四、邻补角的性质 16．如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，则______（用含α的式子表示）． 17．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 18．如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：∵， ∴ ∴ ∵点A，O，B在一条直线上 ∴ ． ∵平分 ∴ ∴ 19．如图，点在直线上，平分，，． (1)与相等的角是_________，与互补的角是____________． (2)求的度数． 20．如图，点是直线上一点，射线平分，射线平分，若，则 ． 题型五、垂线的定义 21．如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 22．如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 24．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 25．如图，直线，交于点，，平分．若，求的度数． 题型六、作图训练 26．过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 27．按要求画图： 如图，点是同一平面内的四个点． (1)画直线和线段、射线； (2)取线段的中点D，连接； (3)过点A作直线于点E； (4)用刻度尺测量，点A到直线的距离约为______厘米（精确到）． 28．如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 29．经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 30．如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 题型七、垂线段最短 31．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 32．如图，点A为直线外一点，且于点C，，点P是直线上的动点，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．4.5 D．5 33．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 34．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 35．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八、点到直线的距离 36．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 37．如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 38．已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（   ） A．等于1 B．小于1 C．大于1     D．不大于1 39．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 40．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 题型九、三线八角 41．如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 42．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 43．下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 44．如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 45．如图，与是（   ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 46．如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 47．下列图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 48．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 49．如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $