精品解析：天津市汇森中学2025-2026学年九年级上学期数学第四次学情自测

2025-2026学年九年级上学期第四次月考数学试卷 一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：依题意可得，，解得 关于的一元二次方程， 且． 故选：C． 3. 计算的值（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将代入，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 4. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 得 ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 故选：A 5. 已知分别是方程的两个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵分别是方程的两个根， ∴， ∴； 故选A． 6. 若点，，都在反比例函数 的图象上，则、，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．根据反比例函数的性质得出图象在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的横坐标比较即可． 【详解】解：∵中， ∴ 的图象在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点、、都在反比例函数的图象上， ∴，即 故选：C． 7. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：的长， 故选：． 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可； 【详解】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得到：； 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而应用勾股定理解题． 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 10. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，圆周角定理，由作图可知垂直平分，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为边上一点和，利用三角形外角，等边对等角和大角对大边可判断A，由旋转的性质，可知，再由三角形三边关系，得到，则可判断B，由旋转的性质得到，等腰三角形的性质得到，则C可判断，由题意选项D不具有一般性，故不符合题意． 【详解】解：、∵为边上一点，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故选项不符合题意； 、∵是由旋转得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项符合题意； 、∵， ∴， ∵，只有当为边上的中点时， ∴， ∵已知为边上的任一点，不一定是中点， ∴与不一定相等，故选项不符合题意． 12. 如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（ ）     A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，设边长为，则边长为，根据列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③. 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时，， 解得 ∵的长不能超过， ∴， 故①不正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得： 解得或 ∵， ∴， ∴的长只有一个值满足菜园面积为，故②错误； 设矩形菜园的面积为，　　 根据题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为200. 故③正确； ∴正确的有１个， 故选：B． 二．填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 13. 现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票50张，除图案外完全相同，现将所有邮票放入不透明口袋中，随机抽取一枚邮票图案为磁器口的概率是，则这个口袋中有磁器口邮票________枚． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据概率的定义，磁器口邮票的数量与总邮票数的比值等于给定的概率，由此建立方程求解． 【详解】解：设磁器口邮票有枚，则概率公式为， 解方程得， 故答案为：15． 14. 抛物线的顶点坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点，掌握相关知识是解决问题的关键．通过二次函数的顶点公式求解，先求顶点的横坐标，再代入函数求纵坐标． 【详解】解：对于二次函数 ，顶点横坐标为 ， 本题中，，，， ∴顶点的横坐标 ， 将 代入函数，得纵坐标 ， ∴顶点坐标为 ． 故答案为：． 15. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正六边形的性质和弧长的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，根据扇形的弧长公式即可得到结论． 【详解】解：正六边形的边长为2， ，， ， ， 过作于， ，， 在中，， ， 同理可证，， ， 的长度为 故答案为：． 16. 如图，已知的半径为，弦，则圆心O到弦的距离的长是__________． 【答案】##6厘米 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理；由垂径定理得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离为， ∴， ∴， 由勾股定理得：； 故答案为：． 17. 如图1，有三个边长为2的正方形并排放置在直线l上． （1）如图2，若中间的正方形绕其中点O旋转，则点O到直线l的距离为______； （2）将（1）中旋转后的正方形向上平移至图3的位置，使两侧正方形的顶点分别落在，边上，则点A到直线l的距离为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等． （1）连接，根据题意得，点在上，由勾股定理求出，再根据即可求解； （2）连接并延长交直线于点H，连接交于点G，同理得：共线，且，证明，由题意得，求出，由（1）知，由，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接， 根据题意得，点在上， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为， 故答案为：； （2）如图，连接并延长交直线于点H，连接交于点G， 同理得：共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴点A到直线l的距离为， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点均在格点上． （1）线段的长为_______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______________． 【答案】 ①. ②. 如图，取的外接圆与网格线的交点，连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理与网格，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）结合网格特点，利用勾股定理求解即可得； （2）取的外接圆与网格线的交点，连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）如图，取的外接圆与网格线的交点，连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 连接， 由图可知，， ∴是的外接圆的直径， ∴也是的直径， ∴， 由圆周角定理得：， ∴，则点即为所求． 故答案为：如图，取的外接圆与网格线的交点，连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 三．解答题：本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， 则，，， ∴， ∴， ∴，． 20. 已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点． （1）求和的值，并画出这个反比例函数的图像； （2）根据反比例函数图像，指出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，理解交点的含义并正确画出函数图形是顺利解题的关键． （1）根据题意，先将代入一次函数，求得，即可求得交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式，即可求得，根据描点法即可画出图像； （2）将，代入反比例函数解析式，即可求得值，当时，观察图像即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意，将代入，解得， ∴ 交点坐标为，再代入反比例函数中，解得， ∴ 反比例函数解析式为， 列出几组、的对应值： 描点连线，即可画出函数图像，如图： 【小问2详解】 当时，， 根据图像可知，当时，． 故当时，的取值范围是． 21. 如图，的半径为，是的直径，与相切，且，，连接并延长交于点，交于点，连接，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的值． 【答案】（1）， 理由如下： 是的直径，与相切， ， ， ， ， ， ； （2）5 【解析】 【分析】先根据切线的性质得到，再根据垂径定理，由得到，从而可判断； 先证明，利用相似比可求出，则，，再利用勾股定理计算出，，接着证明，利用相似比可求出，从而得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，即， 解得， ，， 在中，， 在中，， ，， ， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质． 22. 如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【答案】高层大楼的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯角仰角问题．过点E作于点H，在中，解直角三角形求出，继而求出，在中，根据三角函数的定义求出，即可求出. 【详解】解：过点E作于点H，则四边形是矩形， 由题意得： ，，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵,， ∴， ∴ 答：高层大楼的高度约为． 23. 某市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品． （1）根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 x x （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？ （3）根据市场需求，该企业在不增加工人的情况下，需要增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等，已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一种产品），丙产品每件可获利30元，要使该企业每天生产三种产品也能获得第（2）题中同样的利润，请问该企业应安排多少名工人生产甲产品？ 【答案】（1）； （2）2650元 （3）该企业应安排10人生产甲产品 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可； （3）设该企业安排m人生产甲产品，则安排人生产丙产品，安排人生产乙产品，根据该企业每天生产三种产品也能获得第（2）题中同样的利润建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每天安排x人生产乙产品，则每天安排人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为元，每天可生产件甲产品． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：依题意，得：， 整理，得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴（元）． 答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元． 【小问3详解】 解：设该企业安排m人生产甲产品，则安排人生产丙产品，安排人生产乙产品， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该企业应安排10人生产甲产品． 24. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，． （1）求的长； （2）动点P在射线上匀速运动． ①连接，当是等腰三角形时，求的长； ②将菱形的边沿直线翻折，点B的对应点落在边上时记为M，落在边上时记为（不与点D重合），请证明直线与直线平行，并求它们之间的距离． 【答案】（1）； （2）①的长是5或8或； ②证明:如图4，过点A作于点K，连接，， 由翻折得：， ， ， ， ，， ， 同理得：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线与直线之间的距离为． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直和平分，并结合勾股定理即可解答； （2）①分三种情况：；；，根据面积法即可解答； ②过点A作于点K，连接，，由翻折得，根据面积法可得高，由勾股定理得，同理得，可得，根据等边对等角和平行线的判定可得，最后由同高三角形面积的比等于对应底边的比即可解答． 【小问1详解】 四边形是菱形，， ，，， ， ， ； 【小问2详解】 ①分三种情况： 如图1，，此时P与C重合，； 如图2，； 如图3，，过点D作于点G， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 综上，的长是5或8或； ②略 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，翻折的性质，等腰三角形的判定，菱形和三角形的面积等知识，掌握菱形的性质，并运用分类讨论的思想是解本题的关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． （1）用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； （2）若，求点P的坐标． 【答案】（1），最大值为 （2）点P的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可； （2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； 【小问2详解】 解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第四次月考数学试卷 一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 计算的值（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知分别是方程的两个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 6 6. 若点，，都在反比例函数 的图象上，则、，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 7. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（ ）     A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 13. 现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票50张，除图案外完全相同，现将所有邮票放入不透明口袋中，随机抽取一枚邮票图案为磁器口的概率是，则这个口袋中有磁器口邮票________枚． 14. 抛物线的顶点坐标为_______________． 15. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，则的长度为_____． 16. 如图，已知的半径为，弦，则圆心O到弦的距离的长是__________． 17. 如图1，有三个边长为2的正方形并排放置在直线l上． （1）如图2，若中间的正方形绕其中点O旋转，则点O到直线l的距离为______； （2）将（1）中旋转后的正方形向上平移至图3的位置，使两侧正方形的顶点分别落在，边上，则点A到直线l的距离为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点均在格点上． （1）线段的长为_______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______________． 三．解答题：本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 用公式法解方程：． 20. 已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点． （1）求和的值，并画出这个反比例函数的图像； （2）根据反比例函数图像，指出当时，的取值范围． 21. 如图，的半径为，是的直径，与相切，且，，连接并延长交于点，交于点，连接，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的值． 22. 如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 23. 某市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品． （1）根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 x x （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？ （3）根据市场需求，该企业在不增加工人的情况下，需要增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等，已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一种产品），丙产品每件可获利30元，要使该企业每天生产三种产品也能获得第（2）题中同样的利润，请问该企业应安排多少名工人生产甲产品？ 24. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，． （1）求的长； （2）动点P在射线上匀速运动． ①连接，当是等腰三角形时，求的长； ②将菱形的边沿直线翻折，点B的对应点落在边上时记为M，落在边上时记为（不与点D重合），请证明直线与直线平行，并求它们之间的距离． 25. 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． （1）用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； （2）若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $