周周练01 5.1-5.2 导数的概念、运算（数学人教A版选择性必修第二册）

2025-2026学年高二下学期数学周周练01 5.1-5.2导数的概念、运算 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C D B D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） 【分析】利用平均变化率的来进行解释. 【详解】山路从到高度的平均变化率为， 山路从到高度的平均变化率为， 山路从到比从到要陡峭的多. 16. （本小题满分15分）(1) (2) (3) (4) 【分析】根据导数的四则运算法则求导即可. 【详解】（1）． （2） ． （3）． （4）． 17．（本小题满分15分）（1）4x－y－4＝0；（2）4x－y－4＝0或x－y＋2＝0；（3）3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0. 【分析】（1）根据曲线的解析式求出导函数，把的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可； （2）设出曲线过点切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可； （3）设出切点坐标，由切线的斜率为1，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于1列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可． 【详解】解：（1）在曲线上，且， 在点处的切线的斜率为． 曲线在点处的切线方程为，即； （2）设曲线与过点的切线相切于点，， 则切线的斜率， 切线方程为， 点在切线上， ， ， 解得或 故所求的切线方程为或． （3）设切点为， 则切线的斜率为，．切点为， 切线方程为或，即或． 【点睛】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决，属于基础题． 18．（本小题满分16分）（1）3a＋1；（2）. 【分析】(1)先求导得，再分别计算与即可得解； (2)根据给定条件可得切线斜率为0，利用方程在内有解即可计算作答. 【详解】（1）依题意，f(x)=ax2+lnx的定义域为(0，+∞)，由f(x)=ax2+lnx求导得：， 于是得，而， 所以； （2）因曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则此时切线斜率为0，由导数的几何意义知，方程在内有解， 于是得方程，即在内有解，则， 所以实数a的取值范围是. 19．（本小题满分17分）(1) (2)2 【分析】（1）利用导数求出切线方程，进而求出切线与x轴，y轴的交点，再借助面积列式求解. （2）根据给定条件设出切点坐标，再利用导数的几何意义建立方程组求解即可. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为， 当时，；当时，，依题意，， 又，所以. （2）设直线与曲线，相切的切点分别为， 函数，求导得，则，，即，， 因此直线与曲线，相切的切点分别为，， 于是，解得， 所以实数的值为2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练01 5.1-5.2导数的概念、运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是函数的导函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可根据导数的定义对所给极限式子进行变形，进而得出结果. 【详解】已知， 故选：B. 2．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【详解】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 3．过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【详解】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C 4．已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数与原函数图象的关系，结合排除法确定满足要求的图象即可. 【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C. 由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 故选：D 5．如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的增长速度求得正确答案. 【详解】当时，的增长速度越来越快； 当时，的增长速度越来越慢； 所以B选项符合. 故选：B 6．若函数满足，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】求导得，再由奇偶性代入计算可得结果. 【详解】由，得， 易知为奇函数，所以， 所以． 故选：D 7．设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用复合函数的求导规则计算即可. 【详解】． 故选：D. 8．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出． 【详解】对A，，当时，，所以A错误； 对B，，在上恒成立，所以B正确； 对C，，，所以C错误； 对D，，，因为，所以D错误． 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法中正确的有（    ） A．. B．已知函数在上可导，且，则. C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4. D．已知函数，则函数的图象关于原点对称. 【答案】BCD 【分析】求出每个函数的导数，再结合导数的定义和物理意义即可得到答案. 【详解】对A，，则A错误； 对B，根据题意，，则B正确； 对C，，则C正确； 对D，，导函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称，即D正确. 故选：BCD. 10．（多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可. 【详解】对于A: ，令，得或，有“巧值点”，A满足； 对于B: ，令，得，有“巧值点”，B满足； 对于C: ，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”，C满足； 对于D: ，令，得，与矛盾，没有“巧值点”，D不满足. 故答案为：ABC. 11．定义在上的函数，，它们的导函数，都存在，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若函数是奇函数，则导函数一定是偶函数 D．若函数是偶函数，则导函数一定是奇函数 【答案】BCD 【分析】取特例可说明A项；根据函数的奇偶性得到关系式，根据复合函数的求导法则，两边同时求导即可判断C、D项. 【详解】对于A项，令，，则，但是不成立，故A错误； 对于B项，若，则，故B正确； 对于C项，由已知可得，两边同时求导得： ，即，故是偶函数，故C项正确； 对于D项，由已知可得，两边同时求导得：，所以是奇函数，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标. 【详解】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为： 13．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意先求出在点处的切线方程，求出与坐标轴的交点，由三角形的面积公式即可求解. 【详解】∵， ∴在点处的切线斜率为， ∴曲线在点处的切线方程为，即． 当时，，当时，． ∴． 故答案为：. 14．已知曲线过曲线上，两点分别作曲线的切线交于点，且．记，两点的横坐标分别为，，则 ． 【答案】1 【分析】分，求导，根据曲线在点，处的切线互相垂直求解. 【详解】解：当时，； 当时，． 由曲线在点，处的切线互相垂直， 得，在1的两侧， 不妨令，则，得． 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从处到处会感觉比较轻松，而从处到处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化段曲线的陡峭程度吗？ 【答案】答案见解析 【分析】利用平均变化率的来进行解释. 【详解】山路从到高度的平均变化率为， 山路从到高度的平均变化率为， 山路从到比从到要陡峭的多. 16．(本小题满分15分)求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据导数的四则运算法则求导即可. 【详解】（1）． （2） ． （3）． （4）． 17．(本小题满分15分)已知曲线． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过点的切线方程； （3）求斜率为1的曲线的切线方程． 【答案】（1）4x－y－4＝0；（2）4x－y－4＝0或x－y＋2＝0；（3）3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0. 【分析】（1）根据曲线的解析式求出导函数，把的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可； （2）设出曲线过点切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可； （3）设出切点坐标，由切线的斜率为1，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于1列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可． 【详解】解：（1）在曲线上，且， 在点处的切线的斜率为． 曲线在点处的切线方程为，即； （2）设曲线与过点的切线相切于点，， 则切线的斜率， 切线方程为， 点在切线上， ， ， 解得或 故所求的切线方程为或． （3）设切点为， 则切线的斜率为，．切点为， 切线方程为或，即或． 【点睛】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决，属于基础题． 18．(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为， （1）求； （2）若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． 【答案】（1）3a＋1；（2）. 【分析】(1)先求导得，再分别计算与即可得解； (2)根据给定条件可得切线斜率为0，利用方程在内有解即可计算作答. 【详解】（1）依题意，f(x)=ax2+lnx的定义域为(0，+∞)，由f(x)=ax2+lnx求导得：， 于是得，而， 所以； （2）因曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则此时切线斜率为0，由导数的几何意义知，方程在内有解， 于是得方程，即在内有解，则， 所以实数a的取值范围是. 19．(本小题满分17分)已知函数，函数． (1)若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； (2)若直线与曲线，都相切，求实数的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用导数求出切线方程，进而求出切线与x轴，y轴的交点，再借助面积列式求解. （2）根据给定条件设出切点坐标，再利用导数的几何意义建立方程组求解即可. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为， 当时，；当时，，依题意，， 又，所以. （2）设直线与曲线，相切的切点分别为， 函数，求导得，则，，即，， 因此直线与曲线，相切的切点分别为，， 于是，解得， 所以实数的值为2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学周周练01 5.1-5.2导数的概念、运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是函数的导函数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 3．过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A．B．C． D． 5．如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．若函数满足，则（   ） A． B．0 C．1 D． 7．设函数，则（    ） A． B． C． D． 8．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法中正确的有（    ） A．. B．已知函数在上可导，且，则. C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4. D．已知函数，则函数的图象关于原点对称. 10．已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 11．定义在上的函数，，它们的导函数，都存在，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若函数是奇函数，则导函数一定是偶函数 D．若函数是偶函数，则导函数一定是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 13．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ． 14．已知曲线过曲线上，两点分别作曲线的切线交于点，且．记，两点的横坐标分别为，，则 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从处到处会感觉比较轻松，而从处到处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化段曲线的陡峭程度吗？ 16．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 17．已知曲线． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过点的切线方程； （3）求斜率为1的曲线的切线方程． 18．已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为， （1）求； （2）若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． 19．已知函数，函数． (1)若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； (2)若直线与曲线，都相切，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $