第02讲 平面向量的数乘运算 寒假自学讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 平面向量的数乘运算 教 学 1.掌握平面向量的数乘运算，掌握共线向量定理的应用，理解平面向量的线性运算的概念以及几何意义： 2.经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合的思想： 月 3. 体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 标 教 学 重点：平面向量的数乘运算，共线向量定理的应用； 重 难点：共线向量定理的概念及应用。 难 竹 教学内容 同 步 ◆ 平面向量的数乘运算 趣味导入 -1- 共线定理：向量a与向量b共线 一存在实数v,使b=a 多千河A生成 知识典例 知识点一：平面向量的数乘运算 一、向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作ā，它的长度与方向规定如下： ①2a=a;②当2>0时，a的方向与a的方向相同；③当元<0时，2a的方向与a的方向相反 二、向量的数乘的运算律 设，u为实数，那么①(ua=()a;②(+)a=a+ua;③(a+)=a+6 特别地，我们有()a=-(à)=(a),(a-)=a-访 三、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量，，以及任意实数入，h,山2，恒有 (4a士西)=4a士，i 题型一：平面向量的数乘运算 -2- 【例1-1】已知向量a,b,化简4a+3b+2(a-b)=() A.3a-26 B.2a-46 C.6a+b D.4a+6 【例1-2】在ABC中，点D为边BC的中点，点E在AD上，且2AE=ED,则CE=() A.5AB+LAC B.5B-1AC 6 6 66 c.n D.名-c 6 【例1-3】在△ABC中，D为AC上一点且满足Ai=DC,若P为BD的中点，且满足A=A+uAC,则入+μ的 值是() A.言 B.支 C. D.号 【变式训练】 1.设M,N分别是△ABC所在边ACBC上的两点，且满足AM=2MC,Bd=NC,则MN=() A. MN=-A成-AC B.MN=A-号AC C.MN=-AB+AC D.MN-AB+AC 2.如图，在四边形ABCD中，DC=2AB,BE=2EC,设DC=a,DA=b,则DE等于() D 5 A. -a+ B. 2+16 6 30+ C. D. -3- 3.在矩形4BCD中，已知①=CD,0-BC,E为四的中点，且正=+yD,则w一 知识点二：平面向量共线定理 向量共线定理：向量a(a≠0)与6共线的充要条件是：存在唯一一个实数入，使方=a. 【总结】 1、向量共线的判定定理：ā是一个非零向量，若存在一个实数入，使b=入a,则向量b与非零向量ā共线. 2、向量共线的性质定理：若向量b与非零向量ā共线，则存在一个实数入，使=入a. 题型二：平面向量共线定理 【例2】设a,五是不共线的两个非零向量 (1)若0A=2ā-万，0B=3ā+b,0C=ā-35，求证：A,B,C三点共线； (2)若AB=ā+i,BC=2ā-35，CD=2ā-k5,且A,C,D三点共线，求实数k的值， 【变式训练】 1.设e,e是两个不共线的向量，如果AB=3e,-2e,,BC=4e+e,,CD=8e-9e,,求证：A,B,D三点共线 2.己知a与b为非零向量，0A=a+b,0B=2a-b,0C=入ā+ub,若A,B,C三点共线，则2元+u=() A.0 B.1 C.2 D.3 -4- 3. 已知向量，6不共线，A亩=λ+26，AC-+u6,若A,B,C三点共线，则nu=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 题型三：共线向量定理的推论（鸡爪定理） 【例3】如图所示，设AB=mAM,AC=mAN,线段MN与BC交于点0，且BO=OC,则2m+n=() B M A. B.2 C. D.3 【变式训练】 1如图，在6dBC中，N=NC,P是8w上一点，若P=1B+写4C,则实数的值为(） B4 C A. 1 5 B. 3 c. D. 5 -5- 2.如图，在△ABC中，AN=}AC,P是BN的中点，若P=mAB+AC,则实数m的值是 2 ⊙ 强化练习 1.在△ABC中，D是BC上一点，满足Bi=2D元，M是AD的中点，若BM=ABA+μB元，则入+u=() A.星 B.百 c. D.哥 2.设1，E2为平面上两个不共线的单位向量，已知向量A=可-k已2，C=2E-2,⑦=3已-3已2，若AB,D三点 共线，则k的值是() A.2 B.-3 C.-2 D.3 3.如图，在△ABC中，=NC,P是BN上的一点，若P=m+AB+。C,则实数m的值为() 3 0 B -6- 1 Ag B.司 c. 1 D.3 4.(多选)已知1，e2是不共线的向量，下列向量，共线的为() A.a=1,6=-2E2 B.i=1-32,6=-21+6E2 C.=31-e2,6=2e1-2 D.i=1+e2,6=1-3E2 5.(多选)△ABC中，D为AB上一点且满足AD=3DB,若P为线段CD上一点，且AP=1AB+uAC(1,μ为正 实数)，则下列结论正确的是() A.CD-1C4+3CB B.41+3μ=2 4 4 .:的政大值为位 11 D.元3 。+。的最小值为3 6.己知M,N分别是线段0A,0B上的点，且OM=MA,ON=2NB,若MN=20A+uOB,则元+4= 7.在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=万，AN=3NC,M为BC的中点，则MA=,MN= (用 a,b表示) 8.在△ABC中，E为AC上一点，AC=2A配，P为线段BE上任一点，若A=AB+yAC,则爱+号的最小值是 9.设E1,E2是两个不共线的向量，AB=2E-已2，BC=3可+e2,C⑦=7E-6E -7- (1)求证：AB,D三点共线： (2)试确定的值，使2入E+e2与e+入ē2共线. 10已如。方是两个不北线的向量，向最方-云·3兆线，求实载1的值 -8- 90 翻转总结 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： -9- -10- 2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 平面向量的数乘运算 教学目标 1．掌握平面向量的数乘运算，掌握共线向量定理的应用，理解平面向量的线性运算的概念以及几何意义； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：平面向量的数乘运算，共线向量定理的应用； 难点：共线向量定理的概念及应用。 教学内容 平面向量的数乘运算 知识点一：平面向量的数乘运算 一、向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；③当时，的方向与的方向相反. 二、向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. 三、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有 . 题型一：平面向量的数乘运算 【例1-1】已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算计算即得. 【详解】. 故选：C 【例1-2】在中，点为边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的线性运算即可得到答案. 【详解】如图，因为点为边的中点，点在上，且， 所以，． 又，， 所以， 故选：D． 【例1-3】在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量的线性运算计算即可. 【解答过程】 因为，所以， 则， 所以，，. 故选：D. 【变式训练】 1．设分别是所在边上的两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】由题意知，点分别是边上的两点，且满足， 可得. 故选：B. 2．如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 3．在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. 知识点二：平面向量共线定理 向量共线定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 【总结】 1、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 2、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 题型二：平面向量共线定理 【例2】设是不共线的两个非零向量. （1）若，求证：三点共线； （2）若，且三点共线，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】证明：（1），所以. 又因为为公共点，所以三点共线. （2）， 因为三点共线，所以与共线. 从而存在实数使，即， 得解得所以. 【变式训练】 1．设，是两个不共线的向量，如果，，，求证：A，B，D三点共线. 【答案】证明过程见解析 【解析】证明：因为，所以与共线. 因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线. 2．已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意知，三点共线，故,且共线， 故不妨设，则，所以，解得，故选：D 3．已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 【解题思路】因为，，三点共线，则与共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出与的关系，最后得出的值. 【解答过程】由于，，三点共线，所以与共线. 存在实数，使得，即. 因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则. 由，将其代入可得. 故选：D. 题型三：共线向量定理的推论（鸡爪定理） 【例3】如图所示，设，，线段与交于点，且，则（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可得，再根据，，三点共线的向量的性质求解. 【详解】由题意知，又，，三点共线， 故，所以. 故选：D. 【变式训练】 1．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，则， 又是上一点，所以，解得. 故选：A. 2．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】因为，所以为的中点， 因为是的中点， 所以， 所以, 因为， 所以，故答案为： 1．在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【解答过程】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C. 2．设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【解题思路】根据三点共线可得向量共线，利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意， 且， 因为三点共线， 所以存在实数，使得, 所以， 即，解得. 故选：A. 3．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意可知，，所以， 又，即. 因为、、三点共线，所以，解得. 故选：D． 4．（多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据向量间关系判断向量平行关系判断A,B,C,假设向量共线求参法判断D. 【解答过程】因为，是不共线的向量，所以，都不是零向量． A中，若与共线，则，共线，这与已知矛盾，所以与不共线； B中，因为，所以与共线； C中，因为，所以与共线； D中，若与共线，则存在实数，使， 即，所以． 因为，是不共线向量， 所以，方程组无解， 所以与不共线. 故选：BC. 5．（多选）中，为上一点且满足，若为线段上一点，且（，为正实数），则下列结论正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 【答案】AD 【详解】 由题设，可得，又三点共线， ∴，即，B错误； 由，为正实数，，则，当且仅当时等号成立，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确； ，又， ∴，故A正确. 故选：AD. 6．已知，分别是线段上的点，且，若，则___________. 【答案】 【详解】 根据题意，由，，得，， 因此， 因为，所以，，故. 故答案为：. 7．在平行四边形中，，为的中点，则_______，________.（用表示） 【答案】 【详解】 如图，四边形是平行四边形，,又,三点共线，且，则，. 故答案为：， 8．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 【解题思路】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【解答过程】因为，所以． 因为，，三点共线，所以， 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是8. 故答案为：8. 9．设，是两个不共线的向量，，，． （1）求证：三点共线； （2）试确定的值，使与共线． 【解题思路】（1）证明和共线即可证三点共线；（2）由向量共线定理求解即可． 【解答过程】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 10．已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数t的值． 【答案】 【详解】 由，不共线，知向量为非零向量， 因为向量，共线， 所以存在实数，使得，即， 由，不共线，必有，解得. 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $