周周练02 6.3 平面向量基本定理及坐标表示（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练02 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A D C B C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BC AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或或 13． ; 14．② 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） （1）；（2），. 【解析】（1）设，运用数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，列出方程，解得即可得到； （2）运用向量的数量积的坐标表示和数乘运算，即可得到． 【详解】解：（1）设， 因为，． 所以， 由于，则， 解得，，， 符合与同向， 则； （2）， 即有； ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标表示，及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于基础题． 16．（本小题满分15分） （1）；（2） 【解析】（1）求出的坐标，根据共线向量的坐标关系，即可得出关系； （2）根据向量相等坐标关系，求出关于的方程，求解，即可得出结论. 【详解】解：由题意知，， . （1）因为A，B，C三点共线，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 所以解得 所以点C的坐标为. 【点睛】本题考查向量的坐标表示，涉及到共线向量和相等向量的坐标关系，属于基础题. 17．（本小题满分15分） (1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解； （2）根据向量相等，即可利用坐标相等求解. 【详解】（1） （2）设，由可得，所以 ，故 18．（本小题满分16分） (1) (2) 【分析】（1）先设，得，接着利用坐标形式的向量共线定理和模长公式结合已知条件列式求出，再根据向量与向量同向进行检验即可得解. （2）先求出，再由且与不共线即可计算检验得解. 【详解】（1）设，则， 因为向量与向量同向，且， 所以且， 或，所以或， 当时，，此时向量与向量反向，不符合； 当时，，此时向量与向量同向，符合， 故，所以. （2）若向量，则， 因为向量与的夹角是锐角， 所以， 又即， 所以实数的取值范围为. 19．（本小题满分17分） （1）或；（2）；（3） 【分析】（1）设出向量坐标，根据模长为1，以及与向量垂直，列方程组求解即可； （2）计算出向量的坐标，再根据（1）中所求，利用投影计算公式即可求得； （3）由（2）可知三角形的高，再利用向量的坐标求得底边长，即可求面积. 【详解】（1）设，根据题意可得 又因为与垂直，即可得 故可得： 解得，或 所以或. （2）设向量与单位向量的夹角为，在上的投影向量为， 则； 又因为，故当时，； 当时，. 所以向量在向量上的投影向量的模为. （3）由（1）可知：，由（2）可知， 故. 【点睛】本题综合考查向量的坐标运算，涉及模长的求解，投影的求解，属综合性基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练02 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在平行四边形ABCD中，，为AD的中点，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的基本定理求解. 【详解】在平行四边形ABCD中，， 所以 所以 又因为为AD的中点， 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为（    ） A．(－7，0) B．(7，6) C．(6，7) D．(7，－6) 【答案】D 【解析】设出点坐标，求出坐标，利用，即可求解. 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形， 所以. 设D(x，y)，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)， 即解得， 因此D点坐标为(7，－6)． 故选:D. 【点睛】本题考查向量的坐标表示、向量相等应用，属于基础题. 3．已知向量(1，2)，=(λ，1)，若，则λ的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据(1，2)，=(λ，1)，求得的坐标，再由求解. 【详解】因为向量(1，2)，=(λ，1)， 所以， 因为， 所以， 解得λ＝， 故选：A. 4．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D． 考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 5．已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】C 【分析】先根据向量减法得，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案. 【详解】∵，∴． 又，∴， ∴． 又，， ∴． 故选：C. 6．已知，且，则（    ） A． B． C．10 D．5 【答案】B 【解析】根据平行向量公式与模长公式求解即可. 【详解】因为，且,所以,解得, 所以,则． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行向量的与模长公式,属于基础题型. 7．与向量垂直的单位向量为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】设与向量垂直的单位向量为,再根据单位向量与垂直性质列式求解即可. 【详解】设与向量垂直的单位向量为,则, 解得,或,, 即所求单位向量为或, 故选：C． 【点睛】本题主要考查了单位向量的运算,属于基础题型. 8．在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用垂直的数量积为0与余弦定理求解即可. 【详解】因为,所以, 即,所以因为,故 故选：B． 【点睛】本题主要考查了向量垂直与数量积的运用以及余弦定理求角度的问题,属于基础题型. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线， 故选：BC 10．（多选）已知向量，，且向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由数量积的坐标表示求得，再分类讨论，根据投影向量的概念求解． 【详解】由向量，，，得，所以，解得或. 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量为； 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：BC 11．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 【答案】AD 【分析】由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的夹角、投影向量及向量共线的坐标运算求解即可． 【详解】若，则，即，A选项正确； 若， 结合A可知此时，且夹角为180°，B选项错误； 因为，所以， 由于， 所以，解得， C选项结论错误. 若，，则向量在上的投影向量为，D选项正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则 时，是直角三角形． 【答案】或或 【解析】分角分别为直角时,利用垂直向量的性质求解即可. 【详解】①当时, ∵,∴．∴,解得． ②当时, ∵,且, ∴,解得． ③当时,∵,∴, 即,∴． 故答案为：或或 【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用,属于中等题型. 13．如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为 ；当点沿着，与边运动时，的最小值为 . 【答案】 【分析】建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可. 【详解】以A为原点建立平面直角坐标系， 则A（0,0），O（1,0），B（2,0），设P（2，b）， （1）＝； （2）当点P在BC上时，＝2； 当点P在AD上时，设P（0，b），＝（2，0）（－1，b）＝－2； 当点P在CD上时，设点P（，1）（0＜＜2） ＝（2,0）（－1，1）＝2－2， 因为0＜＜2，所以，－2＜2－2＜2，即 综上可知，的最小值为－2. 故答案为-2. 【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 14．关于平面向量．有下列三个命题： ①若，则．②若，，则． ③非零向量和满足，则与的夹角为． 其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号） 【答案】② 【分析】根据向量概念和运算的判断，逐一进行验证 【详解】对于①，向量不满足消去律，错；对于②，两向量平行的坐标表示知正确；对③，在加减法构成的平行四边形中，由几何意义可得到所求角为，错；则正确的命题为②． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 已知与同向，，． （1）求的坐标； （2）若，求及的值． 【答案】（1）；（2），. 【解析】（1）设，运用数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，列出方程，解得即可得到； （2）运用向量的数量积的坐标表示和数乘运算，即可得到． 【详解】解：（1）设， 因为，． 所以， 由于，则， 解得，，， 符合与同向， 则； （2）， 即有； ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标表示，及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于基础题． 16．(本小题满分15分) 在直角坐标系中，O为坐标原点，，，. （1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系； （2）若，求点C的坐标. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）求出的坐标，根据共线向量的坐标关系，即可得出关系； （2）根据向量相等坐标关系，求出关于的方程，求解，即可得出结论. 【详解】解：由题意知，， . （1）因为A，B，C三点共线，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 所以解得 所以点C的坐标为. 【点睛】本题考查向量的坐标表示，涉及到共线向量和相等向量的坐标关系，属于基础题. 17．(本小题满分15分) 如图，平面上，，三点的坐标分别为,,. (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形是平行四边形，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解； （2）根据向量相等，即可利用坐标相等求解. 【详解】（1） （2）设，由可得，所以 ，故 18．(本小题满分16分) 已知点和向量 (1)若向量与向量同向，且，求点的坐标； (2)若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设，得，接着利用坐标形式的向量共线定理和模长公式结合已知条件列式求出，再根据向量与向量同向进行检验即可得解. （2）先求出，再由且与不共线即可计算检验得解. 【详解】（1）设，则， 因为向量与向量同向，且， 所以且， 或，所以或， 当时，，此时向量与向量反向，不符合； 当时，，此时向量与向量同向，符合， 故，所以. （2）若向量，则， 因为向量与的夹角是锐角， 所以， 又即， 所以实数的取值范围为. 19．(本小题满分17分) 如图，已知，设向量是与向量垂直的单位向量. （1）求单位向量的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的模； （3）求的面积. 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）设出向量坐标，根据模长为1，以及与向量垂直，列方程组求解即可； （2）计算出向量的坐标，再根据（1）中所求，利用投影计算公式即可求得； （3）由（2）可知三角形的高，再利用向量的坐标求得底边长，即可求面积. 【详解】（1）设，根据题意可得 又因为与垂直，即可得 故可得： 解得，或 所以或. （2）设向量与单位向量的夹角为，在上的投影向量为， 则； 又因为，故当时，； 当时，. 所以向量在向量上的投影向量的模为. （3）由（1）可知：，由（2）可知， 故. 【点睛】本题综合考查向量的坐标运算，涉及模长的求解，投影的求解，属综合性基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练02 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在平行四边形ABCD中，，为AD的中点，（    ） A． B． C． D． 2．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为（    ） A．(－7，0) B．(7，6) C．(6，7) D．(7，－6) 3．已知向量(1，2)，=(λ，1)，若，则λ的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 4．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则 A． B． C． D． 5．已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（    ） A． B．－ C． D．－ 6．已知，且，则（    ） A． B． C．10 D．5 7．与向量垂直的单位向量为（    ） A． B． C．或 D． 8．在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（多选）已知向量，，且向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则 时，是直角三角形． 13．如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为 ；当点沿着，与边运动时，的最小值为 . 14．关于平面向量．有下列三个命题： ①若，则．②若，，则． ③非零向量和满足，则与的夹角为． 其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号） 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知与同向，，． （1）求的坐标； （2）若，求及的值． 16．在直角坐标系中，O为坐标原点，，，. （1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系； （2）若，求点C的坐标. 17．如图，平面上，，三点的坐标分别为,,. (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形是平行四边形，求的坐标. 18．已知点和向量 (1)若向量与向量同向，且，求点的坐标； (2)若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 19．如图，已知，设向量是与向量垂直的单位向量. （1）求单位向量的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的模； （3）求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $