周周练02 5.3.1用导数研究函数的单调性（数学人教A版选择性必修第二册）

2025-2026学年高二下学期数学周周练02 5.3.1用导数研究函数的单调性 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）已知，函数在上是单调增函数，则的可能取值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 10．（多选）函数的图象如图所示，下列选项中正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．函数在定义域内是增函数 D．函数在定义域内的导数 11．素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（    ） A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢 B．当x很大时，随着x的增大，减小 C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少 D．因为，所以 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的单调递增区间为 . 13．已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围是 ． 14．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为 ．    四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．已知函数. (I)若曲线在点处的切线方程为,求的值； (II)若,求的单调区间. 17．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 18．已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 19．设点P是曲线上的一点，k是曲线在点P处的切线的斜率． (1)求k的取值范围； (2)求当k取最小值时，求过点P且和曲线相切的直线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练01 6.1-6.2平面向量的概念、平面向量的运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可. 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，利用导数可求得函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为，则， 由，可得，解得， 因此，函数的单调递减区间为. 故选：A. 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，令导函数小于零，解之即可. 【详解】因为，所以，令，得， 又函数的定义域为，所以函数的单调递减区间为， 故选：B． 4．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象. 【详解】由的图象可知，在上为增函数， 且在上存在正数，使得在上为增函数， 在为减函数， 故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化， 故排除A，B. 由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C. 故选：D. 【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题. 5．已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为增函数，结合的定义域求解即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递增. 又， 所以解得. 故选：C 6．已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】，，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以， 所以 故选：C 7．已知函数，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用指数函数和对数函数的性质比较的大小，从而可比较出三个数的大小 【详解】由，得， 所以在上为增函数， 因为在上为减函数，且， 所以， 因为在上为增函数，且， 所以， 因为在上为增函数，且， 所以， 所以， 因为在上为增函数， 所以， 即， 故选：D 8．已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果. 【详解】对于不等式对， 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为； 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为． 综上，原不等式的解集为． 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）已知，函数在上是单调增函数，则的可能取值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【分析】对函数进行求导，根据函数在上是单调增函数，可以得到在上，恒成立，结合二次函数的最值求出的取值范围，最后选出正确答案即可. 【详解】由题意得， 因为函数在上是单调增函数， 所以在上，恒成立， 即在上恒成立， 因为当时，二次函数的最小值为 所以. 故选：ABC 【点睛】本题考查了已知函数的单调区间求参数取值范围问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力. 10．（多选）函数的图象如图所示，下列选项中正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．函数在定义域内是增函数 D．函数在定义域内的导数 【答案】AB 【分析】根据图像得到定义域和值域，判定AB；也可看出单调性，判定C；再用导数与单调性关系判定D. 【详解】由图象可知，函数的定义域为，值域为，故A，B正确；函数在定义域内两段上分别是单调递增，但整个定义域内不是增函数.选项C，D都不正确. 故选：AB. 11．素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（    ） A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢 B．当x很大时，随着x的增大，减小 C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少 D．因为，所以 【答案】AC 【分析】令函数且，用导数法逐项判断. 【详解】设函数且， 则且， 且， 当时，， 所以当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢，故A正确； 函数的图象如图所示： 由图象可得随着x的增大，并不减小，故B错误； 当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】确定函数定义域，对函数求导，求出导数大于零的范围即可． 【详解】函数的定义域为，，令，解得，所以函数的单调递增区间为． 故答案为：． 13．已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可. 【详解】， 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，∴， 当时，，，则， ∴在区间上单调递增，∴， ∴，则实数m的取值范围是. 故答案为：. 14．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据图象得出函数的单调区间，进而得出以及的解，即可得出答案. 【详解】由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以，当时，；当时，；当时，；当时，. 当时，由可得，此时； 当时，由可得，此时. 综上所述，解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)单调递减区间为 (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 (3)单调递增区间为，单调递减区间为和 (4)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】求导，根据导数的正负确定函数的单调区间即可. 【详解】（1），则， ∴函数的单调递减区间为. （2），则， 由，得或， 当或时，；当时，， ∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 （3），则， 由，得， 当时，；当或时，， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和. （4），则， 由，得， 当时，；当时，， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 16．(本小题满分15分)已知函数. (I)若曲线在点处的切线方程为,求的值； (II)若,求的单调区间. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）在区间上单调递增,在区间上单调递减 【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得得到关于的方程组，解得； （Ⅱ）求出函数的导函数，解得函数的单调递增区间，解得函数的单调递减区间. 【详解】解：（Ⅰ） 因为函数在点处的切线方程为 解得 （Ⅱ）． 令,得或 . 因为,所以时， ； 时，． 故在区间上单调递增,在区间上单调递减 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题. 17．(本小题满分15分)已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，无单调减区间 (2) 【分析】（1）求导，根据导数符号判断的单调区间； （2）构建，分析可知在单调递增，求导整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． （2）因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立， 可得，即． 所以的取值范围是． 18．(本小题满分16分)已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 【答案】（1）增区间是，，减区间是； （2）证明见解析. 【分析】（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间； （2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得. 【详解】（1）当a=3时，，． 令解得x=或x=． 由解得：； 由解得：． 故函数的增区间是，，减区间是． （2）［方法一］：【最优解】【通性通法】等价转化＋零点存在性定理 由于，所以等价于． 设,则,仅当时,所以在单调递增.故至多有一个零点,从而至多有一个零点.又,故有一个零点.综上,只有一个零点. ［方法二］：函数零点与图象交点个数的关系 因为，所以等价于，令，则．因为，则，当且仅当时，等号成立，所以在区间内单调递增， 当时，；当时，．所以直线与的图像只有一个交点，即只有一个零点． ［方法三］：【通性通法】含参分类讨论＋零点存在性定理 ． ①当时，单调递增，只有一个零点． ②当与时，，再令或，则有．当与时，单调递增，当时，单调递减． 因为， ， 所以． 极大值与极小值同正同负，故只有一个零点． ［方法四］： 等价转化＋零点存在性定理 由于，所以，等价于． 设，则，仅当时，，所以在区间内单调递增．故至多有一个零点，从而至多有一个零点． 结合函数与方程的关系，根据零点存在性定理，取，则有，取，则有，所以在内有一个零点，故有一个零点． 综上，只有一个零点． 【整体点评】（2）方法一：通过分离参数将原函数的零点问题转化为易求单调性的函数零点问题，该法既是该类型题的通性通法，也是该题的最优解； 方法二：将函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，是常见的解题思路，对于证明题，这种方式显得不是特别严谨； 方法三：直接对参数分类讨论，研究函数的单调性和最值，也是该类型问题的通性通法，但对于该题，显得有些复杂； 方法四：该法同方法一，只是在零点存在性定理的运用过程中取点不一样． 19．(本小题满分17分)设点P是曲线上的一点，k是曲线在点P处的切线的斜率． (1)求k的取值范围； (2)求当k取最小值时，求过点P且和曲线相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，所以先对函数求导，再根据二次函数的性质求导函数的值域，从而得到切线斜率的取值范围. （2）先根据（1）求出取最小值时点的坐标，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再根据点斜式写出切线方程，最后将点坐标代入切线方程求出切点坐标，进而得到切线方程. 【详解】（1）已知，对求导，可得：. 因为，所以，则，即. 所以的取值范围是. （2）当取最小值时，，解方程可得. 将代入可得，所以. 设切点为，对求导可得：，则切线斜率. 由点斜式可得切线方程为. 因为切线过点，将代入切线方程可得：， 即，即， 解得或. 当时，，切线方程为，即. 当时，，切线方程为，即. 所求切线方程为或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练02 5.3.1用导数研究函数的单调性 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B D C C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AB AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1)单调递减区间为 (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 (3)单调递增区间为，单调递减区间为和 (4)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】求导，根据导数的正负确定函数的单调区间即可. 【详解】（1），则， ∴函数的单调递减区间为. （2），则， 由，得或， 当或时，；当时，， ∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 （3），则， 由，得， 当时，；当或时，， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和. （4），则， 由，得， 当时，；当时，， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 16．（本小题满分15分） （Ⅰ） （Ⅱ）在区间上单调递增,在区间上单调递减 【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得得到关于的方程组，解得； （Ⅱ）求出函数的导函数，解得函数的单调递增区间，解得函数的单调递减区间. 【详解】解：（Ⅰ） 因为函数在点处的切线方程为 解得 （Ⅱ）． 令,得或 . 因为,所以时， ； 时，． 故在区间上单调递增,在区间上单调递减 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题. 17．（本小题满分15分） (1)单调增区间为，无单调减区间 (2) 【分析】（1）求导，根据导数符号判断的单调区间； （2）构建，分析可知在单调递增，求导整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． （2）因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立， 可得，即． 所以的取值范围是． 18．（本小题满分16分） （1）增区间是，，减区间是； （2）证明见解析. 【分析】（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间； （2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得. 【详解】（1）当a=3时，，． 令解得x=或x=． 由解得：； 由解得：． 故函数的增区间是，，减区间是． （2）［方法一］：【最优解】【通性通法】等价转化＋零点存在性定理 由于，所以等价于． 设,则,仅当时,所以在单调递增.故至多有一个零点,从而至多有一个零点.又,故有一个零点.综上,只有一个零点. ［方法二］：函数零点与图象交点个数的关系 因为，所以等价于，令，则．因为，则，当且仅当时，等号成立，所以在区间内单调递增， 当时，；当时，．所以直线与的图像只有一个交点，即只有一个零点． ［方法三］：【通性通法】含参分类讨论＋零点存在性定理 ． ①当时，单调递增，只有一个零点． ②当与时，，再令或，则有．当与时，单调递增，当时，单调递减． 因为， ， 所以． 极大值与极小值同正同负，故只有一个零点． ［方法四］： 等价转化＋零点存在性定理 由于，所以，等价于． 设，则，仅当时，，所以在区间内单调递增．故至多有一个零点，从而至多有一个零点． 结合函数与方程的关系，根据零点存在性定理，取，则有，取，则有，所以在内有一个零点，故有一个零点． 综上，只有一个零点． 【整体点评】（2）方法一：通过分离参数将原函数的零点问题转化为易求单调性的函数零点问题，该法既是该类型题的通性通法，也是该题的最优解； 方法二：将函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，是常见的解题思路，对于证明题，这种方式显得不是特别严谨； 方法三：直接对参数分类讨论，研究函数的单调性和最值，也是该类型问题的通性通法，但对于该题，显得有些复杂； 方法四：该法同方法一，只是在零点存在性定理的运用过程中取点不一样． 19．（本小题满分17分） (1) (2)或 【分析】（1）根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，所以先对函数求导，再根据二次函数的性质求导函数的值域，从而得到切线斜率的取值范围. （2）先根据（1）求出取最小值时点的坐标，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再根据点斜式写出切线方程，最后将点坐标代入切线方程求出切点坐标，进而得到切线方程. 【详解】（1）已知，对求导，可得：. 因为，所以，则，即. 所以的取值范围是. （2）当取最小值时，，解方程可得. 将代入可得，所以. 设切点为，对求导可得：，则切线斜率. 由点斜式可得切线方程为. 因为切线过点，将代入切线方程可得：， 即，即， 解得或. 当时，，切线方程为，即. 当时，，切线方程为，即. 所求切线方程为或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $