与圆有关的相似 专题研究2026年九年级中考数学复习

《与圆有关的相似》专题研究 直径直角三角形模型 切线与半径垂直模型 几何模型应用综合————园与三角形、多边形根型 圆店角弦切角模型 共园角相等模型 射影定捏与固幂定理模型 寻找等角或成比边 相似三角形法 运用相似比列方程 结合圆周角定理构造相似 利用已知正切、正弦、余兹值 与圆有关的相似问题解 三角函数法 直角三角形边角关系 决思路 三角比与线段比例转换 确定直角三角形 求解战段长度的五种主要思路 勾投定理法 由直径、切线等形成直角 建立三边平方关系 利用面积比等于相似比平方 面积法 剃补法结合圆内三角形面积 高与底边乘积关系 设未知数表示动线段 代数关系法（函数法） 建立相似关系方程 解方程或函数关系式求值 典型例题1.如图，在△ABC中，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆；BD是⊙O的直径， AD与BC交于点E,在CA的延长线上取点F,使BA平分∠FBC (I)求证：BF是⊙O的切线： (2)若AE=4,ED=5,求AB的长. 试卷第1页，共3页 典型例题2.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，连接D0并延长交⊙O于点 E,交AC于点F,且∠BCD=∠CDE,连接CE. E B 0 (I)求证：△CEF∽aDEC: (2)若an∠BCD 4,EF=3,求OF的长 典型例题3.如图，点A在⊙O外，连接AO并延长，与⊙O交于点B、C,，点D在⊙O上， 连接AD,过点B作⊙O的切线，交AD于点E,一· D B (①在O1D=AB4C ②∠ADB=∠ACD ③BE=DE这三个条件中，选择一个合适的 条件，补充在上述题干中的横线上（只要写序号）： (2)在完成(1)的补充条件后，解答下列问题： ①求证：AD与⊙O相切； ②若AE=2DE,BE=2,求⊙O的半径. 试卷第2页，共3页 典型例题4.如图，△1BC中，∠81C为直角，点P为1C边上一动点（不与4，C重合）， A,C 以PB为直径作⊙O,⊙O与BC交于点D,过点D作DE L AD交AB的延长线于点E, AD与PB交于点F. B (I)求证：∠PBA=∠BDE: (2)如果AB=3,AC=4, O令AP=x.BD=y 求》关于的函数关系式 ②若PB∥DE,求PF的值. 变式1.如图，△ABC内接于⊙O,AD为BC边的高，AE为⊙O的直径交BC于点F,连 接BE. D E (I)求证：△ABE∽△ADC: (2)当直径AE平分∠BAD时，求证：BE=BF: (3)在(2)的条件下，若AB=10,BE=5,求DF的长. 试卷第3页，共3页 变式2.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E. 点F在4C的延长线上，且∠CBF-<C1B, 4 D E (1)求证：直线BF是⊙O的切线： (2)若AB=3, sin∠CBF 5,求BF的长. 变式3.如图，A,B,C,D分别为⊙0上一点，连接AB,AC,BC,BD,CD,AC⊥BD 于点E,AC=BC,连接CO并延长交BD于点F. B (I)求证：CD=CF, 试卷第4页，共3页 (2)若 C=10,BE=6⊙O ,求 的半径. 变式4.如图，为O0的直径，D为O0上一点，连接D,BD,过D点作 ⊙0 C⊥AB 交o0于点C,过点A作 E∥BD、BC 交延长线于点E. D 0 (I)求证：AE=BE: (2)若tan∠ADC=2,CE=6,求AB长. 变式5.如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于点E,过点E作于 EF⊥CA于点F,交AB的延长线于点D, 0 B D 试卷第5页，共3页 (I)求证：DF是⊙O的切线： (2)若CF=2,tan∠C=2,求DE的长. 试卷第6页，共3页 《与圆有关的相似》专题研究参考答案 1.(1)证明见解析 (2)AB=6 【分析】(1)由圆周角定理可得∠ABD+∠D=90°，进而可得∠ABD+∠ABF=90°，即得 ∠DBF=90°，即可求证： AB AE （2)由己知得AD=9,再由△4BE∽△DB得ADAB,代入计算即可求解. 【详解】(1)证明：BD是⊙O的直径， ∴.∠BAD=90°， .∠ABD+∠D=90°， :∠C=∠D, .∠ABD+∠C=90°， :BA平分∠FBC, ∠ABF=∠ABC, ..AB=AC, .∠ABC=∠C, :LABF=ZC, .∠ABD+∠ABF=90°， .∠DBF=90°， 即DB⊥BF, ∴.BF是OO的切线： (2)解：AE=4,ED=5, ∴.AD=4+5=9 由(I)知，∠C=∠D,∠ABC=∠C, ∴.∠ABC=∠D, 即∠ABE=∠D, 又∠BAE=∠DAB, .△ABE∽△ADB, 4BE AD AB' AB 4 即gAB' 答案第1页，共2页 解得AB=6, 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和 性质，掌握以上知识点是解题的关键， 2.(1)见解析 7 (26 【分析】(1)根据圆周角定理可得∠ECD=∠ACB=90°，进而可得∠ECF=∠CDE,再 根据相似三角形的判定即可得证； (2)由(I)可得，△CEF∽△DEC,可得∠ECD=90°，在RtACEF中，利用锐角三角函 数求得FC=4,利用勾股定理求得EC=5,进而在RIAECD中，利用锐角三角函数求得 ,阿利用。BCD的面积公式求得DE-5,可求O8=号DB CD=20 2 6，即可求解. 【详解】(1)证明：，AB是⊙O的直径， .∠ECD=∠ACB=90°」 .∠ECF+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴.∠ECF=∠BCD .∠BCD=∠CDE, .∠ECF=∠CDE, 又：∠CEF=∠DEC, ∴.ACEFADEC; (2)解：由(I)可得，△CEF∽aDEC, ∠ECD=90°， ∴.∠CFE=∠DCE=90°，∠ECF=∠CDE, :∠BCD=∠CDE, ∴.∠ECF=∠BCD, tan∠BCD=tan∠ECF=3 4 在RIACEF中，an∠BCF=E-3-3 FCFC 4' .FC=4, :EC=VEF2+FC2=V32+4=5 答案第2页，共2页 .∠BCD=∠CDE, tan∠BCD=tan∠CDE=3 在RIECD中，tan∠CDE-EC=3-5 CD 4 CD' :CD=20 3, S.ECD= xCFXDE=)xEC×DC,即 ×4xDE= 1 *5x20 3 解得DE=25 3 ∴0E=DE=1x25-25 2 236, OF=OE-EF =25_ 7 3= 69 【点晴】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形的有 关计算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 3.(1)①或②或③ 20证明见解析；②25 【分析】(I)选择①：证明△ABD∽△ADC,则∠I=∠3，由圆周角定理得到 ∠BDC=∠2+∠6=90°，而0D=0C,那么∠2=∠3，则∠1=∠2，故 ∠1+∠6=∠ADO=90°，即可证明；选择②：同选择①证明；选择③：由BE=DE,得到 ∠1=∠4，由切线的性质得到∠EB0=90°，则∠4+∠5=90°，而OD=OB,故∠5=∠6， 那么∠1+∠6=∠AD0=90°，即可证明； (2)①证明分析见(I);②连接OE,证明RaEB02 RtEDO(H,则ED=EB=2, 故AB=2DB=4,可得simA-B=?{ AE-42,则∠A=30,再解Rt△4D0即可. 【详解】(1)解：选择①：如图， 答案第3页，共2页 D E B 证明：，AD=AB·AC, 86 ∠A=∠A, ∴.△ABD△ADC, .∠1=∠3， :BC是⊙O的直径， .∠BDC=∠2+∠6=90°， 0D=0C, .∠2=∠3， .∠1=∠2， ∴.∠1+∠6=∠AD0=90°， .OD⊥AD, .AD与⊙O相切： 选择②：如图， D E B 证明：，BC是⊙O的直径， .∠BDC=∠2+∠6=90°， .0D=0C, .∠2=∠3， .∠1=∠3， ∴.∠1=∠2， 答案第4页，共2页