6.2.2 排列数 （教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2 排列数 教学设计 1.教学内容 本节课学习人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.2排列数，先由排列问题的实际计算需求引出排列数概念，明确其表示从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，记为。接着推导排列数公式，从分步乘法计数原理出发得到，又结合阶乘概念推出阶乘形式，同时明确的定义及的规定。通过例题讲解公式的直接应用与简单变形计算，让学生掌握排列数的计算方法，理解公式背后的计数逻辑，为后续解决复杂排列问题奠定基础。 2.内容解析 本节课是人教A版（2019）选择性必修第三册计数原理章节的核心内容，承接排列概念，衔接后续组合知识，是计数原理实际应用的关键纽带。 内容围绕排列数展开，从实际问题出发，通过对排列个数的计算需求引出概念，明确排列数的定义、符号表示及核心内涵，帮助学生建立“概念—符号—计算”的逻辑链条。推导环节依托分步乘法计数原理，层层递进得出排列数两个公式，既体现数学知识的连贯性，又渗透逻辑推理素养，同时明确阶乘定义及特殊规定，补全知识闭环。例题设计聚焦公式直接应用与简单变形，兼顾基础计算与逻辑理解，助力学生突破“公式记忆”到“原理运用”的转化。 本节课既夯实计数原理的应用基础，又培养学生有序思考、抽象概括的能力，符合新课标对数学核心素养的培养要求，为解决复杂排列问题及后续概率、统计相关内容筑牢根基。 教学重点：掌握排列数的定义、公式推导及应用，理解公式背后的计数逻辑与阶乘规定。 1.教学目标 （1）能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算.（重点） （2）掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.（难点） 2.目标解析 （1）目标（1）立足计数原理基础，要求学生理解排列数公式的推导逻辑，而非单纯记忆，同时掌握公式及变形，实现熟练计算。这一目标紧扣教学重点，既培养逻辑推理素养，又夯实运算能力，是后续解决排列问题的核心基础，体现知识的生成与应用结合。 （2）目标（2）是教学难点，要求学生突破基础计算，掌握有限制条件的排列问题解法，并应用公式解决实际问题。需学生将抽象公式与具体场景结合，培养分析问题、建模解题的能力，实现知识从理论到实践的转化，提升数学应用素养。 学生此前已掌握分类加法、分步乘法计数原理，能解决简单的计数问题，对“分步计数”的逻辑有基础认知，但掌握程度参差不齐，部分学生易混淆两类原理，分步时易出现步骤遗漏或重复的问题。本节课首次接触“排列”概念，学生缺乏对“顺序”的精准感知，这是核心认知障碍。 教学中预计遇到三大困难：一是难以准确判断实际问题是否与顺序有关，易将排列问题与普通分步计数问题混淆；二是用列举法表示排列时，易出现重复或遗漏，缺乏有序列举的方法；三是对排列概念中“不同元素”“取出元素”“排成一列”的核心要素理解不透彻，无法快速抓住问题本质。 针对以上困难，教学中可结合生活实例对比有无顺序的不同情况，强化“顺序”感知；通过示范树形图、列表法等有序列举方式，教给学生列举技巧；拆解排列概念的核心要素，通过典型例题让学生逐一辨析要素特征，深化概念理解。 教学难点：准确判断计数问题是否与顺序相关，掌握有序列举排列的方法，透彻理解排列概念的核心要素. 1． 创设情境，引入新知 班级学习小组展示顺序规划 班级开展 “数学建模小课堂” 活动，共有 6 名同学组成了 3 个学习小组（每组 2 人），分别提交了优秀的建模作品。活动要求从这 6 名同学中选拔部分同学担任 “展示发言人”，并确定发言顺序，具体任务如下，请同学们共同解决。 思考：从 6 名同学中选 2 名担任 “第一发言人” 和 “第二发言人”（顺序不同算不同安排），共有多少种不同的安排方式？请尝试用两个计数原理计算。 预设：共 30 种，分步计数原理得： 第一步选第一发言人（6 种选择），第二步选第二发言人（剩余 5 人，5 种选择），总安排数 = 6×5=30； 追问1：若从 6 名同学中选 3 名担任 “第一、二、三发言人”，按顺序发言，请尝试继续用两个计数原理计算。 预设：共 120种，分步计数原理得： 第一步选第一发言人（6 种），第二步选第二发言人（5 种），第三步选第三发言人（4 种），总安排数 = 6×5×4=120。 追问2：从 n 名同学中选 m 名（m≤n）按顺序排列，按顺序发言，如何快速计算所有不同的排列方案总数？ 教师：这个 “排列的个数” 就是我们今天要研究的核心概念 —— 排列数 2． 探究新知 排列数定义：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 教师：辨析排列数符号：，理解符号中各个字母的含义，并口述分享. 预设： 思考：m，n所满足的条件是什么？ 预设：(1) m∈N*，n∈N* ；(2) m≤n . 要求：请你分别算出上一节问题1、问题2的排列数，并用排列数符号表示. 学生：学生用排列数符号表示. 预设：前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数3×2＝6， 排列数表示为．即． 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数4×3×2＝24 ，排列数表示为． 即． 设计意图：给出排列数的定义及符号表示，结合上一 节课的问题，让学生把排列数的符号与排列数联系起来， 为下面推导排列数公式奠定基础. 探究：从个不同元素中取出个元素的排列数是多少? 提示：可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数． 学生：自主阅读教材，小组讨论分析，得出求出排列数的过程，并做好分享的准备. 预设： 根据前面的求解经验，可以这样考虑： 假定有排好顺序的两个空位，如图6.2-3所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数． 现在来计算有多少种填法．完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成： 第1步，填第1个位置的元素，可以从这个不同元素中任选1个，有种选法； 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法． 根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为 要求：用以上相同的方法求排列数 学生：根据以上问题的解答方法，得出结果. 预设：同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑， 有 ． 追问：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗？ 学生：利用由特殊到一般的数学思想，得出结果. 预设：一般地，求排列数可以按依次填个空位来考虑： 假定有排好顺序的个空位，如图6.2-4所示，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数． 填空可以分为个步骤完成： 第1步，从个不同元素中任选1个填在第1位，有种选法； 第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法； 第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法； …… 第步，从剩下的个元素中任选1个填在第位，有种选法． 根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为 ． 这样，我们就得到公式 排列数公式：以上公式中，，并且．这个公式叫做排列数公式． 设计意图：通过具体情境，引导学生用分步乘法计数原理推导排列数公式，采用从特殊到一般的思想方法，让学生体会归纳法在推导公式中的应用.通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得排列数公式. 思考：你能说一下排列数公式的特点吗？ 学生：根据排数公式的结构进行特点分析. 预设：1. 公式中是m个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). 牛刀小试： 练1： 预设： 练2： 预设： 练3： 预设： 两个重要概念： 全排列：特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 要求：根据排列数公式，求出全排列数是多少？ 学生：结合公式发现排列数公式中时，就是全排列数公式： 阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示． 学生：结合全排列和阶乘的定义，得出： 规定： 思考：排列和排列数的区别？ 学生：根据排列和排列数的定义进行辨析. 预设：“一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，是一种排法； “排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号表示排列数，而不表示具体的排列． 牛刀小试： 练4： 预设： 练5： 预设： 练6： 预设： 练7：判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．(　　) (2)表示从5个不同元素中取出(5－2)个元素的所有不同的排列的个数．(　　) (3)若＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6. (　　) (4)＝1×2×3×…×(n－1)×n. (　　) 预设：（1）× （2）× （3）× （4）√ 3． 应用新知 例3 计算：（1）；（2）；（3）；（4）． 学生：回顾排列数公式并计算，得出答案，做好分享准备. 预设：可根据排列数公式，可得 （1）； （2）； （3）； （4）． 总结：排列数的计算方法： (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． 跟踪练习：计算下列各式． (1)； (2) 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：（1）； （2）. 4． 探究新知 思考:由例3可以看到，；，即．观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗? 追问：观察这两个结果，从中发现它们的共性了吗？能否将它进行推广？ 师生：推广得到公式…并加以证明. 设计意图：通过利用公式求排列数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.并通过对所求结果共性的归纳总结，得到公式的另一种形式. 预设： 事实上， 因此，排列数公式还可以写成 排列数公式：以上公式为排列数公式的阶乘形式. 总结：排列数公式的两种形式： （1）连乘形式： （2）阶乘形式： 排列数公式的应用：连乘形式一般用于的计算，阶乘形式用于化简或证明. 5． 应用新知 例4：用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 师生：（1）这是不是一个排列问题？ （2）引导学生分别按“百位数字不能是0”“0是否出现及出现的位置”“用从10个数中取出3个数的排列数减去其中百位是0的排列数”，给出三种解法，其中前两种是直接法，第三种是间接法. （3）利用排列数公式计算出结果. （4）归纳求排列问题的方法：①判断排列问题；②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；③利用排列数公式求出结果. 设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固排列数公式，形成解决排列问题的一般方法. 分析：在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题． 预设：解法1：如图6.2-5所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法． 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 ． 解法2：如图6.2-6所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法． 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 ． 解法3：从0～9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为 ． 思考：从例题4的解答过程中，总结引入排列的概念、归纳出排列数公式的作用是什么？ 学生：根据例题4的解题过程，分析和总结 预设：从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解“从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题． 总结：对于例4这类计数问题，总结从不同的角度有不同的解题方法: 解法1：根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事； 解法2：是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事； 解法3：是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数． 跟踪练习 用0～5这6个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 要求：用例4中的三种方法（三种不同的角度）去解题 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设： 解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步, 确定百位上的数字, 可以从1~5这5个数字中取出1个, 有种取法; 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的5个数字中取出2个，有种取法. 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 解法2：符合条件的三位数可以分成三类： 第1类，每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~5这5个数字中取出3个, 有种取法； 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的5个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法； 第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法. 根据分类加法计数原理，所求的三位数的个数为 解法3: 从0~5这6个数字中选取3个的排列数为, 其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这6个数组成的没有重复数字的三位数的个数， 即所求三位数的个数为 6． 能力提升 类型一：解含有排列数的方程或不等式 例1 解方程： （2）解不等式： 预设：(1) 由，得＝， 所以＝，化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 因为0<x≤8且0<x－1≤9，所以原方程的解得x＝6. (2) 原不等式即>，其中2<x≤9，x∈N*， 即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13. 又2<x≤9，x∈N*，∴2<x<8，x∈N*.故x＝3，4，5，6，7. 总结：解含有排列数的方程或不等式的技巧： ① 先要注意先提取公因式化简，然后计算，这样做可以减少运算量． ② 注意A中隐含了3个条件：m，n∈N*，m≤n，A的运算结果为正整数． ③ 在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围． 题型二：证明排列数恒等式 例题2 证明：. 预设：证明： , . 总结：解含有排列数恒等式的证明，将较复杂的一边用排列数阶乘形式展开，通过提取公因式等等价变形，然后等于另一边，即可得证. 题型三：特殊优先型的排列问题 例题3 三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生不排两端，有多少种不同排法？ 预设：(1) 解法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从五个男生中选两人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有 AA＝14 400(种) 不同排法． 解法二(元素分析法)：从中间六个位置选三个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有 AA＝14 400(种) 不同排法． 解法三(间接法)：三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的AA种排法和女生排在末位的AA种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次．由于两端都是女生有AA种不同的排法，所以共有 A－2AA＋AA＝14 400(种) 不同排法． （2）如果甲、乙两人必须排两端，有多少种不同排法？ 预设：(2) 甲、乙为特殊元素，先将它们排在两端位置，有A种排法，其余6人全排列，有A种排法，所以共有 AA＝1 440(种) 不同排法． （3）如果甲不排左端，乙不排右端，有多少种不同排法？ 预设：(3) 甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置． 解法一(元素分析法)：甲在最右边时，其他的可全排列，有A种排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种排法，而乙可排在除去最右边位置和甲的位置后剩余的6个位置中的任意一个上，有A种排法，其余人全排列，共有AAA种排法，由分类加法计数原理得，共有 A＋AAA＝30 960(种) 排法． 解法二(位置分析法)：先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排列，有A种排法，但应剔除乙在最右边时的排法AA种，所以共有 AA－AA＝30 960(种) 排法． 解法三(间接法)：8个人全排列，共A种．其中，不符合条件的有甲在最左边时的A种排法，乙在最右边时的A种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，共A种，所以共有 A－2A＋A＝30 960(种) 排法． 总结：特殊优先型的排列问题的解题策略 策略1：以元素为主优先考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素; 策略2：以位置为主优先考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置; 策略3：用间接法解题，先不考虑限制条件，计算总排列数，再减去不符合要求的排列数. 7． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 作业1：完成教材：第20页 练习1，2，3；. 作业2：配套辅导资料对应的《排列数》.  6.2.2 排列数 1. 定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记作. 2.公式推导（分步乘法计数原理）： 3. 阶乘形式：，规定， 4. 公式应用要点：①判断是否为排列问题 ②明确n、m取值 ③注意限制条件 5. 典例： （1）直接计算： （2）简单应用：排队、选位类问题 6. 易错点：混淆排列与排列数、忽略m≤n、漏看元素限制条件 本节课围绕人教A版（2019）选择性必修第三册排列数展开教学，核心聚焦排列数公式推导与应用，课堂上通过实例引导学生从排列定义过渡到排列数计算，逐步推导阶乘形式与阶乘变形公式，让学生理解公式本质而非机械记忆。但教学中发现部分学生对排列与排列数的概念区分仍模糊，公式应用时易忽略元素的限制条件，解题思路不够清晰。同时，对基础薄弱学生的关注不足，公式推导的互动环节参与度不均，练习设计的梯度性稍显欠缺，未能充分兼顾不同层次学生的需求。后续教学需强化概念辨析，增加典型易错例题的讲解，设计分层练习，注重引导学生梳理解题步骤，同时优化课堂互动形式，让更多学生参与公式推导的思维过程，提升学生运用排列数解决实际问题的能力。 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $