6.3.1 二项式定理（导学案）数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 导学案 1. 能用计数原理证明二项式定理； 2. 掌握二项式定理及其二项展开式的通项； 3. 能解决与二项式定理有关的简单问题． 1． 创设情境，引入新知 “密码箱的秘密” 假设你参加了一个数学闯关游戏。最后一关面前有一个密码箱，上面写着提示：“密码是展开后各项系数按从左到右的顺序组成的数字串。” 思考：你能快速写出这个密码吗？ 追问：有的同学可能会说：“我可以一项一项乘出来！”但当指数变大，比如，再逐项展开就太麻烦了。有没有一种更高效、有规律的方法，能直接写出的展开式呢？ 2． 探究新知 探究：我们知道， ， ． （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 要求：分析方法：由特殊到一般. 先分析的展开过程，然后根据的展开过程，以此类推探究、、....，甚至的展开式. 思考：下面我们再来分析一下形如的同类项的个数． 思考：依照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？ 思考：依据上述过程，写出展开式 二项式定理： 以上公式叫做 . 展开式：等号右边的多项式叫做的 ，展开式中一共有 项． 二项式系数：各项的系数 (k∈{0,1,2，…，n})叫做 ． 二项展开式的通项：用表示，即通项为展开式的第项： _________________________ 二项式定理的辨析： (1)二项展开式有 项,而不是n项. (2)二项式系数都是 (k=0,1,2,…,n), 它值只与n和k的值 关系，与a,b 关系. (3)在排列方式上,按照字母a的 排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次, 同时字母b按 排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. (4) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设，，则有 _______________________________________________ (5)由（4）知，令x=1，得 _______________________________________________ 即二项展开式中的二项式系数的和等于 . 牛刀小试： 练1：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) 3． 应用新知 例1：求的展开式． 牛刀小试： 练2：求的展开式. 例2 （1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 牛刀小试： 练3：（1）求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; （2）求x9的展开式中x3的系数. 总结：二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等, 要注意区分“ ”与二项展开式中“ ”这两个概念. (2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为. 例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3, 其二项式系数是 ,而第4项的系数是 . 4． 题型强化练习 类型一：求二项展开式的指定项（系数） 例1 （1）展开式中的第3项为 . 总结：先用二项展开式的通项公式，求出 ；然后根据第几项，求出 值，代入通项公式即可. （2） 的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；然后求常数项只需要令变量的指数为 . （3） 的有理项共有（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．8 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；然后分别取k的值，使得参数的指数为 ，即为有理项. 题型二：求参数值 例题2 已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；根据题意建立关于参数的 关系， 可求参数值. 题型三：多项式的展开式问题 例题3 在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 总结：根据多项式的展开式中项的形成，从每个括号中选一个相乘即可得出一项.比如：本题中含的项即从5个因式中取4个常数，1个x，即可写出含x的项. 题型四：二项式定理逆用：化简多项式 例题4 化简： ． 总结：将需要化简的多项式按照二项式展开式的格式 成某个二项式的展开式，然后结合二项式定理即可对多项式化简. 5． 课堂小结 作业1：完成教材：第31页 练习1，2，3，4，5；. 作业2：配套辅导资料对应的《二项式定理》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1 二项式定理 导学案 1. 能用计数原理证明二项式定理； 2. 掌握二项式定理及其二项展开式的通项； 3. 能解决与二项式定理有关的简单问题． 1． 创设情境，引入新知 “密码箱的秘密” 假设你参加了一个数学闯关游戏。最后一关面前有一个密码箱，上面写着提示：“密码是展开后各项系数按从左到右的顺序组成的数字串。” 思考：你能快速写出这个密码吗？ 追问：有的同学可能会说：“我可以一项一项乘出来！”但当指数变大，比如，再逐项展开就太麻烦了。有没有一种更高效、有规律的方法，能直接写出的展开式呢？ 2． 探究新知 探究：我们知道， ， ． （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 要求：分析方法：由特殊到一般. 先分析的展开过程，然后根据的展开过程，以此类推探究、、....，甚至的展开式. 预设：根据多项式乘法法则， 可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，而且每一项都是的形式． 思考：下面我们再来分析一下形如的同类项的个数． 预设：当时，，这是由2个中都不选得到的．因此，出现的次数相当于从2个中取0个（都取）的组合数，即只有1个． 当时，，这是由1个中选，另1个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即共有2个． 当时，，这是由2个中都选得到的．因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个． 由上述分析可以得到 ． 思考：依照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？ 预设：； ． 思考：依据上述过程，写出展开式 预设： 二项式定理： 以上公式叫做二项式定理. 展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． 二项式系数：各项的系数C (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 二项展开式的通项：用表示，即通项为展开式的第项： 二项式定理的辨析： (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (2)二项式系数都是C (k=0,1,2,…,n), 它值只与n和k的值有关系，与a,b没有关系. (3)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. (4) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设，，则有 (5)由（4）知，令x=1，得 即二项展开式中的二项式系数的和等于 牛刀小试： 练1：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) 预设：（1）×，（2）×，（3）×，（4）√ 3． 应用新知 例1：求的展开式． 预设：根据二项式定理， ． 牛刀小试： 练2：求的展开式. 预设： 例2 （1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 预设：（1）的展开式的第4项是． 因此，展开式第4项的系数是280． 结论：的展开式的第4项的二项式系数是．一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念． （2）的展开式的通项是． 根据题意，得，．因此，的系数是． 牛刀小试： 练3：（1）求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; （2）求x9的展开式中x3的系数. 预设：(1)由已知得二项展开式的通项为 Tk+1=(2)6-k·-k=26-k·(-1)k·, ∴T6=-12. ∴ 第6项的二项式系数为=6, 第6项的系数为·(-1)5·2=-12. (2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则 Tk+1=x9-k-k=(-1)kx9-2k, 令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·=-84. 总结：二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等, 要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. (2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为. 例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3, 其二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280. 4． 题型强化练习 类型一：求二项展开式的指定项（系数） 例1 （1）展开式中的第3项为 . 预设：展开式中的通项为， 所以第项为：， 故答案为：. 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；然后根据第几项，求出k值，代入通项公式即可. （2） 的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 预设：由题意可知：， 令，所以常数项为. 故答案为： 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；然后求常数项只需要令变量的指数为0. （3） 的有理项共有（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．8 预设：由的通项公式为：， ，，， 所以有理项共有6项，故选：C 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；然后分别取k的值，使得参数的指数为整数，即为有理项. 题型二：求参数值 例题2 已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 预设：由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B 总结：先用二项展开式的通项公式，求出通项；根据题意建立关于参数的等式关系，解方程可求参数值. 题型三：多项式的展开式问题 例题3 在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 预设：在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，所以含的项为， 所以含的项的系数是. 故选：. 总结：根据多项式的展开式中项的形成，从每个括号中选一个相乘即可得出一项.比如：本题中含的项即从5个因式中取4个常数，1个x，即可写出含x的项. 题型四：二项式定理逆用：化简多项式 例题4 化简： ． 预设： ，故答案为： 总结：将需要化简的多项式按照二项式展开式的格式配凑成某个二项式的展开式，然后结合二项式定理即可对多项式化简. 5． 课堂小结 作业1：完成教材：第31页 练习1，2，3，4，5；. 作业2：配套辅导资料对应的《二项式定理》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $