精品解析：天津市武清区天和城实验中学2024-2025学年高二上学期第二次形成性练习数学试题

2024－2025学年度高二年级第二次形成性练习数学试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 10 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列满足，则（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 4. 过点且与圆相切的直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 在棱长为2的正方体，中，、分别是、的中点，则点到截面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A B. C. D. 7. 数列满足，且，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ） A. B. C. D. 9. 已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与C的渐近线交于A、B两点（均异于点）.若，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 直线的倾斜角为__________． 11. 数列的前项和，则该数列的通项公式为______. 12. 圆：与圆：的公共弦的长度为______. 13. 已知递增等比数列，则__________． 14. 若直线与曲线恰有一个公共点，则实数取值范围是________ 15. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与轴的负半轴交于点，已知，则__________. 三、解答题（共75分） 16. 已知为等差数列前项和，且 （1）求的通项公式： （2）若是等比数列，且，求的前项和 17. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点直线l与圆相交于P、Q两点，若，求直线l的方程. 18. 已知数列的前项和为，且．在数列中，． （1）求的通项公式； （2）证明：等比数列． （3）求数列的通项公式． 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 设椭圆的上顶点为，左焦点为，已知椭圆的离心率，． （1）求椭圆方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度高二年级第二次形成性练习数学试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量平行得到方程组，求出答案. 【详解】由题意得，即， 所以，解得. 故选：C 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 3. 等差数列满足，则（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式可得与，进而得出通项公式计算可得解． 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，解得， 则， 所以， 故选：A． 4. 过点且与圆相切的直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D 5. 在棱长为2的正方体，中，、分别是、的中点，则点到截面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 故设平面的法向量为， 所以点到截面的距离为. 故选：B 6. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件，直接求出，即可求出结果. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，得到， 又抛物线的准线方程为，所以，又，得到， 所以双曲线的方程为， 故选：D. 7. 数列满足，且，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解. 【详解】因为数列满足，且， 可得， 可得数列是以三项为周期的周期数列， 所以. 故选：C. 8. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值. 【详解】设该马第天行走的里程数为， 由题意可知，数列是公比为的等比数列， 所以，该马七天所走的里程为，解得. 故该马第五天行走的里程数为. 故选：D. 9. 已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与C的渐近线交于A、B两点（均异于点）.若，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，分析可知，四边形为正方形，可得出，求出的值，进而可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】 连接，设，由对称性可知为的中点，， 因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，故为的中点， 又因为，且互相垂直且平分，所以，四边形为正方形，则， 所以，故双曲线的离心率为. 故选：A. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 直线的倾斜角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式方程，求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，求出倾斜角. 【详解】由，得 . 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则，且， 所以. 即直线的倾斜角为. 故答案为：. 11. 数列的前项和，则该数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】由可求得数列的通项公式. 【详解】当时，； 当时，. 不满足. 所以，. 故答案为：. 12. 圆：与圆：的公共弦的长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长． 【详解】圆与圆的方程相减得：， 由圆的圆心，半径为， 且圆心到直线的距离， 则公共弦长． 故答案为：． 【点睛】本题考查两圆相交公共弦的计算问题，考查计算能力，属于常考题. 13 已知递增等比数列，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用等比数列的性质及等比数列的通项公式求基本量，再求. 【详解】由题设且，则， 若数列的公比为且数列单调递增，则，故. 故答案为： 14. 若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图，利用直线与圆的位置关系，可得答案. 【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆， 是倾斜角为的直线，与曲线有且只有一个公共点有两种情况： ①直线与半圆相切，根据圆心到直线的距离，结合图象可得； ②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知. 综上可知，或 故答案为： 15. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与轴的负半轴交于点，已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得且，设直线的方程为，联立方程组，化简得到，再联立方程组，求得，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】设到直线的距离为， 因为，可得，所以， 所以，即且， 设直线的方程为，联立方程组，整理得， 则，所以，则， 联立方程组，解得， 由抛物线的定义，可得. 故答案为： 三、解答题（共75分） 16. 已知为等差数列的前项和，且 （1）求的通项公式： （2）若是等比数列，且，求的前项和 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，求公差，即可求解通项公式； （2）首先求等比数列的基本量，再代入求和公式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，得， 所以； 【小问2详解】 设等比数列的首项为，公比为， 所以，所以，， 所以， 所以. 17. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点直线l与圆相交于P、Q两点，若，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据条件运用两点距离公式求出圆心C的坐标和半径； （2）先设l的直线方程，运用垂径定理求出C点到l的距离，再利用点到直线距离公式求解. 【小问1详解】 设 ，则C到A，B两点的距离相等，即 ， 解得 ，即 ，半径 ， 圆C的标准方程为： ； 【小问2详解】 圆C的大致图像如下： ，所以M点在圆内，由垂径定理知C点到l的距离为 ， 当直线l的斜率存在时直线方程为 ，即 ，由点到直线距离公式知： ， 解得 ； 当斜率不存在时， ，点C到 的距离也是 ， 所以直线l的方程为 或 ； 综上，圆C的标准方程为：，直线l的方程为 或. 18. 已知数列的前项和为，且．在数列中，． （1）求的通项公式； （2）证明：是等比数列． （3）求数列的通项公式． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意由求解的通项公式即可； （2）由，可得，再结合等比数列定义求解； （3）根据（2），移项可得数列的通项公式. 【小问1详解】 由题意知，当时， 因为， 所以的通项公式为 【小问2详解】 证明： 由，可得， 即，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）存在，此时. 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直，即可证明线面垂直 (2)建立适当空间坐标系，利用法向量，即可求解二面角的余弦值. (3) 假设存在点，且，再利用向量法，即可求线面角余弦值. 【小问1详解】 解：平面，平面,,, 所以,所以平面，所以， ，为的中点，所以, 又,所以平面 【小问2详解】 以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 则 设平面ABQ的法向量为， 则 取，则， 设平面BQE的一个法向量为， 则，取， 设平面ABQ与平面BQE的夹角为θ，. 则 故平面ABQ与平面BQE的夹角的余弦为. 【小问3详解】 假设存在点，且， 所以 设直线与平面所成夹角， 则，解得， 故存在点满足直线与平面所成角的正弦值为，此时. 20. 设椭圆的上顶点为，左焦点为，已知椭圆的离心率，． （1）求椭圆方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，由，可求得的值，从而得到椭圆方程： （2）设，与椭圆方程联立可得点的坐标，进而可得点的坐标，求出点的坐标，由点的坐标求出直线的方程，求出点的坐标，由可构造方程求得的值，由此可得直线方程. 【小问1详解】 由可得：，，， 又，，， 椭圆方程为：. 【小问2详解】 由（1）知：，设直线， 由得：，则， ，即，， 即，； 在直线的方程中，令可得，， ，则直线， 令可得：，， ， 即，整理可得：，解得：， 直线或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $