精品解析：广东清远市英德市2025-2026学年第一学期义务教育阶段学业质量监测 八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期义务教育阶段学业质量监测 八年级数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．请在答题卡上填写答案，在试卷上填写无效； 2．选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色字迹笔写在答题卡各题目指定区域内相应位置； 3．作图（含辅助线）和列表时用2B铅笔，要求痕迹清晰． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 如果一个直角三角形的两直角边长为3和4，那么它的斜边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 2. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 4. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 负数没有立方根 B. 三边长分别为2，3，4的三角形是直角三角形 C. 方差越大，数据的波动越小 D. 两直线平行，同旁内角互补 5. 《九章算术》中有一个“牛羊各值多少‘金’”的问题，题目大意：5头牛，2只羊共值10两“金”；2头牛，5只羊共值8两“金”．设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 8. 如图，在中，，，．将折叠，使点A与的中点D重合，则的长是（　　） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 9. 生物学研究发现，某种植物的生长高度(单位：)与生长时间(单位：天)满足一次函数关系若该植物初始生长高度为，生长天后高度达到，则生长了天的高度为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 10. ________． 11. 如图，若一次函数与的图象相交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是____________． 12. 一种简单的“数字加密术”规则为：将明文中的每个数字替换为“10减去该数字”得到密文数字（如数字3加密后为7，数字8加密后为2）．若明文为“259”，则相对应的密文是____________． 13. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是 ___________． 14. 一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是______cm． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 15. 计算 （1）； （2）． 16. 解方程组 17. 如图，已知的三个顶点A，B，C位于网格中的格点上（网格中每个小正方形的边长为1），请以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标； （2）画出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标． 18. 已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）画出函数的图象； （2）若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； （3）观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 19. 小明和小李准备明年1月份结伴到甲、乙两城市去旅游，为了解哪个城市更冷，他们查阅资料整理出以下数据： 2025年1月份前两周，两个城市的最低温度如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 甲城市最低温度/℃ 乙城市最低温度/℃ 将两个城市的最低温度绘制成如下统计表： 甲城市最低温度/℃ 天数 1 a 7 2 3 平均数/ 中位数/ 众数/ 甲城市 c 乙城市 b 回答下列问题： （1）写出表中a，b，c的值； （2）用折线统计图表示甲城市2025年1月份前两周的温度变化情况； （3）结合以上分析，你认为2025年1月份前两周哪个城市更冷，说明理由． 20. 综合与实践 【阅读材料】 图是某品牌人字梯收缩后的实物图，图是五层人字梯完全伸长后的实物图．若同种规格的人字梯每层踏板的厚度相等，第二层踏板及下端不可伸长（固定距离），从第三层踏板开始都可伸长，完全伸长后，层距（两相邻踏板间距）为．请根据表格数据解决实际问题． 名称 总层数 可伸长层数 收缩后的长度 六层梯 七层梯 （1）求固定距离和踏板厚度； （2）图是五层梯完全伸长后展开的实物图，此时，梯子的高度，两脚展开的宽度，求顶层宽度． 21. 如图1，在中，． （1）求证：； （2）如图2，，，点是平面内一个动点，连接，且，过点作射线，与射线交于点，射线交于点． ①当平分，求证：； ②如图3，延长交于点，作的角平分线交于，连接，连接，当，判断与的关系，并证明． 22. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． （1）判断直线与直线的位置关系，说明理由； （2）若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； （3）点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期义务教育阶段学业质量监测 八年级数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．请在答题卡上填写答案，在试卷上填写无效； 2．选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色字迹笔写在答题卡各题目指定区域内相应位置； 3．作图（含辅助线）和列表时用2B铅笔，要求痕迹清晰． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 如果一个直角三角形的两直角边长为3和4，那么它的斜边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理，直角三角形的斜边的长的平方等于两直角边的长的平方和． 【详解】解：∵两直角边长为3和4， ∴斜边长为， 故选：C． 2. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，根据无理数是无限不循环小数逐项分析即可． 【详解】解： A．是有限小数，是有理数； B．是循环小数，是有理数； C．是无限不循环小数，是无理数； D．是分数，是有理数． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象与y轴的正半轴相交， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴图象经过第一、二、四象限． 故选B． 4. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 负数没有立方根 B. 三边长分别为2，3，4的三角形是直角三角形 C. 方差越大，数据的波动越小 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假． 根据立方根的性质，勾股定理逆定理，方差的意义，平行线的性质逐一判断即可． 【详解】解：负数的立方根存在（如的立方根为），A为假命题； ，不满足勾股定理，B为假命题； 方差越大，数据波动越大，C为假命题； 两直线平行，同旁内角互补，D为真命题； 故选：D． 5. 《九章算术》中有一个“牛羊各值多少‘金’”的问题，题目大意：5头牛，2只羊共值10两“金”；2头牛，5只羊共值8两“金”．设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据题意，5头牛，2只羊共值10两“金”；2头牛，5只羊共值8两“金”，直接列出方程组即可． 【详解】解：∵5头牛值两“金”，2只羊值两“金”，共值10两“金”， ∴； ∵2头牛值两“金”，5只羊值两“金”，共值8两“金”， ∴． ∴方程组为， 故选：A． 6. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的概念与结构，统计量的识别，准确识别箱线图中各部分对应的统计量是解题关键． 根据箱线图的结构，可直接读取下四分位数、中位数、最大值等统计量，但平均数没有体现． 【详解】解：据图可知，该箱线图的最大值为，下四分位数为，中位数为，没有体现平均数． 故选：． 8. 如图，在中，，，．将折叠，使点A与的中点D重合，则的长是（　　） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解； 【详解】解：设，由折叠的性质可得， ∵D是的中点，， ∴， 在中，， 解得， 即， 故选：A． 9. 生物学研究发现，某种植物的生长高度(单位：)与生长时间(单位：天)满足一次函数关系若该植物初始生长高度为，生长天后高度达到，则生长了天的高度为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据一次函数关系，设，利用初始高度和生长天后的高度求出和，再代入计算值． 【详解】解：初始高度为，即时，． 生长天后高度为，即时， ， 解得． 函数为． 当时，． 生长天的高度为． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 10. ________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 11. 如图，若一次函数与的图象相交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两个一次函数的交点的横坐标为两个一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 12. 一种简单的“数字加密术”规则为：将明文中的每个数字替换为“10减去该数字”得到密文数字（如数字3加密后为7，数字8加密后为2）．若明文为“259”，则相对应的密文是____________． 【答案】851 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法． 根据加密规则，每个数字替换为10减去该数字的差即可． 【详解】解：明文数字2加密为， 数字5加密为， 数字9加密为， 故密文为851． 故答案为：851． 13. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是 ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算出“弦”长，再估算出其取值范围即可． 【详解】解：由题意得“弦”是， ∵，，， ∴10更接近于9， ∴接近于3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 14. 一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是______cm． 【答案】20 【解析】 【分析】如图所示，将长方体各个顶点标上字母，然后可分①情况一：经过前侧和右侧，②情况二：经过前侧和上侧，然后根据长方体展开图及勾股定理可求解路线长，最后进行比较即可． 【详解】解：如图所示，将长方体各个顶点标上字母， ①情况一：经过前侧和右侧，如图所示， ∴； ②情况二：经过前侧和上侧，如图所示， ∴， ∴， 故蚂蚁爬行的最短路程为20cm； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理，熟练掌握立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 15. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）用平方差公式计算； （2）先根据二次根式的性质和立方根的意义化简，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 16. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 17. 如图，已知的三个顶点A，B，C位于网格中的格点上（网格中每个小正方形的边长为1），请以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标； （2）画出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：平面直角坐标系如下所示，则点A的坐标为； （2） 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，写出平面直角坐标系中点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据点B的位置建立平面直角坐标系，再根据点A的位置写出点A的坐标即可； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）画出函数的图象； （2）若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； （3）观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【答案】（1） 函数图象如下所示： （2） 解：当时，，理由如下： ∵，， ∴随x的增大而增大， ∵点和在一次函数的图象上，且， ∴； （3） 解：当时，，理由如下： 联立，解得， ∴一次函数和的交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，． 【解析】 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：列表如下： x … 0 1 … … 1 … 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 小明和小李准备明年1月份结伴到甲、乙两城市去旅游，为了解哪个城市更冷，他们查阅资料整理出以下数据： 2025年1月份前两周，两个城市的最低温度如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 甲城市最低温度/℃ 乙城市最低温度/℃ 将两个城市的最低温度绘制成如下统计表： 甲城市最低温度/℃ 天数 1 a 7 2 3 平均数/ 中位数/ 众数/ 甲城市 c 乙城市 b 回答下列问题： （1）写出表中a，b，c的值； （2）用折线统计图表示甲城市2025年1月份前两周的温度变化情况； （3）结合以上分析，你认为2025年1月份前两周哪个城市更冷，说明理由． 【答案】（1）1；； （2） 如图所示，即为所求； （3） 2025年1月份前两周甲城市更冷，理由如下： 两个城市2025年1月份前两周的最低气温的平均数相同，但是甲城市的众数比乙城市的众数小，且甲城市的中位数比乙城市的小， ∴2025年1月份前两周甲城市更冷． 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数，频数分布表，熟知相关知识是解题的关键． （1）用14减去除去这一组的频数即可得到答案； （2）根据所给数据画图即可； （3）根据甲城市的中位数和众数都比乙城市对应的中位数和众数小即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，； 把乙城市这14天的最低气温按照从低到高的顺序排列为：，，，，，，，，，，，，，， 则乙城市这14天的最低气温的中位数为，即， ∵甲城市这14天的最低气温为的天数最多， ∴甲城市这14天的最低气温的众数为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 综合与实践 【阅读材料】 图是某品牌人字梯收缩后的实物图，图是五层人字梯完全伸长后的实物图．若同种规格的人字梯每层踏板的厚度相等，第二层踏板及下端不可伸长（固定距离），从第三层踏板开始都可伸长，完全伸长后，层距（两相邻踏板间距）为．请根据表格数据解决实际问题． 名称 总层数 可伸长层数 收缩后的长度 六层梯 七层梯 （1）求固定距离和踏板厚度； （2）图是五层梯完全伸长后展开的实物图，此时，梯子的高度，两脚展开的宽度，求顶层宽度． 【答案】（1）固定距离为，踏板厚度为 （2）顶层宽度为 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、全等三角形的判定与性质、勾股定理及利用平方根解方程，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）设固定距离，踏板的厚度，根据表格得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据题意得出，，过点作于，过点作于，利用证明，得出，设，利用勾股定理列方程，根据平方根的定义求出的值即可得答案． 【小问1详解】 解：设固定距离，踏板的厚度， 由表格可得：， 解得：， ∴固定距离为，踏板厚度为． 【小问2详解】 解：如图所示，由题意可知，，过点作于，过点作于， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， 设， ∵五层梯伸长后展开的梯子的高度，两脚展开的宽度， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴顶层宽度为． 21. 如图1，在中，． （1）求证：； （2）如图2，，，点是平面内一个动点，连接，且，过点作射线，与射线交于点，射线交于点． ①当平分，求证：； ②如图3，延长交于点，作的角平分线交于，连接，连接，当，判断与的关系，并证明． 【答案】（1） 解：∵在中，， ∴； （2） ①证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，关键是利用角的关系推导线段相等，通过全等三角形实现线段转化． （1）直接利用“等角对等边”的判定定理，由证得； （2）①先根据等腰直角三角形的性质求出，结合角平分线和已知角相等得到，证明为等腰直角三角形得到，再通过等角的余角相等证明，得到，从而证得； ②先利用角平分线和等腰直角三角形的角证明得到，再由得到，结合角的等量关系证明得到，进而证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． （1）判断直线与直线的位置关系，说明理由； （2）若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； （3）点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 【答案】（1） 解：垂直，理由如下： 由折叠的性质得到， ，， ， ， 故直线与直线的位置关系是垂直； （2）点P的坐标为或； （3）点的坐标或或． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，可得点D的坐标，设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标，求出的面积，根据“的面积是的面积的”得到，设点的坐标为，进而根据三角形面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为， ∴， ∵的面积是的面积的， ∴， 设点的坐标为， ∴， 即， ∴， 解得：或． 即点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：在第一象限内存在点Q，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点Q的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $