6.2.3&6.2.4 组合与组合数（题型专练）数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3&6.2.4 组合与组合数 题型一：组合问题的判断 1．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 2．给出下列问题： ①从甲､乙､丙名同学中选出名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有张电影票，要在人中确定人去观看，有多少种不同的选法？ ③某人射击枪，击中枪，且命中的枪均为枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中属于组合问题的个数为（    ） A． B． C． D． 3．下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 4．下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 5．以下四个问题，属于组合问题的是（    ） A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 6．下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 题型二：计算组合数 1．（    ） A．126 B．84 C．70 D．56 2．（    ） A．36 B．64 C．128 D．32 3．（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．计算的值是（    ） A．41 B．70 C．76 D．82 5．计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 题型三：解组合数方程 1．解方程：. 2．解方程：． 3．解方程： 4．解方程：. 5．已知，求实数的值 题型四：解组合数不等式 1．解关于的不等式：. 2．若，求m. 3．求关于的不等式的解集． 4．求r的取值范围：． 题型一：证明组合数恒等式 1．证明组合数性质； 2．已知，．证明： ． 5．求证：； 6．证明：． 7．求证：. 题型二：组合数公式解决计数问题 1．某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有 种．（用数字作答）． 2．某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 3．从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为 ．（用数字作答） 4．10名同学中选2名同学为代表参加学校园地竞标种植活动，共有 种不同选法. 5．马路上有编号为1，2，3，…，9的9盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能同时关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有 种. 6．从5个班级（每个班级的人数多于10人）中选10个人组成校足球队，则不同的选法有 种. 1．下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 2．已知，求 3．（1）求的值； （2）解不等式. 4．解下列方程或不等式： (1)； (2). 5. 若m、n、r均为正整数，试证明：． 6．求证：. 7．近年来，盲盒产品风靡市场，深受年轻人追捧．新上市的某种盲盒产品共有6个不同的款式，每一套都有6个外观和质量相同的盲盒，且包含了这6个不同的款式．小铭喜欢其中的2款，他从一套的6个盲盒中随机购买2个，则至少有1个盲盒中是他喜欢的款式的概率为（   ） A． B． C． D． 8．从标有1，2，3，4，5的5个小球中随机摸取3个，则摸到的3个小球上数字之和是3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 9．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3&6.2.4 组合与组合数 题型一：组合问题的判断 1．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 2．给出下列问题： ①从甲､乙､丙名同学中选出名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有张电影票，要在人中确定人去观看，有多少种不同的选法？ ③某人射击枪，击中枪，且命中的枪均为枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中属于组合问题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据选项中不涉及顺序的为组合问题可确定结果. 【详解】对于①，选出名同学后，分配到两个乡镇涉及到顺序问题，是排列问题； 对于②，选出人观看不涉及顺序问题，是组合问题； 对于③，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题. 故选：C. 3．下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 4．下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】D 【分析】根据组合的性质逐一判断即可. 【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题； 因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题； 因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题； 因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题， 故选：D 5．以下四个问题，属于组合问题的是（    ） A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 【答案】C 【分析】根据组合的定义即可得到答案. 【详解】只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A,B,D均与顺序有关. 故选：C. 6．下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 题型二：计算组合数 1．（    ） A．126 B．84 C．70 D．56 【答案】A 【分析】利用组合数的性质及计算公式计算得解. 【详解】依题意，. 故选：A 2．（    ） A．36 B．64 C．128 D．32 【答案】D 【分析】利用组合数性质以及组合数公式计算即可. 【详解】，， 则. 故选：D 3．（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】先根据组合数的性质将其化简，再运用组合数计算公式即得. 【详解】由. 故选：C. 4．计算的值是（    ） A．41 B．70 C．76 D．82 【答案】C 【分析】利用排列数公式和组合数公式求解. 【详解】. 故选：C. 5．计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 【答案】B 【分析】根据排列数和组合数运算法则计算即可 【详解】． 故选：B． 题型三：解组合数方程 1．解方程：. 【答案】或. 【分析】根据组合数的计算性质即可求解， 【详解】因为，由可得或，解得或. 2．解方程：． 【答案】 【分析】根据排列数、组合数的计算公式求解. 【详解】由，得， 即， 即， 而由，知，解得， 所以原方程的解为. 3．解方程： 【答案】或. 【分析】根据组合数的运算性质将原方程化为或，解一元二次方程，结合组合数的性质计算即可. 【详解】由题意，为正整数，由可得或 故或，解得或或或（舍去）， 又均为整数，且， 所以或符合要求，不符合要求， 故或. 4．解方程：. 【答案】或 【分析】组合数的性质可知可知或，由此解得. 【详解】由组合数的性质可知或，解得或， 验证发现其满足，故原方程的解为或. 5．已知，求实数的值 【答案】或； 【分析】根据组合数的性质计算即可； 【详解】因为， 所以或， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 题型四：解组合数不等式 1．解关于的不等式：. 【答案】 【分析】利用组合数运算求解. 【详解】由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 2．若，求m. 【答案】或 【分析】根据题意，利用组合数的计算公式，求得，进而求得实数的值. 【详解】依题意，得且，所以， 由，可得，即，解得， 又因为，所以或. 3．求关于的不等式的解集． 【答案】 【分析】根据组合数的运算公式计算即可得出答案. 【详解】不等式， 即不等式， 即，解得， 又因且， 所以关于的不等式的解集为. 4．求r的取值范围：． 【答案】或 【分析】根据组合数的计算，化简不等式组即可得解. 【详解】由 ，又因为，所以或. 题型一：证明组合数恒等式 1．证明组合数性质； 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数的公式化简计算. 【详解】证明：+＝+ ＝＝ ＝＝＝； 2．已知，．证明： ． 【答案】证明见解析 ． 【分析】利用组合数公式求解； 【详解】证明：因为， ， 所以． 5．求证：； 【答案】证明见解析； 【分析】根据题意，由组合数的计算公式代入计算，即可证明； 【详解】左式， 右式 ， ∴． 6．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数公式分析证明. 【详解】由题意可得： ， 所以. 7．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用组合数公式两边分别计算即得. 【详解】， ， 所以. 题型二：组合数公式解决计数问题 1．某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有 种．（用数字作答）． 【答案】20 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算得解. 【详解】从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有种. 故答案为：20 2．某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【答案】D 【分析】根据组合数的计算求得正确答案. 【详解】从5个景点中选3个，有种不同的选法. 故选：D 3．从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为 ．（用数字作答） 【答案】13 【分析】分析符合题意的情况种类，然后分类计算，再根据组合和组合数的计算方法，求出结果. 【详解】一次性摸取3个球，至少有2个黄球分为两种情况： 情况一：两个黄球，一个红球，有种不同方法； 情况二：三个黄球，； 共有种方法； 故答案为：13 4．10名同学中选2名同学为代表参加学校园地竞标种植活动，共有 种不同选法. 【答案】 【分析】应用组合数公式计算求解. 【详解】10名同学中选2名同学为代表参加学校园地竞标种植活动，共有种. 故答案为：. 5．马路上有编号为1，2，3，…，9的9盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能同时关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有 种. 【答案】10 【分析】使用插空法解决问题， 【详解】由于要求有6盏路灯亮，3盏路灯暗，且两端路灯不可为暗，故可在6盏亮着路灯的5个间隙中插入3盏暗灯即可，有种. 故答案为：10. 6．从5个班级（每个班级的人数多于10人）中选10个人组成校足球队，则不同的选法有 种. 【答案】1001 【分析】由组合数即可求解. 【详解】根据题意，可知不同的选法有种，即1001种． 故答案为：1001. 1．下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】根据排列、组合的定义判断即可. 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 2．已知，求 【答案】 【分析】由已知条件，利用组合数公式求出m的值，即可求解的值. 【详解】， ，且， 两边乘以，得， 即，解得或， ，， . 3．（1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）根据排列数以及组合数公式计算，即得答案； （2）根据排列数公式，解不等式，即得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 化简得，解得.① 又，所以.② 由①②及，得， 即不等式的解集为. 4．解下列方程或不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用组合数的性质，得到，求得或，结合，即可求得的值. （2）由不等式，求得，结合且，即可得到答案. 【详解】（1）解：由组合数的性质，可得，且， 即，则， 整理得，解得或， 又因为，即，所以. （2）解：由不等式， 可得， 化简得，解得， 又因为且，所以， 所以原不等式的解集是. 5. 若m、n、r均为正整数，试证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意，由组合数的计算公式代入计算，即可证明； （2）根据题意，由组合数的意义，构造组合数学模型，利用组合数及分类加法原理即可证明； 【详解】（1）左式， 右式 ， ∴． （2）构造数学模型证明：表示从个不同元素中每次取r个元素的取法种数． 将个不同元素分为两组，其中A组n个元素，B组m个元素， 从个不同元素中每次取r个元素，可分类完成， 依次为：A组取0个，B组取r个，有种取法； A组取1个，B组取个，有种取法； ……； A组取r个，B组取0个，有取法． 由加法原理知共有种取法． ∴． 6．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】把证明问题转化为组合实际模型，利用两种方法求解，根据选法相同即可证明结果. 【详解】证明：构造组合模型如下： 从个男学生及个女学生中，选出个学生组成一个代表团，其中男学生至少有1名， 并在其中选择1名男学生为团长，问有多少种不同的选法? 选法一 按选出的男学生人数分类，男学生选法有种，女学生选法有 种， 团长的选法有种，故完成这件事情的选法有种． 令 ，则符合条件的选法总数为： ． 选法二 从个男同学中选出团长有种方法，然后在剩下的个学生中选出个团员有种，由乘法原理共有种选法． 比较上述两种结果，得：. 7．近年来，盲盒产品风靡市场，深受年轻人追捧．新上市的某种盲盒产品共有6个不同的款式，每一套都有6个外观和质量相同的盲盒，且包含了这6个不同的款式．小铭喜欢其中的2款，他从一套的6个盲盒中随机购买2个，则至少有1个盲盒中是他喜欢的款式的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用古典概率及对立事件的概率公式，结合组合计数问题列式计算. 【详解】从一套的6个盲盒中随机购买2个，共有个不同结果， 购买的2个盲盒都不是他喜欢的款式的事件有个不同结果， 所以至少有1个盲盒中是他喜欢的款式的概率为. 故选：C 8．从标有1，2，3，4，5的5个小球中随机摸取3个，则摸到的3个小球上数字之和是3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出取3个小球的结果总数，再找出之和为3的倍数的情况，然后求其概率. 【详解】从袋中的5个小球中取出3个小球，共有种情况， 取出小球之和为3的倍数情况为：，共4种情况， 所以取出之和为3的倍数的概率： 故选：C 9．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $