6.3.1 二项式定理 （教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学教学设计聚焦二项式定理，通过“密码箱的秘密”情境导入，从多项式乘法实例出发，结合计数原理引导学生从特殊到一般推导定理，衔接前期计数原理与多项式乘法知识，搭建递进式学习支架。 以探究式教学为主线，通过辨析二项式系数与项的系数、即时“牛刀小试”练习，培养学生逻辑推理与运算求解素养，分层例题设计兼顾基础与提升，德育渗透落实立德树人，助力学生构建知识框架，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

6.3.1 二项式定理 教学设计 1.教学内容 本节课围绕人教A版（2019）选择性必修第三册6.3.1二项式定理展开，先通过多项式乘法推导、展开式，归纳出的展开规律，引出二项式定理表达式，明确二项式系数、项的系数、通项公式等核心概念，讲解通项公式的应用条件与用法，结合实例说明如何用定理展开二项式、求特定项或系数，引导学生理解定理的归纳推理过程，掌握二项式定理的结构特征与基本应用，为后续学习二项式系数的性质奠定基础。 2.内容解析 本节课是人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册的重点课时，贴合高二学生知识储备与思维特点，紧扣备课组教学规划，兼顾知识落实与素养培育。教学中衔接前期相关知识，以例题为载体，层层递进讲解核心内容，突破知识难点，引导学生主动思考、互动探究。课堂设计兼顾基础巩固与能力提升，既注重基础知识的讲解与夯实，也关注解题方法的总结与应用，帮助学生构建完整的知识框架。同时，结合党员教师育人职责，将数学素养与德育渗透融入课堂，落实立德树人根本任务，贴合班级教学实际与学生学习需求。整堂课节奏紧凑、重点突出，注重因材施教，能有效调动学生参与积极性，帮助学生掌握核心知识、提升解题能力，达成预设的教学目标，也为后续相关内容的学习奠定了坚实基础。 教学重点：理解本节课核心概念的内涵与外延，熟练掌握相关公式、定理的推导过程及应用方法，能运用所学知识解决基础、中档题型，提升数学逻辑推理与运算求解素养。 1.教学目标 （1）能用计数原理证明二项式定理； （2）掌握二项式定理及其二项展开式的通项； （3）能解决与二项式定理有关的简单问题． 2.目标解析 （1）该目标要求学生结合前期所学计数原理（分类、分步），理解二项式定理的推导逻辑。核心是让学生能用计数思想解释展开式中各项的形成过程，体会数形结合与逻辑推理素养，突破“项的构成与计数方法对应”的难点，提升严谨的数学证明能力，贴合高二学生思维发展水平。 （2）此目标是本节课核心，要求学生熟记二项式定理的表达式，明确展开式的结构特征（项数、次数、二项式系数），熟练掌握通项公式的写法及各字母的含义。能快速识别通项、提取关键信息，为后续解决相关问题奠定基础，侧重知识的识记与理解，落实基础教学要求。 （3）该目标侧重知识应用，要求学生运用二项式定理及通项公式，解决求特定项、二项式系数、指定次数项等简单问题。核心是培养学生的运算求解能力，能将公式与具体问题结合，规范解题步骤，检验学生对前两个目标的掌握程度，贴合课堂基础应用教学定位。 学生已掌握分类加法、分步乘法计数原理，熟悉多项式乘法法则，对组合数的概念及运算有初步了解，能解决简单的计数问题，但对计数原理的综合应用不够熟练，组合数与展开式项的关联理解不深入。 教学中预估会遇到两大困难：一是难以用计数原理推导二项式定理，无法理解展开式中各项的形成逻辑及二项式系数的由来；二是对二项展开式的通项公式记忆不牢固，混淆通项中各字母的含义，应用时易出错。 针对以上困难，解决方法为：结合多项式乘法实例，分步拆解展开过程，引导学生用计数原理分析项的构成；通过对比辨析、即时练习，强化通项公式的记忆与应用，结合错题讲解，明确易错点，帮助学生突破认知障碍。 教学难点：难以用计数原理推导二项式定理，理解二项式系数的由来，且对通项公式的含义及应用易混淆出错。 1． 创设情境，引入新知 “密码箱的秘密” 假设你参加了一个数学闯关游戏。最后一关面前有一个密码箱，上面写着提示：“密码是展开后各项系数按从左到右的顺序组成的数字串。” 思考：你能快速写出这个密码吗？ 追问：有的同学可能会说：“我可以一项一项乘出来！”但当指数变大，比如，再逐项展开就太麻烦了。有没有一种更高效、有规律的方法，能直接写出的展开式呢？ 教师：那就需要用到这节课学习的-----二项式定理 2． 探究新知 探究：我们知道， ， ． （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 要求：分析方法：由特殊到一般. 先分析的展开过程，然后根据的展开过程，以此类推探究、、....，甚至的展开式. 学生：学生思考辨析、讨论交流，分析的展开式，. 预设：根据多项式乘法法则， 可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，而且每一项都是的形式． 设计意图：通过问题串引入二项式定理，让学生体会 知识的发展是建立在已有的知识基础上的.通过分析已有 知识得出规律，进而发展构建新知识. 思考：下面我们再来分析一下形如的同类项的个数． 学生：尝试着对k进行取值，并结合排列组合知识探究. 预设：当时，，这是由2个中都不选得到的．因此，出现的次数相当于从2个中取0个（都取）的组合数，即只有1个． 当时，，这是由1个中选，另1个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即共有2个． 当时，，这是由2个中都选得到的．因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个． 由上述分析可以得到 ． 思考：依照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？ 学生：回顾以上探究过程，知识迁移，进行，的展开式的探究. 预设：； ． 思考：依据上述过程，写出展开式 学生：自主写出的展开式 预设： 二项式定理： 以上公式叫做二项式定理. 展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． 二项式系数：各项的系数C (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 设计意图：通过得出猜想，并说明其正确性，让学生体 会从特殊到一般的思想方法，体会归纳猜想在知识产生过 程中的重要性. 二项展开式的通项：用表示，即通项为展开式的第项： 二项式定理的辨析： (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (2)二项式系数都是C (k=0,1,2,…,n), 它值只与n和k的值有关系，与a,b没有关系. (3)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. (4) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设，，则有 (5)由（4）知，令x=1，得 即二项展开式中的二项式系数的和等于 牛刀小试： 练1：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) 学生：先独立思考，然后同桌交流讨论，得出结果. 预设：（1）×，（2）×，（3）×，（4）√ 3． 应用新知 例1：求的展开式． 学生：回顾二项式定理，得到例1中的展开式，做好分享准备. 预设：根据二项式定理， ． 牛刀小试： 练2：求的展开式. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设： 例2 （1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 师生：学生独立思考，小组交流讨论，尝试得出答案. 预设：（1）的展开式的第4项是． 因此，展开式第4项的系数是280． 结论：的展开式的第4项的二项式系数是．一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念． （2）的展开式的通项是． 根据题意，得，．因此，的系数是． 牛刀小试： 练3：（1）求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; （2）求x9的展开式中x3的系数. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：(1)由已知得二项展开式的通项为 Tk+1=(2)6-k·-k=26-k·(-1)k·, ∴T6=-12. ∴ 第6项的二项式系数为=6, 第6项的系数为·(-1)5·2=-12. (2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则 Tk+1=x9-k-k=(-1)kx9-2k, 令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·=-84. 总结：二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等, 要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. (2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)7的 展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3,其二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280. 4． 题型强化练习 类型一：求二项展开式的指定项（系数） 例1 （1）展开式中的第3项为 . 预设：展开式中的通项为， 所以第项为：， 故答案为：. 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；然后根据第几项，求出k值，代入通项公式即可. （2） 的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 预设：由题意可知：， 令，所以常数项为. 故答案为： 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；然后求常数项只需要令变量的指数为0. （3） 的有理项共有（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．8 预设：由的通项公式为：， ，，， 所以有理项共有6项，故选：C 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；然后分别取k的值，使得参数的指数为整数，即为有理项. 题型二：求参数值 例题2 已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 预设：由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；根据题意建立关于参数的等式关系，解方程可求参数值. 题型三：多项式的展开式问题 例题3 在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 预设：在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，所以含的项为， 所以含的项的系数是. 故选：. 总结：根据多项式的展开式中项的形成，从每个括号中选一个相乘即可得出一项.比如：本题中含的项即从5个因式中取4个常数，1个x，即可写出含x的项. 题型四：二项式定理逆用：化简多项式 例题4 化简： ． 预设： ，故答案为： 总结：将需要化简的多项式按照二项式展开式的格式配凑成某个二项式的展开式，然后结合二项式定理即可对多项式化简. 5． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 作业1：完成教材：第31页 练习1，2，3，4，5；. 作业2：配套辅导资料对应的《二项式定理》.  6.3.1 二项式定理 一、核心定理 - 项数：项 - 二项式系数： 二、通项公式 - 注意：第项，而非第项 三、关键例题 例1： 例2： 四、易错点 1. 混淆通项项数 2. 二项式系数与项的系数 本节课教学围绕二项式定理展开，基本达成预设教学目标，能结合计数原理引导学生推导定理，通过例题巩固通项公式应用，课堂互动积极，学生参与度较高。但教学中仍有不足，推导过程中对基础薄弱学生的关注度不足，部分学生未能充分理解二项式系数的由来，通项公式的项数易错点强调不够，导致部分学生解题时混淆第k项与第k+1项。同时，课堂练习设计梯度不足，未能兼顾不同层次学生需求，反馈纠错环节不够及时。后续教学中，将优化推导环节的分层引导，增加即时辨析练习强化易错点，设计分层习题贴合学生学情，加强课堂反馈，关注每一位学生的学习状态，结合备课组建议改进教学方法，提升课堂效率，落实数学核心素养的培育。 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $