精品解析：陕西汉中市南郑区2025一2026学年 第一学期期末质量监测 九年级数学试题(卷)

南郑区2025-2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题（卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的．请把选择题的答案填到第2页的表格中．） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中叫做二次项，a叫做二次项系数，叫做一次项， b叫做一次项系数， c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是， 故选：A． 2. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　） A. 24个 B. 20个 C. 25个 D. 30个 【答案】A 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从频率公式入手，列出方程求解． 【详解】解：设有红球个， 根据题意得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 3. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，C，D两点都是的黄金分割点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵五角星中，C，D两点都是的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 榫卯是通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫“榫”，凹进部分叫“卯”，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面看到的图形，据此可得答案． 【详解】解：从上面看到的图形如下： 故选：B． 5. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【分析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 如图，点D，E分别是边，的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，是的中位线，利用三角形中位线定理，可得出，且．则得到，结合，，得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可． 【详解】解：∵中，，， ∴的函数图象过第一、二、四象限， ∵， ∴的函数图象过第二、四象限， 只有选项D同时满足的函数图象过第一、二、四象限，的函数图象过第二、四象限， 故选：D． 8. 如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据三角形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长． 【详解】连接AC，交EF于点H，如图， ∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°， ∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4， ∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点， ∴ ∴H是AC的中点，F是AG的中点， ∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线， ∴，， 而FH=EF-FH=4-， ∴CG=2FH=3， 又∵CD＝AB＝5， ∴DG＝5﹣3＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）． 9. 任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个________（填“菱形”或“矩形”或“正方形”）． 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，连接、，根据菱形的对角线互相垂直得到，由三角形的中位线定理得到，，则，同理可得，，，据此可得答案． 【详解】解：如图，在菱形中，点E、F、G、H分别是的中点， 连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，，分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴， 同理，，， ∴四边形是矩形． ∴任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个矩形， 故答案为：矩形． 10. 线段a，b，c，d是成比例线段，若，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 11. 如图，平面直角坐标系中，点E(﹣4，2)，F(﹣1，﹣1)，以原点O为位似中心，把EFO缩小为，且与EFO的相似比为1：2，则点E的对应点的坐标为_______． 【答案】（−2，1）或（2，−1）##（2，−1）或（−2，1） 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵以O为位似中心，将△EFO缩小为，且与EFO的相似比为1：2，E（−4，2）， ∴点E′的坐标为（−4×，2×）或（−4×（−），2×（−）），即（−2，1）或（2，−1）， 故答案为：（−2，1）或（2，−1）． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 12. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 13. 如图，点A，B在反比例函数的图像上，作轴，垂足为C，作轴，轴，垂足分别为D，E，连接．若，矩形的面积为5，则线段的长是_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可以得到，，据此可计算出长． 【详解】解：∵点A，B在反比例函数图象上，， ∴， ∵矩形的面积为5， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 14. 正方形的边长为，E为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明△BFC≌△CED，得到DE＝CF＝2，CE＝BF，利用勾股定理可求的长，由面积法可求． 【详解】解：正方形的边长为，E为的中点， ，，DE＝2， ， ， ∴∠CGF＝90°， ， ， ≌（AAS）， ，， ， ， ， ， ， ∴EG＝CE－CG＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程．） 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； （2），方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 17. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 18. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？ 【答案】2m． 【解析】 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路的宽应为x米，剩余部分拼成一个长方形，长和宽分别为（12﹣x）米、（8﹣x）米， 由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝60． 解得x＝2或x＝18（舍去）． 答：道路的宽应设计为2m． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 19. 如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】略 20. 如下图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是 ． （1）试判断是路灯还是太阳光产生的影子，如果是路灯产生的影子确定路灯的位置（用点P表示），如果是太阳光请画出光线． （2）在图中画出表示大树高的线段． 【答案】（1）如图，根据光线(图中虚线)相交于一点，即可得出路灯，确定路灯的位置P； （2）如图所示：表示大树高的线段 【解析】 【分析】（1）根据阴影方向不同，可知是路灯；连接、，两者延长线的交点即为路灯的位置； （2）连接，过点作，交于点，即为大树高． 【小问1详解】 解：根据墙墩、小明和树的影子相反，可知是路灯照射形成，图略； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知中，，CE是的中线，连接CE，分别过点A，C作CE和AB的平行线相交于点D． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若，，求菱形AECD的面积． 【答案】（1）， 四边形是平行四边形， ，CE是的中线， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得进而可得四边形是菱形； （2）连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得． 【详解】（1） 略 （2）如图，连接， ，， ， 在中， ， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 22. 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是______； （2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了概率公式． （1）直接根据概率公式计算； （2）先画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次转出的数字之和是5的倍数的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：转动转盘一次，转出的数字为2的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和是5的倍数的结果数为6种， 所以这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 23. 如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 24. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 【答案】（1）12；（2）19.6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可求出C点坐标； （2）分别求出y=12与AB和CD的交点M、N，则MN横坐标差即为答案． 【详解】（1）设CD段是反比例函数图象的一部分 ∵D(24,10)， ∴ 解得， （2）直线与交点N坐标为 ∵ ∴直线AB解析式为 ∴直线与直线AB 的交点M坐标为 ∴MN横坐标差为 即这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答时应注意临界点的应用． 25. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 【答案】（1） 解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南郑区2025-2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题（卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的．请把选择题的答案填到第2页的表格中．） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 1 2. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　） A. 24个 B. 20个 C. 25个 D. 30个 3. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，C，D两点都是的黄金分割点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯是通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫“榫”，凹进部分叫“卯”，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 6. 如图，点D，E分别是边，的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　） A. B. C. 3 D. 2 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）． 9. 任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个________（填“菱形”或“矩形”或“正方形”）． 10. 线段a，b，c，d是成比例线段，若，则________． 11. 如图，平面直角坐标系中，点E(﹣4，2)，F(﹣1，﹣1)，以原点O为位似中心，把EFO缩小为，且与EFO的相似比为1：2，则点E的对应点的坐标为_______． 12. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 13. 如图，点A，B在反比例函数的图像上，作轴，垂足为C，作轴，轴，垂足分别为D，E，连接．若，矩形的面积为5，则线段的长是_____________． 14. 正方形的边长为，E为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，则______． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程．） 15. 解方程： （1） （2） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 17. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 18. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？ 19. 如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 20. 如下图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是 ． （1）试判断是路灯还是太阳光产生的影子，如果是路灯产生的影子确定路灯的位置（用点P表示），如果是太阳光请画出光线． （2）在图中画出表示大树高的线段． 21. 如图，已知中，，CE是的中线，连接CE，分别过点A，C作CE和AB的平行线相交于点D． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若，，求菱形AECD的面积． 22. 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是______； （2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 23. 如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 24. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 25. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $