5.1.1 任意角 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 导入新知 思考:观察以下运动变化，想一想它们有什么运动规律？ 地球自转和公转 月亮圆缺 运转的钟表 骑行中自行车的车轮 循环往复、周而复始 周期性 三角函数 问题1：初中是如何定义角？ 静态 角是具有公共端点的两条射线组成的图形. 角是“夹”出来的！ 角的种类：锐角、直角、钝角、平角、周角 角的范围：0°～ 360° 探索新知 现实生活中，随处可见超出0°～360°范围的角. 前空翻转体540° 后空翻转体720° 齿轮旋转示意图 角是“转”出来的！ 一、角的概念 动态 ⑴定义：角是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 记作：∠AOB、∠α、角α、α 旋转中心、旋转方向、旋转量 逆时针 顺时针 思考：在数学上，如何表示具有相反意义的量？ 正数+ 负数- 符号 思考：类比实数的学习，角的范围我们可以怎么扩充？ 任意角 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转(始边与终边重合) 记作： 0° 思考：钟表的时针和分针在旋转时所形成的角属于哪种？ 负角 二、角的运算 问题1：类比实数，角的大小如何？ 正角＞零角＞负角 问题2：类比实数，如何定义两个角相等、两个角相反？ 旋转方向相同 旋转量相等 相等角 (α=β) 旋转方向相反 旋转量相等 相反角 （角α的相反角记为-α） 30°+50°= 30°-50°= ？ ？ ▲几何意义： O A B 30° C 50° 30° -50° 80° -20° =30°+（-50°）=？ O A B D 设α,β是任意两个角，规定： ①α+β:将角α的终边继续旋转角β ②α-β：α-β=α+(-β)将角α的终边继续旋转角-β 问题3：类比实数，角的加减运算又如何？ 作图 请大家在纸上自行确定角的顶点和始边，作出以下角： α=210°，β=-150°，γ=-660° 任意角 旋转方向 正角 α＞0°→ 逆时针 旋转量 ｜α｜ 负角 α＜0°→ 顺时针 ▲作图时，注意用箭头标注旋转方向（始边→终边）！ 任意画一下60°的角 60° 60° 60° 三、象限角 o x y 始边 终边 角的顶点与原点重合 角的始边与x轴非负半轴重合 ⑴角的终边在第几象限就是第几象限角 ⑵角的终边在坐标轴上，则它不属于任何一个象限 任意角 象限角（第一、二、三、四象限） 不属于任何一个象限（轴线角） 问题5：在平面直角坐标系中画出下列角，并指出它们是第几象限角？ 45° 390° -200° 240° 270° O x y 45° O x y 390° O x y -200° O y x 240° y O x 270° 思考：锐角是第几象限角？ ▲象限角不能反映角的大小！ 第一象限角一定是锐角吗？ 第二象限角一定比第一象限角大吗？ 第三象限角一定是负角吗？ 四、终边相同的角 问题6：在同一平面直角坐标系中画出-32°，328°， -392°，观察这些角有什么共同特征？ ①形：具有相同的终边 ②数：328°=-32°+360° 思考：所有与-32°终边相同的角如何表示？ 形：-32°终边继续旋转整数周 数：-32°+k·360°，k∈Z 相差360°的整数倍 -392°=-32°+（-1）360° 问题7：将-32°推广到任意角α，结论又如何？ 与角α终边相同的角的集合： ▲注意：①α是任意角 ②α和k·360°之间用“+”连接 k·360°-30°=-30°+k·360° ③k∈Z不能省略 ④k·360°表示终边旋转整数周回到原来的位置 k＞0：逆时针；k＜0：顺时针 四、终边相同的角 判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且在0°~360°内的角，再判断终边所在象限. 终边在x轴正半轴上 S1=｛β | β=k·360°，k∈Z｝ 终边在y轴正半轴上 S2=｛β | β=90°+k·360°，k∈Z｝ 终边在x轴负半轴上 S3=｛β | β=180°+k·360°，k∈Z｝ 终边在y轴负半轴上 S4=｛β | β=270°+k·360°，k∈Z｝ O x y 例2、写出终边在轴上的角的集合． 选代表，加循环（周期） 例3：终边在y轴上的角的集合 S=S2∪S4 ={β|β=90º+2k·180º, k∈Z }∪{β|β=90º+180º+2k·180º, k∈Z } ={β|β=90º+2k·180º, k∈Z }∪{β|β=90º+(2k+1)·180º, k∈Z } ={β|β=90º+n·180º, n∈Z } ={β|β=90º+k·360º, k∈Z }∪{β|β=270º+k·360º, k∈Z } y x 45° 用集合表示终边落在阴影部分的角 45° 区间角 定边界，加循环（周期） 课堂总结 问题8：通过本节课的学习，在知识内容、方法能力等方面，你有哪些收获？ 类比归纳 数形结合 从特殊到一般 $