周周练04 6.4.3正弦定理和余弦定理（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练04 6.4.3正弦定理和余弦定理 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C B C A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．3 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） （1）；（2） 【分析】（1）根据正弦定理化简边角关系式，得到，从而求得；（2）根据求得，根据正弦定理求得结果. 【详解】（1） 由正弦定理可知：           （2）         由正弦定理得： 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，其中涉及到同角三角函数的求解、三角形内角和关系、两角和差公式的应用，属于常规题型. 16．（本小题满分15分） （Ⅰ）（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）因为， 所以 分别代入得解得 （Ⅱ）由得， 因为所以 所以 【考点定位】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由求的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求的过程则体现了“通性通法”的常规考查. 17．（本小题满分15分） (1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得，再结合三角形角的范围求解即可； （2）根据已知利用余弦定理求得，利用完全平方和求得，即可得解. 【详解】（1）因为向量，且满足， 所以，所以， 又，所以； （2）在中，由余弦定理及，得， ，所以，所以，所以， 所以的周长为. 18．（本小题满分16分） (1)； (2)选①；选② 【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果； (2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再结合三角形的面积公式计算即可. 【详解】（1），由正弦定理，得， 所以； （2）选①：由余弦定理，得，即， 整理，得，由c>0，得c=4， 所以； 选②：因为，由正弦定理，得c=2a， 所以c=6，所以. 19．（本小题满分17） 北偏西45°方向 【分析】先求出AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)×10，再求得∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.再利用余弦定理求出cos∠BAC＝，即得∠BAC＝30°.再求出台风移动的方向． 【详解】如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD＝20，AC＝20. 由题意知AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)×10. 在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°. 在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝.所以∠BAC＝30°. 又因为B位于A南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向． 又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为向量的方向，即北偏西45°方向． 【点睛】（1）本题主要考查解三角形的应用，考查余弦定理在解三角形的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)j解答本题时要注意因为B位于A南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练04 6.4.3正弦定理和余弦定理 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中错误的是（    ） A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c=（    ） A．3 B． C． D． 3．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 4．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 6．在中，角，，所对的边分别为，，，，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 7．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于 A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 10．记的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．的周长为 D．外接圆的面积为 11．已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ） A．当，，时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，且，一定是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，若，，，则 ． 13．在中，，，，则的面积为 . 14．如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是 m. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，内角，，所对的边分别为，，，，且. （1）求； （2）若，求. 16．设的内角所对的边分别为，且，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 17．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. (1)求A的大小； (2)若，，求的周长. 18．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，. (1)若，求b. (2)若______，求c的值及的面积. 请从①，②，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 19．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向时对基地的影响最强烈且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练04 6.4.3正弦定理和余弦定理 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中错误的是（    ） A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 【答案】A 【解析】根据正弦定理和余弦定理对各个命题进行判断． 【详解】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，A错； 正弦定理和余弦定理都反映了任意三角形中边角的关系，它们适用于任意三角形，B正确； 余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，C正确； 当夹角为90°时，余弦定理就变成了勾股定理．D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，对两个定理的正确理解是解题关键． 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c=（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理计算． 【详解】由已知． 故选：B． 3．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由，得， 由余弦定理得，而， 所以. 故选：C 4．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， ， 所以，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】利用正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理，得， ∵，，∴，∴或. 故选：C. 6．在中，角，，所对的边分别为，，，，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由降幂公式及正弦定理化简可得，根据两角和的正弦公式化简可得. 【详解】， ， 化简得. ， ， 即. ， ，即， ∴是直角三角形， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变化，考查了变形化简能力，属于中档题. 7．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得. 【详解】依题意，，即，由，得， 所以的取值范围是. 故选：C 8．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度，作差后可得答案． 【详解】如图，， ∵. 在中，又， ∴. 在中，，， ∴. ∴. ∴河流的宽度等于． 故选A． 【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在、两地的宽度，着重考查了三角函数的定义，属于中档题． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】AC 【分析】根据正弦定理和二倍角公式进行求解. 【详解】∵ ∴由正弦定理得， ∵ ∴，即 ∴或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AC. 10．记的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．的周长为 D．外接圆的面积为 【答案】ACD 【分析】首先根据正弦定理求出，然后可求得的值，然后根据正弦定理求出和外接圆半径，从而得到三角形的周长和外接圆的面积. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以，所以B错误. 根据正弦定理，得,所以A正确. 所以的周长为，所以C正确. 因为，所以外接圆的半径. 所以外接圆的面积为，所以D正确. 故选：ACD. 11．已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ） A．当，，时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，且，一定是等边三角形 【答案】BD 【分析】结合正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，逐项分析即可. 【详解】选项A，，无解，故A错误； 选项B，根据已知条件，由正弦定理得：. 设，，（），则最大角为（大边对大角）. 由余弦定理知：， 又，所以，故B正确； 选项C，因为，所以，即角为锐角， 但无法确定角，为锐角，故C错误； 选项D，，则， 因为，所以，又，所以， 因为，， 所以， 即， 整理得，即， 又因为，则，所以， 所以，即一定是等边三角形，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，若，，，则 ． 【答案】3. 【分析】由余弦定理得，代入数值解出即可. 【详解】解：设，由余弦定理得， 即， 整理得， 由于，解得，即. 故答案为3 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题. 13．在中，，，，则的面积为 . 【答案】 【分析】由已知利用正弦定理可求的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理可求，，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】，， 由正弦定理可得：，解得：      ，可得： 本题正确结果： 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 14．如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是 m. 【答案】 【分析】先求出所需角度，再由正弦定理，得，进而由余弦定理求解即可. 【详解】在中，，， ， ，. 在中，，， . 由正弦定理，得. 在中，由余弦定理，得，， 故A，B两点之间的距离为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 在中，内角，，所对的边分别为，，，，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据正弦定理化简边角关系式，得到，从而求得；（2）根据求得，根据正弦定理求得结果. 【详解】（1） 由正弦定理可知：           （2）         由正弦定理得： 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，其中涉及到同角三角函数的求解、三角形内角和关系、两角和差公式的应用，属于常规题型. 16．(本小题满分15分) 设的内角所对的边分别为，且，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）因为， 所以 分别代入得解得 （Ⅱ）由得， 因为所以 所以 【考点定位】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由求的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求的过程则体现了“通性通法”的常规考查. 17．(本小题满分15分) 在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. (1)求A的大小； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得，再结合三角形角的范围求解即可； （2）根据已知利用余弦定理求得，利用完全平方和求得，即可得解. 【详解】（1）因为向量，且满足， 所以，所以， 又，所以； （2）在中，由余弦定理及，得， ，所以，所以，所以， 所以的周长为. 18．(本小题满分16分) 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，. (1)若，求b. (2)若______，求c的值及的面积. 请从①，②，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 【答案】(1)； (2)选①；选② 【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果； (2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再结合三角形的面积公式计算即可. 【详解】（1），由正弦定理，得， 所以； （2）选①：由余弦定理，得，即， 整理，得，由c>0，得c=4， 所以； 选②：因为，由正弦定理，得c=2a， 所以c=6，所以. 19．(本小题满分17分) 某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向时对基地的影响最强烈且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向． 【答案】北偏西45°方向 【分析】先求出AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)×10，再求得∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.再利用余弦定理求出cos∠BAC＝，即得∠BAC＝30°.再求出台风移动的方向． 【详解】如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD＝20，AC＝20. 由题意知AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)×10. 在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°. 在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝.所以∠BAC＝30°. 又因为B位于A南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向． 又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为向量的方向，即北偏西45°方向． 【点睛】（1）本题主要考查解三角形的应用，考查余弦定理在解三角形的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)j解答本题时要注意因为B位于A南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $