6.2.2 排列数 （教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2  排列数  教学设计

1.教学内容

本节课学习人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.2排列数，先由排列问题的实际计算需求引出排列数概念，明确其表示从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，记为。接着推导排列数公式，从分步乘法计数原理出发得到，又结合阶乘概念推出阶乘形式，同时明确的定义及的规定。通过例题讲解公式的直接应用与简单变形计算，让学生掌握排列数的计算方法，理解公式背后的计数逻辑，为后续解决复杂排列问题奠定基础。

 

2.内容解析

本节课是人教A版（2019）选择性必修第三册计数原理章节的核心内容，承接排列概念，衔接后续组合知识，是计数原理实际应用的关键纽带。

内容围绕排列数展开，从实际问题出发，通过对排列个数的计算需求引出概念，明确排列数的定义、符号表示及核心内涵，帮助学生建立“概念—符号—计算”的逻辑链条。推导环节依托分步乘法计数原理，层层递进得出排列数两个公式，既体现数学知识的连贯性，又渗透逻辑推理素养，同时明确阶乘定义及特殊规定，补全知识闭环。例题设计聚焦公式直接应用与简单变形，兼顾基础计算与逻辑理解，助力学生突破“公式记忆”到“原理运用”的转化。

本节课既夯实计数原理的应用基础，又培养学生有序思考、抽象概括的能力，符合新课标对数学核心素养的培养要求，为解决复杂排列问题及后续概率、统计相关内容筑牢根基。

教学重点：掌握排列数的定义、公式推导及应用，理解公式背后的计数逻辑与阶乘规定。

 

1.教学目标

（1）能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算.（重点）

（2）掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.（难点）

2.目标解析

（1）目标（1）立足计数原理基础，要求学生理解排列数公式的推导逻辑，而非单纯记忆，同时掌握公式及变形，实现熟练计算。这一目标紧扣教学重点，既培养逻辑推理素养，又夯实运算能力，是后续解决排列问题的核心基础，体现知识的生成与应用结合。

（2）目标（2）是教学难点，要求学生突破基础计算，掌握有限制条件的排列问题解法，并应用公式解决实际问题。需学生将抽象公式与具体场景结合，培养分析问题、建模解题的能力，实现知识从理论到实践的转化，提升数学应用素养。

 

学生此前已掌握分类加法、分步乘法计数原理，能解决简单的计数问题，对“分步计数”的逻辑有基础认知，但掌握程度参差不齐，部分学生易混淆两类原理，分步时易出现步骤遗漏或重复的问题。本节课首次接触“排列”概念，学生缺乏对“顺序”的精准感知，这是核心认知障碍。

教学中预计遇到三大困难：一是难以准确判断实际问题是否与顺序有关，易将排列问题与普通分步计数问题混淆；二是用列举法表示排列时，易出现重复或遗漏，缺乏有序列举的方法；三是对排列概念中“不同元素”“取出元素”“排成一列”的核心要素理解不透彻，无法快速抓住问题本质。

针对以上困难，教学中可结合生活实例对比有无顺序的不同情况，强化“顺序”感知；通过示范树形图、列表法等有序列举方式，教给学生列举技巧；拆解排列概念的核心要素，通过典型例题让学生逐一辨析要素特征，深化概念理解。

教学难点：准确判断计数问题是否与顺序相关，掌握有序列举排列的方法，透彻理解排列概念的核心要素.

 

1．创设情境，引入新知

班级学习小组展示顺序规划

班级开展 “数学建模小课堂” 活动，共有 6 名同学组成了 3 个学习小组（每组 2 人），分别提交了优秀的建模作品。活动要求从这 6 名同学中选拔部分同学担任 “展示发言人”，并确定发言顺序，具体任务如下，请同学们共同解决。

思考：从 6 名同学中选 2 名担任 “第一发言人” 和 “第二发言人”（顺序不同算不同安排），共有多少种不同的安排方式？请尝试用两个计数原理计算。

预设：共 30 种，分步计数原理得：

第一步选第一发言人（6 种选择），第二步选第二发言人（剩余 5 人，5 种选择），总安排数 = 6×5=30；

追问1：若从 6 名同学中选 3 名担任 “第一、二、三发言人”，按顺序发言，请尝试继续用两个计数原理计算。

预设：共 120种，分步计数原理得：

第一步选第一发言人（6 种），第二步选第二发言人（5 种），第三步选第三发言人（4 种），总安排数 = 6×5×4=120。

追问2：从 n 名同学中选 m 名（m≤n）按顺序排列，按顺序发言，如何快速计算所有不同的排列方案总数？

教师：这个 “排列的个数” 就是我们今天要研究的核心概念 —— 排列数

 

 

2．探究新知

排列数定义：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.

教师：辨析排列数符号：，理解符号中各个字母的含义，并口述分享.