精品解析：山西运城市芮城县2025-2026学年上学期期末考试测试卷（三）八年级数学

芮城县第一学期期末考试测试卷（三） 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．每个小题只有一项是符合题目要求．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 的平方根是（ ） A. B. C. 8 D. 3. 如图，在下列四组条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 某单位要购进一批直径为的螺丝，采购员从甲、乙、丙、丁四个加工厂生产的同类螺丝中各随机抽取了100个进行测量，并计算了四个厂所抽取螺丝的直径的平均数和方差，计算结果如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 10.03 9.95 10.03 9.95 方差 0.004 0.011 0.015 0.007 假如你是该单位的采购员，你选择从哪个厂购买螺丝（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，在长方形中，，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数，当时，它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，D是△ABC的边AC上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，是上一点，且，则长（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“现有一根木头，不知道它的长短．用一根绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头长x尺、绳子长y尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 点P(2，3)关于x轴的对称点的坐标为________． 12. 如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处．若，，则的度数为____________． 13. 已知方程组的解是，则直线与的交点坐标是____________． 14. 经研究发现：地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，下表是某实践小组在某地测量的部分地表下岩层温度与所处深度的数据，请你根据表中数据，计算当所处深度时，地表下岩层的温度____________． 2 4 6 8 10 12 90 160 230 300 370 440 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，且与直线：交于点，若点是轴上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，点的坐标为：___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）计算：； （3）解方程组： 17. 国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 18. 已知，如图：，、分别为、上的一点，连接、、，、分别交于点、，若，求证：． 19. 2024年是长征出发90周年，为了弘扬伟大的长征精神，走好今天的长征路．运城市某中学举行了“学习长征精神，做红色传人”的主题系列比赛活动．该中学八年级各班级在各项比赛中的成绩（单位：分）如下表所示： 班级 诗歌朗诵 歌词演唱 故事分享 八（1）班 97 98 95 八（2）班 93 99 93 八（3）班 92 95 97 八（4）班 95 96 92 八（5）班 98 94 91 八（6）班 99 92 95 （1）八年级六个班的歌词演唱比赛成绩的中位数是：___________分；六个班故事分享成绩的众数是___________分． （2）如果将诗歌朗诵、歌词演唱、故事分享三项成绩按的比例计算最终成绩，请通过计算说明八（1）班和八（3）班哪个班的成绩更高． 20. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小明爸爸驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为50千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即加速以另一速度匀速行驶（加速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为___________． （2）求加速后与之间的函数关系式； （3）在此区间测速路段内，该辆汽车加速后是否超速，请说明理由．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 21. 阅读与思考 定义：如图1，点，把线段分割成线段，和，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 请根据阅读信息回答下列问题： （1）如图2，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长； （3）如图3，已知线段，于，若点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边，请你在图3中作出点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 22. 综合与实践 问题情境： 如图1是某公园的一角，有一块等腰三角形空地，设计师想将此区域设计成儿童游乐区，他对如何划分做了设计． 方案设计： 如图2，在中，，，过作于，该设计师设计方案如下： 第一步：在线段上取一点，使，用栅栏沿线段，分割出区域作为蹦床滑梯区； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过作的平行线交，于点，点，用栅栏沿，，将剩余区域划分为三个区域分别用作健身器材区、迷宫区和沙坑区． 方案实施： 在完成第一步的区域的分割后，发现仅剩下的栅栏材料，若要在第二步分割中恰好用完的材料，需要确定和的长，为此该设计师以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决问题： （1）在图2中画出平面直角坐标系，并直接写出直线和直线的函数表达式； （2）求29米材料恰好用完时与的长； （3）该设计师计划将四边形的区域设为健身器材区，请在（2）的基础上求出健身器材区的面积． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以直角三角形为背景探究角之间的关系．已知：如图1，在中，． 初步探究：（1）如图2，勤奋小组将沿折叠，使点落在处，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 深入探索：（2）在图2的基础上，乐学小组又将沿折叠，使点落在处（如图3），交于点，猜想，和之间的数量关系并证明； 拓展延伸：（3）智慧小组进一步探索发现，，和之间也存在一定的数量关系，请直接写出，，和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芮城县第一学期期末考试测试卷（三） 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．每个小题只有一项是符合题目要求．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质、相反数，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数即可得出结果． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 的平方根是（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据平方根的定义、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键． 3. 如图，在下列四组条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 4. 某单位要购进一批直径为的螺丝，采购员从甲、乙、丙、丁四个加工厂生产的同类螺丝中各随机抽取了100个进行测量，并计算了四个厂所抽取螺丝的直径的平均数和方差，计算结果如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 10.03 9.95 10.03 9.95 方差 0.004 0.011 0.015 0.007 假如你是该单位的采购员，你选择从哪个厂购买螺丝（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用平均数作决策，利用方差作决策，选择螺丝时，平均数应接近，方差应较小以确保稳定性，比较各厂平均数与10的绝对差，甲和丙较小，但甲的方差更小，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵目标直径为， ∴甲加工厂：，乙加工厂： 丙加工厂：，丁加工厂：， ∵， ∴选甲加工厂或丙加工厂， ∵甲方差，丙方差， ∵ 方差越小越稳定，且， ∴甲加工厂更稳定， 综上，选择甲厂． 故选：A． 5. 如图，在长方形中，，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，由题意可得轴，轴，从而得出点的纵坐标与点相同，为，点的横坐标与点的横坐标相同，为，即可得出结果，结合题意得出轴，轴，是解此题的关键． 【详解】解：∵在长方形中，，，， ∴轴，轴， ∴点的纵坐标与点相同，为，点的横坐标与点的横坐标相同，为， 故点的坐标为， 故选：A． 6. 已知一次函数，当时，它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据可得一次函数的图象经过二、三、四象限，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：． 7. 如图，D是△ABC的边AC上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外角和性质，分别表示出角来比较大小即可． 【详解】根据三角形外角和性质可得： ， ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的外角和性质，解题的关键是利用外角和定理分别把角表示出来． 8. 如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，平分，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，，，，是上一点，且，则长（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，由勾股定理可得，作于点，再由三角形的面积公式计算得出，再由等腰三角形的性质得出，求出，得到，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，作于点， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“现有一根木头，不知道它的长短．用一根绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头长x尺、绳子长y尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由绳子比木头长4.5尺得：y-x=4.5；由绳子对折后比木头短1尺得：，组成方程组即可． 【详解】由题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话，同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 点P(2，3)关于x轴的对称点的坐标为________． 【答案】（2，－3）． 【解析】 【详解】试题分析：关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，－3）． 考点：关于x轴对称的点的坐标特征． 12. 如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处．若，，则的度数为____________． 【答案】##83度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，由两直线平行，内错角相等可得，再结合题意得出，从而得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知方程组的解是，则直线与的交点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．根据一次函数图象的交点坐标即为对应二元一次方程组的解作答即可． 【详解】解：方程组 可变形为， 其解为， 直线 与的交点坐标为． 故答案为：． 14. 经研究发现：地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，下表是某实践小组在某地测量的部分地表下岩层温度与所处深度的数据，请你根据表中数据，计算当所处深度时，地表下岩层的温度____________． 2 4 6 8 10 12 90 160 230 300 370 440 【答案】237 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，由表可知，深度每增加，温度增加，故温度与深度满足一次函数关系，将和代入计算得出，再代入计算即可，正确得出是解此题的关键． 【详解】解：由表可知，深度每增加，温度增加， 故温度与深度满足一次函数关系， 将和代入可得， 解得：， ∴， 当时，， 当所处深度时，地表下岩层的温度， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，且与直线：交于点，若点是轴上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，点的坐标为：___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，先求出，，设，则，，，再结合勾股定理分两种情况：当时，；当时，；分别计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，则， ∵直线与直线交于点， ∴联立， 解得， ∴， ∵点是轴上的一个动点， ∴设， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：， 此时； 综上所述，点的坐标为：或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）计算：； （3）解方程组： 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简，以及运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先运用二次根式的性质化简，以及运算完全平方公式，最后运算加减法，即可作答． （3）运用加减消元法解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）∵， ∴，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 17. 国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 【答案】该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间， 由题意可得， 解得：， 故该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间． 18. 已知，如图：，、分别为、上的一点，连接、、，、分别交于点、，若，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由两直线平行，内错角相等得出，再结合题意得出，从而得出，再由平行线的性质可得，结合对顶角相等即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 19. 2024年是长征出发90周年，为了弘扬伟大的长征精神，走好今天的长征路．运城市某中学举行了“学习长征精神，做红色传人”的主题系列比赛活动．该中学八年级各班级在各项比赛中的成绩（单位：分）如下表所示： 班级 诗歌朗诵 歌词演唱 故事分享 八（1）班 97 98 95 八（2）班 93 99 93 八（3）班 92 95 97 八（4）班 95 96 92 八（5）班 98 94 91 八（6）班 99 92 95 （1）八年级六个班的歌词演唱比赛成绩的中位数是：___________分；六个班故事分享成绩的众数是___________分． （2）如果将诗歌朗诵、歌词演唱、故事分享三项成绩按的比例计算最终成绩，请通过计算说明八（1）班和八（3）班哪个班的成绩更高． 【答案】（1）， （2）八（1）班的成绩更高 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、加权平均数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）根据加权平均数的定义计算出八（1）班和八（3）班的最终成绩，比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：将八年级六个班的歌词演唱比赛成绩按照从小到大排列为：、、、、、，处在第个和第个位置的成绩为、， 故八年级六个班的歌词演唱比赛成绩的中位数是分； 六个班故事分享成绩中出现次数最多的为，共次 故六个班故事分享成绩的众数是分 【小问2详解】 解：八（1）班最终成绩为（分）， 八（3）班最终成绩为（分）， ∵， ∴八（1）班的成绩更高． 20. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小明爸爸驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为50千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即加速以另一速度匀速行驶（加速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为___________． （2）求加速后与之间的函数关系式； （3）在此区间测速路段内，该辆汽车加速后是否超速，请说明理由．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1） （2） （3）没有超速， 理由如下： 由（2）可得在此区间测速路段内，该辆汽车加速后速度为千米/时， ∵， ∴没有超速． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据平均速度总路程总时间计算即可得出结果； （2）先求出加速前的速度为千米/时，从而可得匀速行驶小时，所走的路程为千米，设加速后与之间的函数关系式，将，代入解析式计算即可得出结果； （3）由（2）可得在此区间测速路段内，该辆汽车加速后速度为千米/时，比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时， ∴； 【小问2详解】 解：加速前的速度为：（千米/时）， ∴匀速行驶小时，所走的路程为（千米）， 设加速后与之间的函数关系式， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴加速后与之间的函数关系式； 【小问3详解】 略 21. 阅读与思考 定义：如图1，点，把线段分割成线段，和，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 请根据阅读信息回答下列问题： （1）如图2，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长； （3）如图3，已知线段，于，若点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边，请你在图3中作出点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 点，是线段的勾股分割点，理由如下： ∵，，， ∴， ∴以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点，是线段的勾股分割点； （2）的长为或 （3）：如图， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据“勾股分割点”的定义判断即可得出结果； （2）设，则，分两种情况：当为最长线段时，由题意可得；当为最长线段时，由题意可得；分别计算即可得出结果； （3）以点为圆心，线段为半径画弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵点，是线段的勾股分割点，且为直角边， ∴当为最长线段时，由题意可得， ∴， 解得， 当为最长线段时，由题意可得， ∴， 解得：， 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 解以点为圆心，线段为半径画弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所作， 由作图可得：， 由线段垂直平分线的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边． 22. 综合与实践 问题情境： 如图1是某公园的一角，有一块等腰三角形空地，设计师想将此区域设计成儿童游乐区，他对如何划分做了设计． 方案设计： 如图2，在中，，，过作于，该设计师设计方案如下： 第一步：在线段上取一点，使，用栅栏沿线段，分割出区域作为蹦床滑梯区； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过作的平行线交，于点，点，用栅栏沿，，将剩余区域划分为三个区域分别用作健身器材区、迷宫区和沙坑区． 方案实施： 在完成第一步的区域的分割后，发现仅剩下的栅栏材料，若要在第二步分割中恰好用完的材料，需要确定和的长，为此该设计师以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决问题： （1）在图2中画出平面直角坐标系，并直接写出直线和直线的函数表达式； （2）求29米材料恰好用完时与的长； （3）该设计师计划将四边形的区域设为健身器材区，请在（2）的基础上求出健身器材区的面积． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如图所示： 直线的解析式为；直线的解析式为 （2）米，米 （3）健身器材区的面积为平方米 【解析】 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，则，，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得垂直平分，则，由直角三角形的性质可得，则，设，则，表示出，由，得出，求出，，得出，从而建立关于的方程，求解即可得出结果； （3）连接，由（2）可得米，米，米，米，则米，再由四边形的面积，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴，，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可得垂直平分， ∵点在线段上， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，当时，，解得， ∴， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴米，米； 【小问3详解】 解：如图：连接， 由（2）可得：米，米，米，米， ∴米， ∴四边形的面积 （平方米）， 即健身器材区的面积为平方米． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形综合等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以直角三角形为背景探究角之间的关系．已知：如图1，在中，． 初步探究：（1）如图2，勤奋小组将沿折叠，使点落在处，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 深入探索：（2）在图2的基础上，乐学小组又将沿折叠，使点落在处（如图3），交于点，猜想，和之间的数量关系并证明； 拓展延伸：（3）智慧小组进一步探索发现，，和之间也存在一定的数量关系，请直接写出，，和之间的数量关系． 【答案】（1），证明： ∵折叠， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴， 则， 整理得， ∵， ∴； （2），证明： ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，邻补角，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠的性质得，再结合四边形内角和为360度以及邻补角互补，得； （2）先由折叠的性质得，，再结合三角形内角和性质为180度以及邻补角互补，得； （3）由得，再结合（1）（2）的结论进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 则 由（2）得， ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 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