周周练04 5.3.1-5.3.2导数的综合应用（数学人教A版选择性必修第二册）

2025-2026学年高二下学期数学周周练04 5.3.1-5.3.2导数的综合应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 【答案】A 【分析】通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值. 【详解】    由导函数图像可知： 导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减， 在上大于等于0，于是原函数在上单调递增， 所以原函数在处取得极小值，无极大值， 故选：A. 2．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，根据单调性列出不等式，进而求出结果. 【详解】，求导得在上恒成立， 则，因为，所以要使得不等式恒成立， 则. 故选：C． 3．已知是函数的极值点，则a的值是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据极值点处导数值为0，计算求参，最后代入检验即可. 【详解】因为， 由是函数的极值点，得， 经检验，时，单调递增，得， 单调递减；单调递增； 是函数的极值点，符合题意； 故选:B． 4．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域. 【详解】由题意得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，故， 因为，所以． 故所求的值域为． 故选：A 5．若，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数判断出最小，再依据函数单调性去比较的大小即可解决. 【详解】令，则， 由，得，由，得， 即当时单调递减，当时单调递增， 即当时取得最小值， 则有，，即，， 又， 综上的大小关系为. 故选：A 6．若函数，满足恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由题意，分离参数可得，令，然后利用导数求出的最小值即可求解. 【详解】解：因为，满足恒成立， 所以， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以的最大值为， 故选：C. 7．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性和单调性；再将不等式等价变形；最后利用函数的性质求解即可. 【详解】令 为定义在上的偶函数 则函数为定义在上的偶函数 ，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增. 不等式可变为， 即 故，解得或 所以不等式解集为：. 故选：A. 8．“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有.该结论可通过构造函数并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据，结合换元思想，可以判断①②④的真假；构造函数，利用导数求函数的最小值，可判断③的真假. 【详解】对命题①：因为，所以恒成立， 则当时，有，即，则， 所以在上恒成立，且时取“”，所以①成立； 对命题②：因为，所以， 两边同乘以得，所以②成立； 对命题③：设，则， 设，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以恒成立，即，所以③成立； 对命题④：因为， 所以当时，，即，所以④成立， 所以4个命题都成立. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】首先构造函数利用导数求出最值，即可判断A，B正确，利用特殊值即可判断C，D错误. 【详解】对选项A，设，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即，故A正确. 对选项B，设，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即，故B正确. 对选项C，当时，，此时，故C错误. 对选项D，当时，，故D错误. 故选：AB 10．已知，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】记，可得的单调性，构造，求导可得的单调性，进而可得的大小关系. 【详解】记，易知为上的增函数． 记，则． 令，得，故在上单调递增， 令，得，故在上单调递减． 又，故当时，， 当时，，即． 由，，则， 可得或或． 故选：ABC. 11．已知函数恰有3个零点，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】若函数恰有3个零点，则方程有3个不同的实数根，令，则函数恰有3个零点.设，求导分析单调性，极值，分析的零点，即可得出答案． 【详解】等价于， 设，所以函数恰有3个零点. 令，则， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 当时，，当时，，则. 因为函数恰有3个零点，所以有一个负根和一个小于的正根， 所以，解得. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f（1）)处的切线斜率为3，且是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝ ． 【答案】－2 【分析】先求导，根据曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为3，有，又x是y＝f（x）的极值点，得到，两式联立求解． 【详解】依题意得， 又因为在点(1，f（1）)处的切线斜率为3，所以 由于是y＝f(x)的极值点，所以 解得，则 故答案为： 13．已知关于的方程有且只有两个实数根，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意构造函数，对该函数求导，并利用导数求得单调区间与极值，再画出函数图象，即可求得的取值范围. 【详解】原方程可变形为， 令函数，则， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极大值，且极大值为， 当时，取得极小值，且极小值为， 又当趋向于时，趋向于0，当趋向于时，趋向于， 所以的大致图象如图，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求参数的范围问题.本题的关键点是方程有且只有两个方程，构造函数，结合导数求得单调区间与极值，从而得到函数的大致图象，即可求得参数的取值范围. 14．已知函数，且是函数的极值点．给出以下几个命题： ①； ②； ③； ④ 其中正确的命题是 ．（填出所有正确命题的序号） 【答案】①③． 【详解】试题分析：的定义域为，，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有． 考点：导数在求函数极值中的应用 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)， (2)单调递减区间为，单调递增区间为和 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及切点坐标列方程组求解即可. （2）求出导函数，解导函数不等式即可求解单调区间. 【详解】（1）因为，，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以，； （2）由（1）得， 令，解得或2，易知恒成立， 所以令，解得，在上单调递减； 令，解得或，在，上单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为和. 16．(本小题满分15分) 已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程有三个零点，求实数m的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，令导数大于0即可得到增区间； （2）问题转化为直线与的图象有三个交点，因此画出的图象，数形结合即可得到答案. 【详解】（1）的定义域为R， ， 当时，当时，； 故单调增区间为； （2）由（1）知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 的大致图象如图所示， 方程有三个零点等价于直线与的图象有三个交点， 由图可知时满足题意.    17．(本小题满分15分) 已知函数，． (1)若函数存在单调递减区间，求的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求的取值范围． (3)若在上存在单调递增区间，求的取值范围． (4)若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】(1)将问题转化为在上有解，使用常数分离求出的取值范围； (2) 将问题转化为在上恒成立，使用常数分离求出的取值范围； (3) 将问题转化为在上有解，使用常数分离求出的取值范围； (4) 将问题转化为在上恒成立，使用常数分离求出的取值范围. 【详解】（1）， 所以，由于在上存在单调递减区间， 所以当时，有解，即有解． 设，所以只要即可． 而，所以.所以. 又因为，所以a的取值范围为． （2）因为在上单调递减， 所以当时，恒成立， 即恒成立．由(1)知， 所以，而， 因为，所以，所以(此时)，所以， 又因为，所以a的取值范围是． （3）在上存在单调递增区间， 则在上有解， 所以当时，有解， 又当时，，所以 ， 所以a的取值范围是． （4）因为在上单调递增， 所以当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 又当时，(此时)， 所以，即的取值范围是． 18．(本小题满分16分) 已知函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）条件可转化为为的变号零点，列关系式求； （2）条件可转化为恒成立，利用导数求函数的最小值可得结果. 【详解】（1）因为在处取得极值，所以为的变号零点， 函数的定义域为，导函数， 所以，得. ，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为. （2）因为，所以可转化为，即恒成立. 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围为. 19．(本小题满分17分) 已知函数. (1)讨论的最值； (2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可. （2）首先函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，从而得到恰有个不等的实根，设，则，得到有两个解，再设令，利用单调性和最值求解即可. 【详解】（1）由题得，， 当时，，在上单调递减，故无最值 当时，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得唯一的极小值，即为最小值， 即， 综上所述，当时，无最值 当时，的最小值为，无最大值. （2）， 函数恰有个零点，即恰有个不等的实根， 即恰有个不等的实根， 设，则， ，单调递增， 有两个解，即有两个解. 令，则， 当时，，单调递增 当时，，单调递减， 又时，，且，， 当时，， 当时，仅有一个零点， 的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练04 5.3.1-5.3.2导数的综合应用 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B A A C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．－2 13． 14．①③． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1)， (2)单调递减区间为，单调递增区间为和 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及切点坐标列方程组求解即可. （2）求出导函数，解导函数不等式即可求解单调区间. 【详解】（1）因为，，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以，； （2）由（1）得， 令，解得或2，易知恒成立， 所以令，解得，在上单调递减； 令，解得或，在，上单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为和. 16．（本小题满分15分） (1) (2) 【分析】（1）求导，令导数大于0即可得到增区间； （2）问题转化为直线与的图象有三个交点，因此画出的图象，数形结合即可得到答案. 【详解】（1）的定义域为R， ， 当时，当时，； 故单调增区间为； （2）由（1）知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 的大致图象如图所示， 方程有三个零点等价于直线与的图象有三个交点， 由图可知时满足题意.    17．（本小题满分15分） (1) (2) (3) (4)． 【分析】(1)将问题转化为在上有解，使用常数分离求出的取值范围； (2) 将问题转化为在上恒成立，使用常数分离求出的取值范围； (3) 将问题转化为在上有解，使用常数分离求出的取值范围； (4) 将问题转化为在上恒成立，使用常数分离求出的取值范围. 【详解】（1）， 所以，由于在上存在单调递减区间， 所以当时，有解，即有解． 设，所以只要即可． 而，所以.所以. 又因为，所以a的取值范围为． （2）因为在上单调递减， 所以当时，恒成立， 即恒成立．由(1)知， 所以，而， 因为，所以，所以(此时)，所以， 又因为，所以a的取值范围是． （3）在上存在单调递增区间， 则在上有解， 所以当时，有解， 又当时，，所以 ， 所以a的取值范围是． （4）因为在上单调递增， 所以当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 又当时，(此时)， 所以，即的取值范围是． 18．（本小题满分16分） (1). (2). 【分析】（1）条件可转化为为的变号零点，列关系式求； （2）条件可转化为恒成立，利用导数求函数的最小值可得结果. 【详解】（1）因为在处取得极值，所以为的变号零点， 函数的定义域为，导函数， 所以，得. ，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为. （2）因为，所以可转化为，即恒成立. 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围为. 19．（本小题满分17分） (1)答案见解析 (2) 【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可. （2）首先函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，从而得到恰有个不等的实根，设，则，得到有两个解，再设令，利用单调性和最值求解即可. 【详解】（1）由题得，， 当时，，在上单调递减，故无最值 当时，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得唯一的极小值，即为最小值， 即， 综上所述，当时，无最值 当时，的最小值为，无最大值. （2）， 函数恰有个零点，即恰有个不等的实根， 即恰有个不等的实根， 设，则， ，单调递增， 有两个解，即有两个解. 令，则， 当时，，单调递增 当时，，单调递减， 又时，，且，， 当时，， 当时，仅有一个零点， 的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练04 5.3.1-5.3.2导数的综合应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 2．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知是函数的极值点，则a的值是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 5．若，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若函数，满足恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D． 7．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有.该结论可通过构造函数并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数恰有3个零点，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f（1）)处的切线斜率为3，且是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝ ． 13．已知关于的方程有且只有两个实数根，则实数的取值范围是 14．已知函数，且是函数的极值点．给出以下几个命题： ①； ②； ③； ④ 其中正确的命题是 ．（填出所有正确命题的序号） 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 16．已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程有三个零点，求实数m的范围. 17．已知函数，． (1)若函数存在单调递减区间，求的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求的取值范围． (3)若在上存在单调递增区间，求的取值范围． (4)若函数在上单调递增，求的取值范围． 18．已知函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)讨论的最值； (2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $