精品解析：江苏省南通市海门实验学校2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷

南通市海门实验学校2025-2026学年高一第一学期第三次达成度检测考试——数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知全集， 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集与补运算即可. 【详解】全集， 集合， 则，所以. 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合求解，再由充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】（1）因为，所以， 又，由，可得， 所以； （2）因为，又， 当时，，由，可得，此时， 当时，，由，可得，此时， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 3. 函数在区间上的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数，探讨其奇偶性及的大小排除选项并得解. 【详解】函数的定义域为，， 则函数为偶函数，排除选项AB； 又，则，排除选项D，选项C符合题意. 故选：C. 4. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由图象得到，，则，再由五点法再结合单调性求出即可得到函数解析式. 【详解】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由角的变换：，，结合同角三角函数关系式及两角差的正弦公式求解. 【详解】由，且，得； 由，得. 由，，得： . 因为， 所以，所以. 因为， 所以. 故选：A. 6. 某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：．当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（ ） （参考数据：，，） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数、指数的性质及运算规则，运用换底公式，结合已知函数解析式计算求解． 【详解】， 当时，，解得， ，解得， 此时汽车大约行驶了（公里），故B正确． 故选：B． 7. 已知是定义在上的奇函数，对任意的，，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数的性质可求得，令，由已知可得在上单调递增，原不等式可变形为，求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 所以是定义域为. 因为，又， 所以，令， 所以对任意的，，有， 所以在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，则是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得， 所以，又，所以， 所以，又因为在上单调递增， 所以，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故选：C. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若角的终边过点，则 B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 对任意，恒成立 D. 函数的零点是和 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角函数定义直接计算可得A正确，根据第二象限角的范围可求出为第一象限角或第三象限角，即B错误；利用三角函数线可证明时，，可得结论C正确；由零点定义可得D错误. 【详解】选项A：当时，， 则，故A正确； 选项B：若是第二象限角，则，， 所以，，所以为第一象限角或第三象限角，故B错； 选项C：因为，如图， 射线与单位圆交于点，作轴，垂足为点， 单位圆与轴正半轴的交点为点，设，由弧度制的定义可知，劣弧的长度为， 根据三角函数线可知，， 所以，，， 易得，所以，所以，故C正确； 对于D，函数的零点是或，即D错误. 故选：AC． 10. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由基本不等式“1的妙用”求解即可；对于B，根据题意，再代入配方即可确定最值；对于C，根据即可判断；对于D，由基本不等式解得，再根据对数的运算即可求解． 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； 对于B，， 根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，故C正确； 对于D，因为，即， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即最大值，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知定义在上的函数满足：，当时，，且函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 方程有5个不相等的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】由于方程的实根，本质是函数与图象的公共点横坐标，因此只需分析这两个函数图象的交点数量；先分析两函数的图象特征（利用已知条件），再分区间逐一分析交点（结合图象形态）即可. 【详解】对于选项A：由的图象关于点对称，可知的图象关于原点对称，即是奇函数，A正确； 对于选项B：由，得，故周期为4， 若关于对称，则， 但由，得，（奇函数）， 显然（除非），故B错误； 对于选项C：由，则，故周期为4，C正确； 对于选项D：方程的实根个数，等价于与图象的交点个数， 当时，；结合奇函数性质与周期性，可画出在上的图象， 在时，；时，， 而的值域为，因此只需考虑的区间，逐一分析区间内交点： ：与无交点； ：结合周期性与奇偶性，图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：有交点； 因此总计5个不相等的实根，D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. __________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式，将负角转化为到之间的角，再计算该角的正弦值，即可. 【详解】根据题意，. 故答案为： 13. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若实数、满足，则的最大值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】判断出函数在上为增函数，以及，由得出，可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为， 对任意的，，即函数的定义域为， 因为函数在上为增函数，函数在上为增函数， 由复合函数法可知函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数， 因为， 所以，故函数的图象关于点对称， 由可得， 所以，则，即， 要考虑的最大值，只需考虑时， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题(本大题共小5小题，共77分，15题13分，16-17题15分，18-19题17分) 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分别求解集合，根据交集的定义求得； （2）由“”是“”成立的充分不必要条件，得，由此求得实数m的取值范围． 【小问1详解】 若，则. 由，得，即，即，所以，或， 所以或. 所以. 【小问2详解】 ，由（1）知或. 若“”是“”成立的充分不必要条件，则. 因为，所以. 所以或.解得或. 所以实数m的取值范围是或. 16. 已知函数，的最小正周期为． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 【答案】（1），. （2），，，． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性； （2）利用整体代入法可得值域，即可得解； （3）根据三角函数的性质解不等式即可. 【小问1详解】 由题意， 又函数的最小正周期为，则，，所以， 即， 当，即，时，单调递减， 的单调递减区间是，； 【小问2详解】 ，则，故， ，此时，即， ，此时，即； 【小问3详解】 由已知，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 17. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若，函数的最小值为，求的值． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将整理成，代入，利用换元法设，，利用对数函数和二次函数的图像求值域； （2）将整理成，设，利用对数函数和二次函数的图像求值域，分别讨论二次函数的对称轴在区间的左中右这三种情况求解. 【小问1详解】 ， 时，设， 当时，取最小值； 当时，取最大值2； 因此函数的值域为． 【小问2详解】 ， 设，，， ①当，即，函数的最小值为，满足题意； ②当，即， 函数的最小值为，由已知， 解得（舍去）或（舍去）； ③当，即，函数的最小值为， 由已知，故， 综上所述：的值为或. 18. 如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为． （1）求关于的函数表达式； （2）求的最大值，并求此时的值． 【答案】（1） （2），此时或 【解析】 【分析】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，根据边角关系得出，，再求即可； （2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 延长RP交AB于E，延长QP交AD于F， 由四边形ABCD是正方形，四边形PQCR是矩形，可知，， 由，，，可得，， 所以，， 所以 故S关于θ的函数表达式为． 【小问2详解】 令， 则，即， 而， 由，则， 即，即， 所以， 函数开口向上，对称轴为，所以当时，即， 解得或，此时S取得最大值，最大值为． 19. 若存在实数m，n使得，则称函数为，的“函数”． （1）若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数． ①求，的解析式； ②求（）的最小值； （2）设函数，，是否存在实数m，n使得为，的“函数”，且同时满足：（ⅰ）是偶函数；（ⅱ）的值域为？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①.②最小值为. （2） 【解析】 【分析】（1）由“函数”的定义，列出关于的关系式，并根据为奇函数，为偶函数，求得，的解析式；代入，求得其最小值； （2）假设存在实数m，n使得为，的“函数”，根据是偶函数得的关系，代回，结合的值域为，求得的值，从而得到的值. 【小问1详解】 因为为奇函数，为偶函数，所以. 若为，的“函数”，则，所以. ①两式相加得，两式相减得. 所以. ②由①知， 所以. . 因为，当且仅当时，即时，等号成立. 所以若，即，则当时，取得最小值，最小值为. 若，则时，取得最小值，最小值为. 综上所述，最小值为. 【小问2详解】 存在，满足题意. 假设存在实数m，n使得为，的“函数”，则. （ⅰ）因为是偶函数，所以，即. 即. 因为，所以. 因为，所以，即. 所以. 因为，当且仅当，即时等号成立. 所以，. 由（ⅱ）的值域为，得，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门实验学校2025-2026学年高一第一学期第三次达成度检测考试——数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知全集， 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在区间上的图像可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：．当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（ ） （参考数据：，，） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 7. 已知是定义在上的奇函数，对任意的，，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若角的终边过点，则 B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 对任意，恒成立 D. 函数的零点是和 10. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 已知定义在上的函数满足：，当时，，且函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 方程有5个不相等的实根 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. __________ 13. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则__________． 14. 已知函数，若实数、满足，则的最大值为__________ 四、解答题(本大题共小5小题，共77分，15题13分，16-17题15分，18-19题17分) 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16. 已知函数，的最小正周期为． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 17. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若，函数的最小值为，求的值． 18. 如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为． （1）求关于的函数表达式； （2）求的最大值，并求此时的值． 19. 若存在实数m，n使得，则称函数为，的“函数”． （1）若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数． ①求，的解析式； ②求（）的最小值； （2）设函数，，是否存在实数m，n使得为，的“函数”，且同时满足：（ⅰ）是偶函数；（ⅱ）的值域为？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $